關于數學“變式教學”的幾點思考

趙水祥

【摘要】如何在數學課堂教學中利用教學內容促進學生數學核心素養的形成和發展，是當前中學數學教學研究的重要課題，也是《普通高中數學課程標準》的要求，“變式教學”應運而生，是達成目標的重要教學方法之一.數學課堂的“變式教學”無怪乎數學知識（概念、定理、公式等）的“變式教學”和數學解題的“變式教學”，因此我們應做好這兩方面的工作.

【關鍵詞】數學知識;數學解題;變式教學;思考

數學“變式教學”就是采用數學變式（包括有關知識結構的概念性變式和活動經驗的過程性變式）進行的教學.“變式教學”是課堂教學中學生獲取知識的重要途徑之一，它能夠提高學生思維能力和課堂效率，是搞好有效教學的保證.那么怎樣認識數學課堂的“變式教學”？又如何進行數學課堂“變式教學”呢？本文主要談談如何進行數學知識和數學解題的“變式教學”.

1數學知識的“變式教學”

數學知識包括概念、定理、公式等，數學知識的“變式教學”可從知識的引入、理解、證明、變形、鞏固等多個方面的變式來進行.1.1引入變式

所謂數學知識的引入變式，就是在學習一個新知識時，將知識還原到客觀實際如實例、模型或已有經驗等中進行引入，通過變式移植知識的本質屬性，使實際現象數學化，達到展示知識形成過程，促進學生知識形成的目的.

例1等比數列的教學，人教課標A必修5是通過細胞分裂、古代問題、計算機病毒、銀行利率等現實生活中的問題引入給出概念的.除了課本中由實例進行的4種引入方法外，還可以有下面的引入方法.

變式引入1人人都知道珠穆朗瑪峰是天下第一高峰，海拔8844.43米，稱作世界屋脊.然而你是否會想到，拿一張報紙（假設報紙足夠大），連續對折30次，其厚度能夠超過珠穆朗瑪峰！這是為什么？

一張報紙厚0.01厘米，對折1次后總厚度是0.01×2，對折2次后總厚度是0.01×22，對折3次后總厚度是0.01×23，……，對折30次后總厚度是0.01×230，因此引出由0.01×2，0.01×22，0.01×23，……，0.01×230，……，研究這一數列的特點，給出等比數列的定義，進而告訴學生對折30次后總厚度是0.01×230=10737418.24厘米，也就是大約107374米.這比12座珠峰加起來還要高！這種以實例引入概念的方法不僅突出了數學的應用性，而且極大地激發了學生學習的興趣.

變式引入2以具體的等比數列引入，先給出四個數列：①1，3，9，27，……;②2，-2，2，-2，……;③-1，12，-14，18，……;④5，5，5，5，…….由學生自己研究這四個數列中，每個數列相鄰的兩項之間有何關系？這四個數列有什么共同的特點？由此引出等比數列的概念.這種方法讓學生自己去研究，去歸納，從中發現規律，突出了以學生為主體的思想，訓練和培養了學生的歸納思維能力.

變式引入3以等差數列引入，開門見山，明確地告訴學生“我們這節課要學習等比數列了，它與等差數列有著緊密的聯系，同學們完全可以根據已學過的等差數列來研究等比數列.首先請同學們回憶，什么樣的數列是等差數列？你能由此類比著猜想什么是等比數列嗎？試舉出一兩個例子，說出它的定義”.這種方法比變式引入2更帶有激發性，學生的參與程度更強，在幾乎沒有任何提示的情況下，讓學生自己動腦、動手去研究，從思維的類型看，這種方法主要培養學生的類比思維能力，可以進一步培養學生的分析問題和解決問題的能力.

1.2理解變式

所謂知識的理解變式，就是探求知識的等價形式或變式含義，并探討等價形式及變式含義的應用，達到透徹理解知識，靈活應用知識的目的.

例2教學雙曲線定義，進行理解的變式探討.

雙曲線定義平面內與兩個定點F1，F2的距離差的絕對值是常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.

定義中的關鍵詞是“絕對值”、“常數”、“小于|F1F2|”，為使學生有比較深刻的認識和理解，可引導學生作如下變式探討：

變式1將定義中的“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？

變式2將定義中的“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？

變式3將定義中的“絕對值”去掉，其余不變，點的軌跡是什么？

變式4將令“常數”等于零，其余不變，點的軌跡是什么？

變式5將“小于|F1F2|”去掉，其余不變，點的軌跡是什么[1]？

通過上述的變式，澄清學生的模糊認識，加深了對雙曲線定義的理解，從而在審題中不被“形”迷惑，能透過“形”的本質，讓學生發現問題本質.1.3證明變式

證明變式是指定理、公式的多證變式，就是在提出定理、公式后，引導學生對定理、公式實施多角度的觀察與思考，探求其證明、推導方法，通過觀察角度的變換，各種不同方法的比較，幫助學生培養探索意識和創新能力.從學生心理特點來看，每個學生都有探索和創造的潛能，關鍵是如何激發他們學習的興趣、動機和求知欲.

例3點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2的推導，人教課標A必修2是運用“等積法”給出的，作為培養學生創新意識和創新思維的好素材，教學中給出了另外的幾種變式推導方法.

變式方法1（解析法）

設過P（x0，y0）與直線l：Ax+By+C=0垂直（垂足為Q）的直線l′的方程為：

B（x-x0）-A（y-y0）=0.①

將直線l：Ax+By+C=0改寫為Ax+By+C-Ax0-By0=-Ax0-By0，

即A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）.②

由①2+②2，得（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2.

如果A≠0，B≠0，所以（x-x0）2+（y-y0）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.故d=|PQ|=（x-x0）2+（y-y0）2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

如果A=0或B=0，此公式仍成立.

變式方法2（函數法）

設直線l上任一點H（x，y），則|PH|2=（x-x0）2+（y-y0）2，①

由Ax+By+C=0改寫為A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

所以B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）-A（x-x0）.②

①、②兩式聯立，得B2·|PH|2=B2（x-x0）2+[A（x-x0）+（Ax0+By0+C）]2.

令x-x0=t，Ax0+By0+C=h，得B2·|PH|2=B2t2+（At+h）2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，

此為關于t的二次函數，二次項系數大于0，故函數有最小值.

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

變式方法3（方程法）

由變式方法2中B2·|PH|2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，得（A2+B2）t2+2Aht+h2-B2·|PH|2=0.由Δ=（2Ah）2-4（A2+B2）（h2-B2·|PH|2）≥0，

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

這樣的教學，能有效地拓寬學生的解題思路，提升思維能力.1.4變形變式

所謂變形變式主要是指定理、公式的變形變式，就是探求定理、公式的變形與推廣形式，并用之解決相關問題.每個定理、公式都可以有許多變式，這些五彩繽紛的變式為我們培養學生的應變能力提供了廣闊的天地.

例4正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R是△ABC外接圓半徑）反映了任意三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式，描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系.教學中為使學生加深理解和靈活運用，給出了下面的變形變式：

變式1a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

變式2sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.

變式3a=bsinAsinB=csinAsinC，b=csinBsinC=asinBsinA，c=asinCsinA=bsinCsinB.

變式4a：b：c=sinA：sinB：sinC.

變式5a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC=2R.

利用這些變形變式能實現同一個三角形中邊與角的互化，從而有利于問題的轉化與解決.

1.5鞏固變式

所謂概念鞏固變式，就是設計直接應用知識的練習變式題組，并通過題組的討論解決達到熟悉知識、鞏固知識、應用知識，提高解決問題能力的目的.

例5教學拋物線的定義后，設計了下面的鞏固變式題組：

變式1拋物線y2=8x上的點（4，-42）到焦點的距離等于.

變式2拋物線y2=8x上到焦點的距離等于6的點的坐標是.

變式3動點P到點F（2，0）的距離比它到直線x+3=0的距離小1，則動點P的軌跡方程為.變式4過拋物線y2=8x的焦點作直線與拋物線交于A、B兩點，且線段AB中點M的橫坐標是6，則|AB|=.

變式5已知F是拋物線y2=8x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=12，則線段AB的中點到y軸的距離為.

變式6已知A，B為拋物線y2=8x上的動點，|AB|=6，則AB的中點P到y軸距離的最小值.

通過這樣一組鞏固變式題組，加深了對拋物線定義的理解和應用，強化同學們運用知識解決問題的能力，達到靈活多變的效果.

2數學問題的“變式教學”

問題解決是數學教學的重要組成部分，是把知識、技能、思想方法聯系起來的一條紐帶，能達到強化基礎、傳授方法、揭示規律、啟發思維、激勵創新、培養能力的目標.在問題解決的教學過程中，當學生獲得一系列基本解法后，應通過改變題目的條件、探求題目的結論、改變情境等多種途徑，強化學生對知識和方法的理解、掌握和變通，幫助他們對問題進行多方面、多角度、多層次的思考，使思維不局限于固定的理解和某一固定的模式，從而提出新問題或獲得同一問題的多種解答或多種結果.

2.1一題多解（證）

對于一道數學題，由于做題的著眼點和角度的不同，會有許多不同的解題方法.在教學中，要抓住一切有利時機，鼓勵學生經常有意識地在掌握常規方法的基礎上，再回過頭來從多角度、多方位去思考，尋求更好、更簡捷巧妙的變式方法，這樣有利于學生對基礎知識的縱橫聯系和溝通，也有利于數學思維能力的提高.

例6（2017年高考江蘇卷·12）如圖1，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），則m+n=.

變式方法1代數運算方法——利用數量積運算

OC·OA=（mOA+nOB）·OA=mOA2+nOB·OA，OC·OB=（mOA+nOB）·OB=mOA·OB+nOB2，得

2cosα=m+ncos（α+45°），2cos45°=mcos（α+45°）+n，所以m+n=2（cosα+cos45°）cos（α+45°）+1.

由tanα=7，求得cosα和cos（α+45°）的值，代入得m+n=3.

本解法從向量的模和夾角出發，巧妙地利用向量的數量積運算和三角恒等變換求解，很是富于創意.

變式方法2坐標運算方法

如圖2，以點O為坐標原點，以OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，

則A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（cosα，sinα），即

OA=（1，0），OB=（cos（α+45°），sin（α+45°）），OC=（2cosα，2sinα）.

由tanα=7，求得sinα，cosα，cos（α+45°），sin（α+45°）的值，代入OC=mOA+nOB，得m-35n=15，45n=75，解得m，n即可.

利用平面向量的坐標運算，我們可以把向量運算代數化.將數與形緊密結合起來，從而使許多問題轉化為我們熟知的數量運算，使問題得以簡化.本解法是通過建立平面直角坐標系，構設點的坐標后轉化為向量的坐標運算，利用向量相等轉化求解的，體現了數學建模思想的運用.

變式方法3幾何方法——利用向量的運算法則

如圖3，過C作OB的平行線交OA的延長線于A′，作OA的平行線交OB的延長線于B′.

根據向量加法的平行四邊形法則，得OC=mOA+nOB=OA′+OB′，所以mOA=OA′，nOB=OB′，所以|OA′|=m|OA|=m，|OB′|=n|OB|=n.

在△OA′C中，由余弦定理得n2=m2+2-22mcosα=m2+2-25m，①

在△OB′C中，由余弦定理得m2=n2+2-22ncos45°=n2+2-2n.[JY]②

由①②解得m，n即可.

本解法利用向量加法的平行四邊形法則，并結合三角形中的余弦定理，將問題幾何化，體現了數形結合思想的運用.

變式方法4利用向量三點共線定理和等積法

向量三點共線定理平面中A，B，C三點共線存在唯一的一對實數x，y，使得OC=xOA+yOB（O為平面內任意一點），且x+y=1.圖4

因為OC=mOA+nOB（m>0，n>0），所以OCm+n=mm+nOA+nm+nOB.

設OCm+n=OC′，則OC′=mm+nOA+nm+nOB.

因為mm+n+nm+n=1，所以A，C′，B三點共線（如圖4），且m+n=OCOC′=2OC′.

由S△AOC′+S△BOC′=S△AOB，得

12|OA||OC′|sinα+12|OB||OC′|sin45°=12|OA||OB|sin（α+45°），所以7210|OC′|+22|OC′|=45，所以|OC′|=23.

所以m+n=2OC′=3.

本解法巧妙地構造三點共線模型，并利用三角形的等面積法求解，思維獨特、匠心獨具，對拓展同學們的解題思路頗有裨益.2.2一題多變

對于一些典型的題目，應從多方面進行多變變式，經過大量變式不斷變換問題情景，將題目橫向、縱向拓展，以一當十、觸類旁通，可以有效地提高教學效率.

例7（人教A版必修四第146頁第5題）化簡：sin50°（1+3tan10°）.

變式1化簡：（1-2sin220°）（1+3tan10°）.

變式2化簡：1sin50°-3tan10°.

變式3若實數m使得sin50°（m+3tan10°）=1，則m的值為

.

變式4若實數m使得sin50°（m+3tan80°）=1，則m的值為.

變式5是否存在實數m，使得sin50°（m+3tan10°）=1？若存在，求出m的值;若不存在嗎，說明理由.

這樣，通過一題多變，不僅使學生加深理解和掌握知識，更重要的是開發了學生的智力，培養和提高了學生的發散思維能力.2.3一題多用

同一類型的問題，其解法往往有其規律性，發現歸納知識間的內在聯系，挖掘出數學思想與方法，總結概括出解題的基本規律.這樣，既有利于使學生對問題的認識上升到一個更高層次，又有利于學生的概括思維能力的訓練和提高.

例8見例6.

這是高考中常出現的一類向量問題，相關的高考題還有：

變式1（2007年高考陜西卷理·15）圖5

如圖5，平面內有三個向量OA，OB，OC，

其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈[WTHZ]R[WTBX]），則λ+μ的值為

[CD#3].（答：6）

變式2（2009年高考安徽卷理14）給定兩個長度為1的平面向量OA，OB，它們的夾角為120°.如圖6所示，點C在以O為圓心，以1為半徑的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB（其中x，y∈[WTHZ]R[WTBX]），則x+y的最大值是[CD#3].（答：2）

為此，我們可以提煉出這類問題的一般模型：如圖7，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為r1，r2，r，OA與OC的夾角為α，OB與OC的夾角為β.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），則m+n=[CD#3].

有了例6的解法，這一類問題也就迎刃而解了.

3結束語

數學“變式教學”是使學生深入理解、掌握和靈活運用知識的有效途徑，對于激發學生的數學思維，促進數學核心素養的形成和發展有著極為重要的作用.在數學課堂的“變式教學”中，我們應當有：衣帶漸寬終不悔，為“變”消得人憔悴的情懷，使變式教學成為我們數學課堂教學不斷進取和追求的至高境界和目標.陶哲軒在《解題·成長·快樂》序言中引用古希臘哲學家普羅克洛斯的話：“這，就是數學：她提醒你靈魂有不可見的形態，她賦予自己的發現以生命;她喚醒悟性，澄清思維;她照亮了我們內心的思想;她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知…….”筆者以此與各位同仁共勉！

參考文獻

[1]周萬林.加強變式教學培養思維品質[J].數學教學研究，2003（3）.