極限求解的“等代法”探討

梁靜靜

摘 要：極限問題主要是對自變量在某個變化趨勢下，極限函數趨于某個特定值的探討，對其求解作為導數的引入環節，具有十分重要的意義，然而極限的求解過程對于初學者而言并不容易歸納掌握。如何提高學生學習極限的興趣，以此為出發點，針對極限求解過程，總結出求解極限題型的“等代思想”，并通過相關例題驗證其可行性與便捷性。

關鍵詞：高等數學 極限求解 等代法 洛必達法則

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）05（c）-0169-02

高等數學是大學階段理工科專業所必學的一門數學基礎課程，對后續專業課的學習起到了很強的鋪墊作用，然而數學課堂卻被一部分學生定義為“枯燥無味的課堂”，甚至對數學知識的學習產生了一定的排斥乃至懼怕心理，最后導致高等數學的課程學習效果并不理想，在專業課學習過程中用到相關高等數學的知識時，就出現了“不知其所以然”的現象。如何才能使學生對數學課堂不產生排斥心理，而是對數學知識的學習充滿著積極性，研究者做了大量研究，如胡月[1]就如何控制并調解學生對數學學習的認知負荷進行了研究，認為對一些題目的講解應該直接面向問題的本質及中心，從而在解題時做到引入最少的信息而換取高效的解題效率.同時指出，要想從根本上改變學生對待數學課堂的認知態度，應在數學課堂教學過程中選取合適地學習目標，因材施教，以激發學生主動學習的興趣，最終減少學生對數學知識的認知負荷，進行有效的數學學習；那仁格樂[2]對高校數學課堂的教學方法進行了評價性論述，認為現階段數學課程教學的現狀主要體現為教學模式缺乏靈活性、教學方法缺乏多變性、教學內容趨于復雜化以及學生學習缺乏主動性等，在此基礎上認為高校教師改善數學課堂教學效率的出發點，應該從自身因素著手，開展自主學習、實踐探索以及合作探究的學習模式，并提出建立良好的師生關系和循序漸進的講授方能使學生“親師信道”，從而提高學生學習數學的興趣；何永剛[3]以核心素養為視域，研究了數學課程課堂教學所面臨的問題，并提出了相應的解決方案.首先認為數學課堂主要存在的問題在于師生之間的緊張關系以及教師對教材以及參考書目的依賴心理，在此基礎上提出了基于核心素養的“教學相長”、“教材二次開發”等數學課程教學策略，以突出教學過程中的“優化思想”，從而在真正意義上實現數學課堂“知識本位”到“核心素養”轉變的教學模式，進一步激勵學生主動學習數學課程的興趣，提高數學課堂的教學效果。

數學課程的學習講求循序漸進的過程，若前面的基礎沒有打好，則會對后續知識的學習產生影響。極限問題是高等數學課程的重要部分，其作為導數知識的引入環節，對極限的求解直接影響到導數的理解過程.對于學生而言，極限作為新知識點引入，一些學生可能就想當然地以為極限問題很難，從而產生“懼怕”心理，導致厭學情緒的產生，因此在講解極限章節時，應該以提高學生的學習興趣為出發點，首先簡化理論介紹，總結解題技巧，讓學生從心理上克服學習極限的障礙，從而打好后續導數、積分等知識的學習基礎.如何才能有效的組織開展極限求解的課堂學習，本文在總結教學經驗和進行解題探究的基礎上，引入了極限求解過程的“等代思想”，并通過舉例求解進行驗證其可行性與便捷性，為學生打好極限基礎以及教師有效開展極限教學提供了一定的參考價值。

1 “等代法”介紹

極限問題主要分為數列極限以及函數極限兩個方面，本文主要針對函數極限進行討論。對于大部分教材[4-5]在引入函數極限時，都是首先根據進行極限的定義，然后針對、、或等各種形式極限展開討論，等各種形式極限展開討論，方向都偏向于理論方面的介紹，導致部分學生在課下進行預習或復習環節時，就會認為極限問題是枯燥無味的章節，進而提不起學習興趣.因此在進行函數極限學習時，以提高學生學習興趣為出發點，就應該簡化定義、各種形式極限等方面的介紹，而將授課重點確定為極限求解問題，總結解題技巧。

眾所周知，極限求解問題主要是針對在自變量的某個變化趨勢下，極限函數趨于某個特定值（或∞）的討論。以為例說明如下：表示當趨于時，討論趨于何值.綜觀極限的求解方法，如分式有理化、分解因式法、洛必達法則以及等價無窮小替代等都是建立在對函數進行等價變化的基礎上，同時在極限的求解過程中，每個過程都需要驗證該步驟是否具有實際意義.在此基礎上，本文引入“等代法”簡化求解極限的思路.顧名思義，“等代法”即為對極限進行等價變化到最后代入趨值有意義的步驟，再將自變量的趨值代入極限函數即可得出所求極限的結果。

2 “等代法”應用

例1：求極限

分析：將趨值1代入極限函數中，發現此時分式函數直接就有意義，運用“等代思想”，可以直接將帶入極限函數，即可得出極限的結果。

3 結語

極限求解是高等數學課程的重要章節，如何才能幫助初學者快速理解掌握極限的求解思想，本文在總結課堂教學經驗的基礎上，以極限章節為切入點，針對函數極限求解的常用方法，引入“等代法”求解極限問題的思想，并通過舉例說明其可行性與便捷性。實踐證明，在極限章節的學習過程中，以“等代法”進行系統概括極限的求解思路，能夠有效的提高學生學習極限的興趣，更好地引導學生學習后續微積分等章節的知識，很大程度上改善了數學課堂“苦悶”的教學氛圍。

參考文獻

[1] 胡月.教師控制學生認知負荷的教學行為調節探討——以數學課堂教學為例[J].教育理論與實踐， 2018（5）：51-53.

[2] 那仁格樂.高校數學課堂教學理論與方法探究——評數學課堂教學研究[J].教育評論，2018（1）：167.

[3] 何勇剛，張立昌.核心素養視閾下的數學課堂教學困境與紓解[J].吉首大學學報：社會科學版，2017（S2）：226-228.

[4] 同濟大學數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[5] 趙立軍.高等數學[M].2版.上海：復旦大學出版社， 2017.