2018年高考江蘇卷兩道高考填空題的解法

殷長征

題目（2018年江蘇卷第12題）在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D，若AB·CD=0，則點A的橫坐標為

.

解法1設點A的坐標為（a，2a）（a>0），點D的坐標（b，2b），因為B（5，0），所以圓心C（a+52，a），直線AD的斜率kAD=2，直線BD的斜率kBD=0-2b5-b，又知kAD·kBD=-1，解得b=1，所以點D的坐標（1，2），直線DC的斜率kDC=a-25+a2-1，直線AB的斜率kAB=0-2a5-a，又知kDC·kAB=-1，解得a=3，所以點A的橫坐標為3.

解法2設點A的坐標為（a，2a）（a>0），因為B（5，0），所以圓心C（a+52，a），所以圓C的方程為（x-5）（x-a）+y（y-2a）=0，聯立方程組y=2x，（x-5）（x-a）+y（y-2a）=0，解得D（1，2），由AB·CD=0，解得a=3或a=-1（舍去），所以點A的橫坐標為3.

解法3因為AB·CD=0，所以AB⊥CD，因為C是AB的中點，所以∠BAD=45°，設直線l的傾斜角為α，所以tan∠ABO=-tan（45°+α）=3，所以直線AB的斜率kAB=-tan∠ABO=-3，又知B（5，0），所以直線AB的方程為y=-3（x-5），聯立方程組y=2x，y=-3（x-5），解得x=3，所以點A的橫坐標為3.

題目（2018年江蘇卷第13題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

解法1利用等面積法.因為S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12acsin120°=12csin60°+12asin60°，化簡得ac=a+c，即1a+1c=1，所以4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+4=9，當且僅當ca=4ac，即c=2a時取等號，所以4a+c的最小值為9.

解法2利用正弦定理.設AD=m，CD=n，在△ABC中，由正弦定理得

asinA=bsin120°，所以b=asin120°sinA，同理可得m=sin60°sinA，n=sin60°sinC，因為

m+n=b，所以sin60°sinA+sin60°sinC=asin120°sinA，利用正弦定理并化簡得1a+1c=1，同法1得4a+c的最小值為9.

解法3利用共線向量式.在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，BD=1，∠ABC=120°，所以BD=aa+cBA+ca+cBC，兩邊平方并化簡得ac=a+c，即1a+1c=1，同法1得4a+c的最小值為9.（也可以由ac=a+c，得（a-1）（c-1）=1，所以4a+c=4（a-1）+（c-1）+5≥4+5=9）.

解法4解決三角和向量問題可以利用坐標法.以點B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，可得A（a2，3a2），B（0，0），C（c2，-3c2），D（1，0），因為A，D，C三點共線，所以3a2a2-1=3c2c2-1，化簡ac=a+c，同法1得4a+c的最小值為9.

[HT][HJ][FL）]

[JZ（][HT2SZ]兩道高考試題的統一推廣

[HT][HT5K]寧夏彭陽縣第三中學756599[HT5H]王伯龍

[JZ）][HT]

[FL（K2]

[STFZ]1考題呈現

題1（2018年高考全國數學卷Ι理19題）設橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

⑴當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

⑵設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

題2（2018年高考全國數學卷Ι文20題）設拋物線C：y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C相交于M，N兩點.

⑴當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

⑵證明：∠ABM=∠ABN.

這兩道試題充分考查了圓錐曲線與直線位置關系的綜合問題，設置新穎簡潔，寓意深刻，本源相同，是值得研究的好題.仔細觀察便可發現，題1的定點M（2，0）是橢圓C的右準線x=a2c與x軸的交點，題2給出的兩個定點A（2，0），B（-2，0）恰好是關于坐標原點對稱的兩點，可以看成是拋物線的焦點與準線與x軸的交點的一般化，于是可將試題一般化，進行推廣.

[STFZ]2試題一般化推廣

考題1的第⑵問只是在特殊情形下得出的，那么對于一般化情形下是否成立，筆者經過嘗試研究，并且類比到圓錐曲線中，便有如下的幾個結論.

結論1設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，準線與x軸的交點為M，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，則∠FMA=∠FMB.

結論2設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點為F，準線與x軸的交點為M，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，則∠FMA=∠FMB.

結論3設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的焦點為F，準線與x軸的交點為M，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，則∠FMA=∠FMB（或∠FMA+∠FMB=180°）.

3試題的再推廣

考題2的第⑵問給出的定點A（2，0），B（-2，0）是將拋物線的焦點和準點更一般化，我們可以嘗試將上述幾個結論再做進一步推廣.

結論4設拋物線C：y2=2px（p>0），點F（t，0），直線x=-t（t≠0）與x軸的交點為M，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，則∠FMA=∠FMB.

結論5設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點F（t，0）（t

結論6設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點F（t，0）（t>a），直線x=a2t與x軸的交點為M，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，則∠FMA=∠FMB.

限于篇幅，本文只證結論5，其它的兩個結論可以模仿結論5的證明.

證明易知點M（a2t，0），設過點F的直線l：x=ky+c，交橢圓C于A（x1，y1），B（x2，y2），由b2x2+a2y2=a2b2，x=ky+c，消去x整理得（b2k2+a2）y2+2tb2ky+b2（t2-a2）=0，由根與系數的關系得y1+y2=-2tb2kb2k2+a2，y1y2=b2（t2-a2）b2k2+a2.而kAM=y1x1-a2t，kBM=y2x2-a2t，于是有kAM+kBM=x2y1+x1y2-a2c（y1+y2）（x1-a2t）（x2-a2t）=y1（ky2+t）+y2（ky1+t）-a2t（y1+y2）（x1-a2t）（x2-a2t）

=2ky1y2+（t-a2t）（y1+y2）（x1-a2t）（x2-a2t），因為2ky1y2+（t-a2t）（y1+y2）=2k·b2（t2-a2）b2k2+a2+

（t-a2t）·（-2b2kb2k2+a2）=2kb2（t2-a2）-2kb2（t2-a2）b2k2+a2=0，所以kAM+kBM=0，即kAM=-kBM，故∠FMA=∠FMB.

4一點反思

本題較好的體現了現代社會對數學教育的尋求，情境熟悉、情態鮮活；采用“以能力立意”的命題思想，注重新舊知識的交匯，著力考查知識和技能的應用能力和遷移潛質，使新課程所倡導的“多樣性、交叉性縱向不深、橫向拓寬”的命題要求得以充分的體現.高考試題是命題組教師集體智慧的結晶，是平時學生學習和教師教學過程中的寶貴財富，是今后教學和備考復習的指揮棒.將高考試題進行推廣，一方面是對高考試題命制背景的探源，另一方面是對數學知識的歸納提升，是對數學創新思維能力的培養.因此，在平時的教學中要有意識的引導學生學習和研究歷年的高考題.

作者簡介王伯龍（1965—），男，寧夏彭陽縣人，中學數學高級教師，自治區級骨干教師，固原市數學學科帶頭人.近年來，在《中學數學雜志》等雜志上公開發表論文110余篇，主持并完成多項課題.