基于Bootstrap仿真的魚雷實航工作可靠度評定方法

薛來，甘祖旺

(昆明船舶設備研究試驗中心，云南 昆明 650051)

0 引言

魚雷實航工作可靠度指在規定的實航條件和實航次數內，完成規定功能的概率，其評定一直受到水中兵器行業工程人員和學者的廣泛研究。近年來，隨著設計水平的提高與制造工藝的進步，魚雷產品的可靠性越來越高，在可靠性試驗中出現的故障也越來越少，傳統的基于參試產品個數、故障次數和故障時間的可靠性評估方法在某些時候已不太適用[1]。同時，在工程實踐中，由于費用、時間等因素的影響，魚雷的試驗次數往往有限，經典統計方法的評定結果可信度一般比較低[2]。為了縮短置信區間，提高評估結果的可用性，業內多采用補充先驗可靠性數據，再與現場試驗數據相結合的綜合評定方法[3]。目前魚雷先驗數據常使用可靠性預計數據、不同環境下的試驗數據及不同研制階段的研制數據[4-5]。但對于這些數據的轉換存在一定的難度，同時轉換的可信程度待進一步確認，采用傳統可靠性分析理論和方法獲得的結果將存在很大的風險[6]。

此外，現有魚雷先驗信息大都局限于非性能可靠性信息[7-10]，而在實際工作中，人們卻越來越多地以產品性能下降的程度作為判斷故障的依據，也非常關心產品保持其設計性能的能力，性能可靠性[11]數據日益成為評估產品可靠性的重要數據。同時，考慮到Bootstrap仿真方法[12-13]完全依據性能數據樣本本身的信息,不需要作任何主觀假設,也不需要額外信息,在工程上易于實現。因此，本文提出基于Bootstrap仿真方法的綜合性能可靠性信息的魚雷實航工作可靠度評定方法。

首先，利用Bootstrap方法對已有性能數據樣本進行仿真，并評估出性能可靠性；然后，通過Bayes先驗分布超參數計算將性能可靠性轉換為魚雷實航工作可靠度的先驗數據；最后，結合現場試驗數據使用Bayes進行綜合評定可靠度。實例表明，該方法可以解決魚雷實航工作可靠度評定現場試驗數據不足的小子樣問題，提高評估的準確性。

1 魚雷性能可靠性評估

1.1 性能可靠性的定義

性能可靠性[11]是指產品在規定工作條件下，規定工作時間內，其性能參數滿足規定的允許限要求的概率。本文中以隨機變量X泛指產品的任一性能參數。大量試驗統計表明，X通常服從正態分布，記為N(μ,σ2)。一般地，用X0±ΔX表示規定的允許限，其中X0稱為性能參數的額定值,±ΔX稱為性能參數的最大允許偏差。

記XL=X0-ΔX,XU=X0+ΔX，分別表示性能參數的允許下限和允許上限，于是根據對性能參數要求類型的不同，性能可靠性可分別表示為：

(1) 雙側允許限性能可靠性

(2) 單側允許下限性能可靠性

(3) 單側允許上限性能可靠性

1.2 利用 Bootstrap 仿真方法估計性能參數的均值和方差

.

此時μ和σ2的估計誤差Tn(μ)和Tn(σ2)分別為

(1)

將X1,X2,…,Xn按由小到大排列，表示為：X(1)≤X(2)≤…≤X(n)，則有樣本X的經驗分布Fn為

.

通過上述估計值可以得到μ和σ2的Bootstrap點估計值為

1.3 性能可靠性的評定

性能可靠性的置信下限[15]為

(1) 雙側允許限性能可靠性置信下限

首先由下式計算允許限系數KL與KU

由KL與KU及給定的置信度γ和樣本容量n，查正態分布雙側統計允許限系數表可得到對應的概率值PL與PU，從而置信下限RL為

RL=1-(PL+PU).

(2) 單側允許限性能可靠性置信下限

對于單側允許下限性能可靠性，其允許限系數為

2 基于性能可靠性的魚雷等效先驗數據

通過Bayes[16]可靠性先驗分布的矩法計算超參數的方式，可以將評估出的魚雷性能可靠性轉換為可靠性先驗數據。由于二階矩不易計算，因此可利用一階矩R0與給定置信度γ下的置信下限RL進行處理，等效為成敗型信息(n1，f1)。

具體地，設對應性能可靠性信息的先驗分布為Beta分布：

,

則

(2)

通過式(2)求得超參數(a，b)，則等效先驗數據可取：

3 綜合性能可靠性的實航工作可靠度Bayes評定

當性能可靠性信息等效為成敗型先驗數據(n1，f1)時，對應性能可靠性信息的先驗分布為Beta分布：

通過式(2)求得a，b，可取：s1=a，f1=b，n1=a+b。

令n2=s2+f2，則現場二項試驗(s2,f2)發生概率為

則實航工作可靠度R的后驗分布由Bayes定理確定：

β(R(f1+f2,s1+s2)).

則R的點估計為

(3)

采用Bayes方法，R的置信度為γ的置信下限為

即

IRL(s1+s2,f1+f2)=1-γ.

(4)

根據Beta分布與F分布分位數間的關系：

綜合2節的公式及式(2)～(4)即得到了基于Bootstrap仿真方法的魚雷實航工作可靠度小子樣評定模型。

4 應用實例

某魚雷要完成一個機械動作，根據技術要求需要在30 s內完成該動作，已知該指標對應的性能可靠性信息及現場試驗信息，運用上述方法(具體流程見圖1)對魚雷實航工作可靠度進行評估(置信度γ=0.8)。

圖1 評估方法流程Fig.1 Assessment method and procedure

表1所示為30個性能可靠性數據，表示魚雷完成該機械動作所花費的時間，時間的長短意味著性

能的優劣。由于經費和時間的制約，為評估魚雷的實航工作可靠度僅進行了4條次現場試驗，結果為0條次故障，即可靠性現場試驗數據為(4,0)。

表1 魚雷某性能可靠性數據

圖2 仿真10 000次后性能可靠度計算界面Fig.2 Performance reliability calculation after 10 000 simulation

IRL(s1+s2,f1+f2)=1-γ.

根據Beta分布與F分布分位數間的關系

計算得點估計值和置信下限分別為R03=0.957 4，RL3=0.915 0。若不考慮魚雷性能信息，可靠度下限評估值僅為RLA2=0.668 7。

5 結束語

本文提出的基于Bootstrap仿真方法的實航工作可靠度評定方法,充分利用Bootstrap仿真計算出的性能可靠性先驗信息，采用Bayes方法綜合先驗信息與現場試驗信息，最大限度地降低了實航工作可靠度評估樣本不足對評估結果的影響,簡便易行,在工程研究領域具有很好的實用價值。