踏步數(shù)對(duì)板式AT型樓梯配筋影響分析

趙紹恒 （安徽省建筑工程質(zhì)量第二監(jiān)督檢測(cè)站，安徽 合肥 230000）

0 前言

鋼筋混凝土樓梯，按照傳力規(guī)律的不同，可分為板式樓梯和梁式樓梯兩種。板式樓梯，由梯板、平臺(tái)板、梯梁通過(guò)剛性連接而成，具有安全疏散、上下通行、美觀裝飾等功能，廣泛運(yùn)用于房屋建筑工程中[1-2]。

根據(jù)國(guó)家建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)圖集《11G101-2》[3]，板式樓梯可分為11種類型，其中，板式AT型樓梯結(jié)構(gòu)構(gòu)造簡(jiǎn)單、受力清晰、易于操控。因此，本文通過(guò)研究不同踏步數(shù)對(duì)板式AT型樓梯配筋的影響，對(duì)建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的借鑒意義。

1 板式AT樓梯配筋計(jì)算原理

根據(jù)板式AT型樓梯受力和傳力規(guī)律，得出一種簡(jiǎn)便的梯板和梯梁的配筋計(jì)算方法[4]。

1.1 荷載設(shè)計(jì)值計(jì)算

梯板荷載設(shè)計(jì)值和平臺(tái)板荷載設(shè)計(jì)值由恒載和活載組成。恒載包括板塊、面層及抹灰自重，梯板恒載沿板傾斜方向分布，為方便計(jì)算，將其換算成沿水平方向分布再進(jìn)行計(jì)算，活載取值：消防樓梯3.5kN/m2，非消防樓梯2.5kN/m2。

1.2 梯板和梯梁配筋計(jì)算

保證梯板具有一定剛度，板厚宜取L/40～L/35，考慮施工階段的不可預(yù)見(jiàn)性，本文取L/35，且不小于100mm，L為梯板沿水平方向的投影跨度。梯板兩端支承于梯梁上，按照傳力特點(diǎn)，梯板按單向板考慮。梯板及梯梁跨中彎矩近似取M=qL2/8，q為恒載和活載在水平方向均布荷載組合值。

判斷計(jì)算系數(shù):

M為跨中彎矩，α1系數(shù)取1，fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，b為截面寬度，h0為有效截面高度，ζ是否滿足小于0.518。

計(jì)算配筋截面面積：

fy為鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

2 工程案例

2.1 工程概況

某多層框架住宅采用板式AT型樓梯，混凝土等級(jí)強(qiáng)度C35，鋼筋級(jí)別HRB400，平臺(tái)板跨度及梯板寬均設(shè)計(jì)1000mm，梯梁截面尺寸200×400mm，面層20厚水泥砂漿，板底抹灰20厚水泥砂漿。板式AT型樓梯結(jié)構(gòu)配筋詳圖如圖1所示。

圖1 板式AT型樓梯配筋詳圖

2.2 基于MATLAB配筋計(jì)算

以下計(jì)算均通過(guò)MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果詳見(jiàn)表2。

2.2.1 梯板板厚計(jì)算

踏步寬 260mm，踏步高 150mm，踏步數(shù)取 3、5、7、9、11、13、15、17，梯板厚度取 1/35 跨度且大于100mm。

定義參數(shù)變量：踏步數(shù)n，梯板板厚t。控制輸入踏步數(shù)，并計(jì)算相應(yīng)踏步數(shù)梯板厚度結(jié)果見(jiàn)表1。

板式AT型樓梯踏步數(shù)與梯板厚度關(guān)系 表1

2.2.2 梯板荷載計(jì)算

①梯板恒載

梯板自重：[（0.26×0.15/2+0.26×0.1/0.866）×25]/0.26=4.761kN/m2

面層自重：[（0.26+0.15）×0.02×20]/0.26

=0.631kN/m2

抹灰自重：0.02×20=0.4kN/m2

梯板恒載：4.759+0.631+0.4=5.792kN/m2

②梯板活載

考慮消防樓梯功能，取3.5kN/m2

③梯板荷載設(shè)計(jì)值

2.2.3 平臺(tái)板荷載計(jì)算

①平臺(tái)板恒載

平臺(tái)板自重：0.10×25=2.5kN/m2

面層自重：0.02×20=0.4kN/m2

板底抹灰：0.02×20=0.4kN/m2

平臺(tái)板恒載：2.5+0.4+0.4=3.3kN/m2

②平臺(tái)板活載取3.5kN/m2。

③梯板荷載設(shè)計(jì)值

2.2.4 梯板配筋計(jì)算

①跨中彎矩（簡(jiǎn)便計(jì)算，系數(shù)取）

②系數(shù)

③計(jì)算梯板配筋截面面積

④查配筋表[5]，梯板實(shí)際配筋截面面積251mm2。

2.2.5 梯梁配筋計(jì)算

①荷載計(jì)算

梯板平臺(tái)板傳來(lái)荷載：11.850×（0.26×9）/2+8.86×1/2=18.295kN/m

梯梁自重：1.2×（0.4×0.2）×25=2.4kN/m

梯梁荷載設(shè)計(jì)值

②梯梁跨中彎矩

③系數(shù)

④計(jì)算梯梁配筋截面面積

⑤查配筋表[5]，梯梁實(shí)際配筋101mm2。

2.3 牛頓插值法數(shù)據(jù)分析

基于MATLAB計(jì)算機(jī)軟件編程，實(shí)現(xiàn)板式AT型樓梯踏步數(shù)3～17級(jí)的牛頓插值法計(jì)算，畫插值多項(xiàng)式關(guān)系圖，分析函數(shù)圖像得出結(jié)論。

2.3.1 牛頓插值法MATLAB代碼[6]

基于C語(yǔ)言雙循環(huán)結(jié)構(gòu)語(yǔ)句，編寫差商數(shù)值矩陣：

板式AT型樓梯踏步數(shù)與配筋截面面積關(guān)系 表2

采用代數(shù)疊加法計(jì)算牛頓插值多項(xiàng)式，并化簡(jiǎn)：

2.3.2 牛頓插值多項(xiàng)式數(shù)據(jù)分析

基于2.3.1腳本代碼，計(jì)算踏步級(jí)數(shù)3～17級(jí)時(shí)，踏步數(shù)x與梯板計(jì)算配筋截面面積y的牛頓插值多項(xiàng)式，表達(dá)式為：

研究踏步數(shù)與梯板梯梁計(jì)算配筋截面面積二者關(guān)系，采用牛頓插值法對(duì)其關(guān)系深入分析，基于MATLAB作踏步數(shù)與計(jì)算配筋截面面積二維函數(shù)關(guān)系圖及對(duì)應(yīng)一階、二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系圖，詳見(jiàn)圖2～5所示。

據(jù)圖2、3可知：踏步數(shù)3～17級(jí)，隨踏步數(shù)的增加，梯板計(jì)算配筋截面面積加速增加；5～9級(jí)，其二階導(dǎo)數(shù)變化最緩。對(duì)梯板計(jì)算配筋截面面積而言，踏步數(shù)宜取5～9級(jí)，其中，踏步數(shù)設(shè)計(jì)取其均值7級(jí)最為合理。

據(jù)表4、5可知：踏步數(shù)3～17級(jí)，隨踏步數(shù)的增加，梯梁計(jì)算配筋截面面積平穩(wěn)增加；6～12級(jí)，其一階導(dǎo)數(shù)變化最緩。對(duì)梯梁計(jì)算配筋截面面積而言，踏步數(shù)取6～12級(jí)為宜，踏步數(shù)設(shè)計(jì)9級(jí)最為合理。

3 結(jié)論

通過(guò)建立板式AT型配筋模型，采用牛頓差值法分析計(jì)算結(jié)果，繪制牛頓插值多項(xiàng)函數(shù)關(guān)系圖，得出以下結(jié)論。

①利用MATLAB語(yǔ)言編程，可實(shí)現(xiàn)板式AT型樓梯配筋智能計(jì)算，對(duì)建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)由手算往機(jī)算的發(fā)展具有一定參考價(jià)值。

②踏步數(shù)對(duì)板式AT型樓梯梯板梯梁配筋有明顯影響，踏步數(shù)3～17級(jí)時(shí)，踏步數(shù)與梯板梯梁計(jì)算配筋截面面積成正比例關(guān)系；對(duì)梯板配筋而言，踏步數(shù)設(shè)計(jì)7級(jí)為宜；對(duì)梯梁配筋而言，踏步數(shù)設(shè)計(jì)9級(jí)為宜。

③對(duì)于層高較高，可設(shè)計(jì)成多段樓梯，梯板配筋用料遠(yuǎn)多于梯梁，每段踏步數(shù)從配筋角度宜設(shè)計(jì)為7級(jí)。

圖2 板式AT型樓梯踏步級(jí)數(shù)x與梯板計(jì)算配筋截面面積y關(guān)系圖

圖3 板式AT型樓梯梯板計(jì)算配筋截面面積y對(duì)踏步級(jí)數(shù)x一階、二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系圖

圖4 板式AT型樓梯踏步級(jí)數(shù)x與梯梁計(jì)算配筋截面面積y關(guān)系圖

圖5 板式AT型樓梯梯梁計(jì)算配筋截面面積y對(duì)踏步級(jí)數(shù)x一階、二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系圖