高中數(shù)學課堂教學有效性探索

蒙國壯

摘要：類比作為一種推理形式，在數(shù)學的發(fā)展中起著重要作用，在數(shù)學課堂教學中恰當?shù)剡\用類比能有效突破知識難點，順利幫助學生完成知識建構(gòu)，同時培養(yǎng)學生的知識遷移應用能力。

關鍵詞：高中數(shù)學；有效性；類比法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-0033

在多年的教學生涯中，常有學生問這樣的問題：“怎樣才能迅速找到解決數(shù)學問題的方法？怎樣想到應該用這樣的方法求解？”筆者明白，他們欠缺的是知識的積累，沒有形成系統(tǒng)的知識認知結(jié)構(gòu)，解題時不能和做過的類似題型聯(lián)系起來，不能及時調(diào)出曾經(jīng)“儲存”在大腦中用過的類似方法，也就是缺乏類比遷移的數(shù)學思想。而學習數(shù)學，最需要的就是這種知識遷移能力。

一、類比法是數(shù)學中重要的思想方法

《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）指出“高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一。人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷。數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用。”

二、類比法的數(shù)學理論基礎

所謂類比推理，是指由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的一種推理方法。也就是說，如果對象甲有性質(zhì)A、B，對象乙也有性質(zhì)A、B，而對象甲還有性質(zhì)C，從而推知對象乙也可能有性質(zhì)C的一種推理。類比推理是一種由特殊到特殊的推理方法。是一種尋求解題思路，猜測和發(fā)現(xiàn)問題答案或結(jié)論的重要方法。

在高中數(shù)學教學中，對類比推理這種思維形式，課本提得較少，而且由于類比推理所得結(jié)論的真實性是不確定的，因而它不能作為嚴格的數(shù)學推理方法。所以在教學中，教師往往忽視它。學生在學習中也很少能想到類比，但類比推理作為一種重要的思想方法，就算在崇尚嚴格邏輯推理的數(shù)學中，有時也起到重要作用。因此在教學中應給予應有的重視。

三、類比法在高中數(shù)學中的體現(xiàn)與應用

類比方法在教學中十分有用，它可以溝通不同的知識板塊，充分調(diào)動所學知識，拓展解題思路。那么如何使學生形成這種思維呢？筆者認為教師在平常的教學活動中，應該有意識地將類比思想滲透于教學的各個環(huán)節(jié)。數(shù)學知識之間往往存在緊密的聯(lián)系，新知識往往是若干舊知識的重新組合或是舊知識的引伸和拓展。因此，掌握舊知識是學習新知識的基礎，新知識是舊知識的延伸和發(fā)展。類比方法成為新舊知識聯(lián)系的紐帶，既加強了知識的縱向溝通，同時又鮮明地展示了知識的獲取過程，形成清晰的知識脈絡，把新知識納入原有知識結(jié)構(gòu)中。

1. 將類比法引入新概念的教學，可使學生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學中的許多概念，知識點之間有類似的地方，在新概念的提出與新知識的講授過程中，可以運用類比的方法，因為被用于類比的特殊對象是學生所熟悉的，所以學生容易從新舊內(nèi)容的對比中接受新知識，掌握新概念。

在高中數(shù)學中通過類比法引入的概念非常多，如：對球的概念教學可與圓的概念進行對比。“平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合是圓。定點就是圓心，定長就是半徑。” “與定點的距離等于或小于定長的點的集合叫做球體，定點叫做球心，定長叫做球的半徑。”

教師在教授“球”這一概念時，可先讓學生復習“圓”的概念。然后設問，“如果我們將概念中的‘平面換成‘空間會得到什么樣的結(jié)果？”讓學生進行想象、討論，充分調(diào)動學生的積極性。新概念的建立，完全可以由學生自己完成。通過這樣的類比設問，將知識建構(gòu)的主動權(quán)還給學生，能更好地激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性。

2. 將類比法用于定理法則的教學，可加深對定理法則的理解和記憶，使所學知識系統(tǒng)化。如：復數(shù)的四則運算加減法一節(jié)中，可這樣設問：“類比以前學過的合并同類項，你認為兩個復數(shù)a+bi與c+di的和或差應該是什么？”學生通過討論很容易得出復數(shù)的加減法法則：“兩個復數(shù)相加（減），把實部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數(shù)單位即可。”復數(shù)乘法也可和整式乘法類比進行類似處理。

復數(shù)除法可以和根式除法進行類比，可設問如下：“在做根式除法如 時，分子分母都乘以分母的‘有理化因式 + ，從而使分母有理化。那么在進行復數(shù)除法如 時，我們應該如何使分母實數(shù)化呢？”在了解了共軛復數(shù)概念后，學生知道了一對共軛復數(shù)之積是一個實數(shù)，學生自然而然想到把分子分母都乘以分母的實數(shù)化因式，也就是共軛復數(shù)2+3i，就可以使分母實數(shù)化了。

在上面的教學活動中，通過類比，以舊引新，學生把復數(shù)的四則運算法則和以前所學的合并同類項、分母有理化等知識對照起來，記憶得更加牢固，理解得更加深刻，運用得更加得心應手。

3. 尋找解題思路是提高學生思維能力的有效途徑，在課堂上要有意識地引導學生自覺運用類比方法探索、獲取新知識，從而達到提高學生思維能力、創(chuàng)新能力的目的。如試題：“等差數(shù)列{an}中，若a10=1，則有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19，n∈N+）成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則___________。”

可以思考如下，在等差數(shù)列中，a10=0，那么以a10為中心，前后間隔相等的項和為0，即a9+a11=0，a8+a12=0……

所以有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19，n∈N+）成立，同樣等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則以b9為中心，前后間隔相等的項的積為1，即b8b10=1，b7b11=1……，所以下列結(jié)論成立：b1b2...bn=b1b2...b17-n（n<17，n∈N+）。

從上面幾點可以看出，類比在新課導入、公式定理的記憶和證明、新知識的探索發(fā)現(xiàn)、解題思路的獲取等方面有著重要作用。《2009年全國普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》（數(shù)學）要求考生具備五大能力：思維能力、運算能力、空間想象能力、實踐能力及創(chuàng)新能力。創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，在教學中用好類比法啟發(fā)式教學，能有效幫助學生梳理原有知識，產(chǎn)生遷移，探索新的知識領域，形成新的觀點，使原有知識結(jié)構(gòu)得到補充、改造和逐步完善。學生對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強。

雖然類比推理出的結(jié)論不一定正確，但它卻能教會學生一種探索問題的方法。這也正是目前我們要把學生從“學會”轉(zhuǎn)化為“會學”的一種有益的嘗試。因而在教學中充分運用類比法培養(yǎng)學生的知識遷移能力，有不可估量的作用。

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（作者單位：廣西欽州市第二中學 535000）