淺談初中二次函數的教學

黃認先

【摘要】 二次函數是初中數學的一個重要知識點，它與一元二次方程、一元二次不等式、方程組以及幾何知識都有必然的聯系。同時，也為學生進入高中進一步學習函數打下基礎。本文僅就二次函數的教學目標、教材內容的總體認識、教學中培養學生的數學能力談一些看法。

【關鍵詞】 掌握 認識 歸納 滲透 發掘 化解

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-124-02

0

二次函數是初中數學的重要內容之一，它不僅是一個重要的數學概念，也體現了一種重要的數學思想方法。二次函數是中考的必考點，考題的難易跨度較大，基礎題、能力題、拓展題三種層次的題目都有可能出現。初中學生從學習數、式、方程等研究常量的計算問題，到學習函數研究變量的變化規律，是認識上的一次重大飛躍。學習函數，可以幫助學生深化對代數式的認識，溝通方程、不等式、函數之間的聯系，完成相應的知識結構。同時，二次函數一章的學習也是初中代數與高中代數之間在內容與思想方法上的銜接與過渡。不少學生在學習這部分知識時，缺乏從整體上認識二次函數與圖象以及性質的統一性，因而解題上存在著盲目性，缺乏簡潔性和靈活性，運用二次函數解決實際問題的能力明顯不足。根據多年的教學實踐，本人認為出現這些問題的癥結。從教師這方面來說主要有三個原因：一是教師的“教”與學生的“學”或多或少存在“兩張皮”現象，沒有有機地統一起來；二是教學中數與形的“兩張皮”現象，未能做到數形結合和歸納總結進行教學；三是教學過程沒有充分體現出以學生發展為本，缺乏對學生數學能力的培養。本文僅就二次函數的教學目標、教材內容的總體認識、教學中培養學生的數學解題能力談一些看法。

一、掌握教學目標與指導思想

二次函數的教學目標是：通過學生積極參與，在探求、認知的全過程中理解和掌握二次函數的圖象和性質，初步學會應用，培養自主學習的能力，掌握基本的數學方法，增強創新意識，發展積極的情感態度和價值觀。為實現這一目標，必須貫徹新的課程理念，在教學課程的結構、內容的取舍、課堂教學的設計與組織等方面，處處以學生發展為本。樹立課程是為學生提供學習經歷并獲得學習經驗的觀念，確立學生在學習中的主體地位。遵循學生認知心理發展的規律，組織合理的知識結構，展現知識的生成、發展和形成的過程；設計出科學的課堂教學環節，提供學生親身感受、體驗和實踐的機會，激發學生學習的興趣和主動性，發揮學生的創新精神；通過學習情景的創設，實踐環節的開發和學習渠道、手段的拓寬，實現知識的傳承、技能的掌握；能力的發展、方法的運用；情感態度和價值觀的形成。

二、從生活實例中認識二次函數的概念

二次函數的概念的教學，教材中安排了“正方體的表面積與棱長”、“比賽的場次數與球隊數”以及“產量與計劃增長倍數”等三個實例引入二次函數的概念.這一節的課堂設計和教學組織應做好三個環節，達到兩個目標：一是引導學生通過思考、合作討論與交流，自己找到三個實例的函數關系式——即建立數學模型：（1）y=6x2（2）y=0.5x2-0.5x（3）y=-100x2+100x+200；二是通過觀察、比較、抽象，學生發現三個函數解析式的共同點——函數都是用自變量的二次式表示的，從而理解二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的概念。三是引導學生從三個實例中，自變量的變化以及函數相對應的變化情況，來理解函數定義域的意義并求出各函數的定義域。通過以上三個環節的教學過程，使學生理解了二次函數的概念，并能認識到實際生活中二次函數的例子隨處可見，從而激發濃厚的學習興趣。

三、類比、數形結合和歸納掌握二次函數的圖象和性質

二次函數的圖象和性質是本章的教學重點和難點.許多學生在學習中存在的主要問題是不能把二次函數與二次函數的圖象統一起來，只會機械地、孤立地認識二次函數圖象和性質，沒有從整體上完整地把握其性質；對二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中的系數a、b、c在決定二次函數的性質和圖象的形狀與位置等方面的意義和作用，缺乏深刻、完整的認識，即數與形“兩張皮”。本人在教學過程中，運用類比、數形結合和歸納掌握二次函數的圖象和性質：例如，在討論二次函數y=x2時，可以類比一次函數研究二次函數。又如，對于二次函數y=ax2是分a>0和a<0兩種情況討論，先討論a>0的情況就可以類比a<0的情況進行討論。再如，討論二次函數y=2x2-6x+21的圖象和性質，再讓學生運用類比的方法研究二次函數y=-2x2-4x+1的圖象和性質。

數形結合地研究函數貫穿二次函數討論。對于簡單二次函數y=x2的研究就是從畫函數的圖象開始，然后從圖象了解它的性質。其后對二次函數的研究，也展現了從解析式到圖象，從圖象到性質的過程，從特殊例子歸納一般結論。例如，讓學生觀察二次函數y=2x2、y=3x2的圖象與函數y=x2的圖象的共同點與不同點，歸納函數y=ax2（a>0）的圖象特點；探究函數y=-2x2、y=-3x2的圖象與函數y=-x2的圖象的共同點與不同點，歸納函數y=-ax2（a<0）的圖象特點；又如拋物線y=2（x+1）2+3與拋物線y=2x2的關系，從而歸納出把拋物線y=ax2向上（下）、向左（右）平移得到拋物線y=a（x-h）2+k的結論。

由y=ax2→y=ax2+k→y=a（x-h）2→y=a（x-h）2+k→y=ax2+bx+c的處理方法，從特殊到一般，由易到難，符合學生的認知規律.在課堂教學中，要始終貫穿類比、數形結合和歸納掌握二次函數的圖象和性質，要使學生真正認識到圖象是函數的一種表達形式，就如同解析式、列表是函數的表達形式一樣。

四、在教學中培養學生的解題能力

近年來的中考試題中，二次函數的考查力度也逐漸加大，其數量與分值明顯增加，設計內容廣泛，具有一定的難度和深度，其題型也是多種多樣，同時，此類以二次函數為背景的問題，綜合性強，題型多，并藉此考查學生的數學解題能力。

（一）滲透思想方法，著眼規律教學

二次函數一章比較多地運用了待定系數法和數形結合等數學思想方法，選擇恰當的例題，滲透“方法”的教學，幫助學生運用數學思想方法審題，尋求解題規律，有利于數學解題能力的培養和提高。

例1，直線AB過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點，B點坐標為（1，1）。

（1）求直線與拋物線所表示的函數解析式

（2）如果拋物線上有一點D，使得S△OAD=S△OBC，求D點的坐標。

解（1）由直線過點A（2，0）、B（1，1），得直線方程為y=-x+2.又由拋物線y=ax2過點B，得a=1，即拋物線為y=x2.

（2）由點C是直線與拋物線交點，易得C點坐標為（-2，4）.以設代求，設點D的坐標為（x，x2）.則

S△OAD=x2，S△OBC=S△OAC-S△OAB=3.易得D點的坐標

（二）發掘內在聯系，形成知識結構

例2已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B（1）求m的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標； （3）當■

分析：（1）根據題意得出△=（1-2m）2-4m（1-3m）=（1-4m）2>0，得出1-4m≠0，解不等式即可；

（2）y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m無關，解得x=3或x=-1（舍去，y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；

（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|■-4|，由已知條件得出■≤■<4，得出0<|■-4|≤■，因此|AB|最大時，|■-4|=■，解方程得出m=8，或m=■（舍去），即可得出結果。

用二次函數連貫一元二次方程和不等式的知識，可幫助學生深化對方程及不等式的理解，使分散的知識系統化，形成完整的知識結構。另一方面，運用函數思想處理方程和不等式問題，以及運用方程和不等式知識對運動變化過程中的函數局部問題作靜態處理的思想方法，為后續解析幾何學習又能起到打基礎的作用。

（三）綜合運用知識，化解壓軸題

由于綜合題涉及的知識點多、數學方法多、數學思想多。這就要求學生準確迅速地對綜合題提供的信息進行梳理、提煉，運用所掌握的數學知識對綜合題進行分解、組合。

例3如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸相交于點C

（1）求拋物線y=-x2+

ax+b的解析式；

（2）當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值。

分析：（1）將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C點橫坐標為0可得P點橫坐標，將P點橫坐標代入（1）中拋物線解析式，易得P點坐標；

（3）由P點的坐標可得C點坐標，A、B、C的坐標，利用勾股定理可得BC長，利用sin∠OCB=■可得結果。

二次函數綜合題的分解與組合是一個難題，分解綜合題實質上就是不斷把原問題化解為若干個小問題。實質上也是數學的轉化思想。教學中教師要注重對學生這方面能力的培養。

總而言之，二次函數是初中數學的一個重要知識點，這是中考的必考重要考點。還是初中代數與高中代數之間在內容與思想方法上的銜接與過渡，教師在教學過程中著重培養學生的數學解題能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]劉四偉.對于一道初中數學競賽題的理解和運用[J].中學生數理化（高中版·學研版），2011（01）.

[2]吳坤雄.2011年中考考點復習策略（13）——“函數的考法分析”[J].數學學習，2011（03）.

[3]楊紅葆.二次函數y=ax2的圖像與性質的評課案例[J].新課程學習（中），2011（07）.