導(dǎo)數(shù)零點問題求解探析

林志鵬

【摘要】 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考試卷的常見壓軸題。“導(dǎo)數(shù)易得，零點難求。”本文通過幾道典型題目探討了這類問題的幾種常見破解方法，豐富這類問題的解題策略，提高解題效率。要能夠從容應(yīng)對此類高考壓軸題，除了注重總結(jié)，根本上還是要提高數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，才能融會貫通。

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù) 零點問題 總結(jié) 學(xué)科素養(yǎng)

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-035-01

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導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，而求導(dǎo)數(shù)零點是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要前提。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考試卷的常見壓軸題，其中導(dǎo)數(shù)零點無法求解往往是此類題目的難點之一。導(dǎo)數(shù)易得，零點難求，本文通過幾道典型題目探討了這類問題的幾種常見破解方法，豐富這類問題的解題策略，提高解題效率。

一、加強式子變形

對數(shù)學(xué)式子進行變形，是學(xué)好代數(shù)最重要的能力之一。加強對涉及到的式子及導(dǎo)數(shù)的變形，可以方便求導(dǎo)以及導(dǎo)數(shù)零點的求解。

例1.已知fx=ax-1ex+x2，x=0是fx的極值點.求證：fx≥lnax-1+x2+x+1.

證明：∵f′x=exax-1+a+2x，∵x=0是fx的極值點，∴f′0=a-1=0a=1；∴fx=x-1ex+x2故要證： x-1ex≥lnx-1+x+1，令x-1=t，即證tet+1≥lnt+t+2，

設(shè)hx=ex·ex-lnx-x-2x>0，即證hx≥0，h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex，

令ux=ex-1ex， u′x=ex+1ex2>0，∴ux在0，+∞上遞增，又u1=e-1e>0， ue-2=ee-2-e<0，故ux=0有唯一的根x0∈0，1， ex0=1ex0，當(dāng)0x0時， ux>0h′x>0，

∴hx≥hx0=ex0·ex0-lnx0-x0-2=ex0·1ex0+lnex0+1-x0-2 =1+x0+1-x0-2=0.

點評：此題用到兩次重要的式子變形，一個是將要證明的式子轉(zhuǎn)化成tet+1≥lnt+t+2，另一個是h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex的變形整理。

二、利用二分法確定導(dǎo)數(shù)零點范圍，設(shè)而不求

在求導(dǎo)數(shù)零點的時候無法求出具體的數(shù)值，可以嘗試?yán)美枚址ù_定導(dǎo)數(shù)零點個數(shù)及范圍，并利用零點必須滿足的式子求解極值。

例2.設(shè)函數(shù)fx=xex-12a+1x2+2x， gx=lnx-12a+1x2-ax+a+1， a∈R.當(dāng)x>0時，函數(shù)y=fx的圖像上存在點在函數(shù)y=gx的圖像的下方，求a的取值范圍.

解：∵函數(shù)y=fx的圖像上存在點在函數(shù)y=gx的圖像的下方，可知x>0，使得fx0， xex-lnx-x-10時， φ′x=x+1ex>0，所以φx在0，+∞上遞增， ∵φ（0）=-1，φ（1）=e-1 ，

∴φx存在唯一的零點t∈0，1，且當(dāng)x∈0，t時， φx<0，當(dāng)x∈t，+∞時， φx>0，則當(dāng)x∈0，t時， h′x<0， hx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈t，+∞時， h′x>0， hx單調(diào)遞增，

故hx≥ht=tet-lnt-t-1， 由tet-1=0，可得lnt+t=0， ∴ht=0，∴hx≥ht=0，

點評此題中，利用二分法確定φx存在唯一的零點t∈0，1，又因為h′x=x+1xxex-1不能直接求解零點，所以利用導(dǎo)數(shù)零點必須滿足tet-1=0從而求出極值。

三、放縮法

如果所研究的函數(shù)是比較復(fù)雜的超越函數(shù)，則在證明不等式時經(jīng)常要利用放縮法對不等式進行放縮。此類題目中，經(jīng)常要利用題目中前面已經(jīng)證明的結(jié)論，或者利用一些比較常見的三角函數(shù)及指對數(shù)函數(shù)的放縮結(jié)論來進行放縮。

例3.函數(shù)fx=ex-x-1， gx=exax+xcosx+1.（1）求函數(shù)fx的極值；（2）若a>-1，求證：當(dāng)x∈0，1時， gx>1.

解：（1）略.（2）不等式gx>1等價于ax+xcosx+1>1ex，由（1）得： ex≥x+1.

所以1ex<1x+1， x∈0，1，所以ax+xcosx+1-1ex>ax+xcosx+1-1x+1 =ax+xcosx+xx+1 =xa+cosx+1x+1. 令hx=cosx+a+1x+1，則h′x=-sinx-1x+12，當(dāng)x∈0，1時， h′x<0，所以hx在0，1上為減函數(shù)，因此， hx>h1=a+12+cos1，

因為cos1>cosπ3=12，所以，當(dāng)a>-1時， a+12+cos1>0，所以hx>0，而x∈0，1，所以gx>1.

點評：此題利用了ex≥x+1進行了放縮，否則原函數(shù)中既含有指數(shù)函數(shù)又有三角函數(shù)及一次函數(shù)，式子比較復(fù)雜，難以直接研究。

以上幾種方法，只是研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一些常用方法。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為代數(shù)問題的一部分，同學(xué)們要能夠從容應(yīng)對此類高考壓軸題，除了注重總結(jié)，根本上還是要提高數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高解題能力，才能融會貫通。