正本求源

邵俊杰

摘要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的具體任務(wù)之一，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的細(xì)胞，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。教師可以設(shè)置正確、合理的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生理解概念的外延與內(nèi)涵；可以通過各種有效形式讓學(xué)生掌握抽象的概念。教師在概念教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，這既是對(duì)概念的鞏固，也是培養(yǎng)學(xué)生的能力與素質(zhì)的重要環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；內(nèi)涵與外延；抽象；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）07-0079

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的核心和精華，理解和掌握數(shù)學(xué)概念是提高教學(xué)質(zhì)量和水平的關(guān)鍵。因此教學(xué)中要注意讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，理解概念的內(nèi)涵和外延是先決條件，教學(xué)中應(yīng)該采用有效的方法使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)抽象的數(shù)學(xué)概念。然后讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)、理解、體會(huì)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的應(yīng)用。

人類在認(rèn)識(shí)過程中，把所感覺到的事物的共同特點(diǎn)抽象出來，加以概括，就成為概念。概念反映的是客觀事物一般的、本質(zhì)的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是教學(xué)的核心內(nèi)容之一，是新知識(shí)的起點(diǎn)，是邏輯推理的依據(jù)，是合理運(yùn)算的保證。由于數(shù)學(xué)概念比較抽象，很難在短時(shí)間里講清概念的內(nèi)涵與外延，導(dǎo)致很多教師不重視概念教學(xué)。教師更喜歡在課堂上講解各種典型例題，課下布置各樣的經(jīng)典試題讓學(xué)生練習(xí)，教師希望通過精講精練習(xí)題來達(dá)到鞏固概念的目的。事實(shí)證明：只要求學(xué)生解習(xí)題，而不給學(xué)生講透數(shù)學(xué)概念、實(shí)質(zhì)問題，都是授之以魚而不是授之以漁。因此筆者認(rèn)為有必要正本求源，教師必須進(jìn)行系統(tǒng)而又嚴(yán)肅的概念教學(xué)。學(xué)生只有了解概念才能進(jìn)行正確的思維活動(dòng)和判斷與推理。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勗跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中的幾點(diǎn)感悟。

一、讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生把握概念的內(nèi)涵與外延，只有這樣，才能揭示概念的本質(zhì)和關(guān)鍵，促使學(xué)生掌握概念。

1. 概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵其實(shí)就是概念的“質(zhì)”，是事物的本質(zhì)屬性，也就是概念的根本。如有理數(shù)的內(nèi)涵是：整數(shù)和分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）。

2. 概念的外延是概念的“量”

是指適合這個(gè)概念的一切對(duì)象。即這個(gè)概念的延用范圍。如各種函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等都是函數(shù)這一概念的外延。

3. 概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系

概念的內(nèi)涵和外延既相互依賴又相互制約。還存在著“反變”的相依關(guān)系：內(nèi)涵越多，外延就越小；內(nèi)涵越少，外延就越大。如從三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三種概念來分析，當(dāng)它們的內(nèi)涵越來越大，相反它們的外延就越來越小；反之它們的外延就越來越大。

明確了概念的內(nèi)涵與外延，就等于把握住了概念的全部。內(nèi)涵和外延是概念教學(xué)不可分割的兩部分。只要揭示概念的內(nèi)涵，就會(huì)涉及概念的外延。將兩者相統(tǒng)一，才能使概念教學(xué)更加完美，從而提高學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、讓學(xué)生有效地掌握抽象的概念

數(shù)學(xué)概念都是從具體的實(shí)際問題中抽象出來的，因而具有高度的概括性和抽象性，學(xué)生較難理解。筆者認(rèn)為要從這幾個(gè)方面入手：

1. 借助圖片、模型和多媒體等展示實(shí)物

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解要經(jīng)歷從表象到抽象、從直觀到分析的發(fā)展過程。因此在教學(xué)中要重視概念的直觀性和形象性，要充分利用好模型、圖片、多媒體等手段幫助學(xué)生理解概念。例如：圓錐的側(cè)面積和全面積是初中數(shù)學(xué)圓章節(jié)的拓展內(nèi)容，這節(jié)內(nèi)容包含了圖形從平面向立體轉(zhuǎn)化的重要思想，但由于學(xué)生對(duì)立體圖形的了解十分有限且又缺乏足夠的空間想象力，故對(duì)于圓錐的側(cè)面積、母線、圓錐的高等概念理解有困難，這時(shí)如借助圓錐模型或采用多媒體教學(xué)，生動(dòng)、形象地顯示它們的構(gòu)造及旋轉(zhuǎn)情況，不僅可激發(fā)學(xué)生的興趣，也可讓學(xué)生通過觀察聯(lián)想到生活中的具體實(shí)例，兩者相得益彰，既化解疑難，加深對(duì)概念的印象，又豐富了學(xué)生的想象，使抽象的數(shù)學(xué)概念與生活接近了一大步，在潛移默化中，學(xué)生的直覺思維也得以培養(yǎng)。

2. 借助舊概念，了解新概念形成的原因

從數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)可知，絕大多數(shù)的概念是建立在舊概念基礎(chǔ)上的，能否有效建立起新概念與學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)之間的有機(jī)聯(lián)系，往往是新概念教學(xué)能否成功的關(guān)鍵。因此，教師可做一些鋪墊來加強(qiáng)新舊概念之間的聯(lián)系。例如：平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)是緊密相連、一脈相承的，由坐標(biāo)系做鋪墊，教師在通過表格、圖像、數(shù)學(xué)表達(dá)式的展示，逐步引出函數(shù)的概念。再結(jié)合課本的例子，才可使學(xué)生對(duì)此概念形成初步印象。至于要學(xué)生真正理解函數(shù)概念，并不是一節(jié)課就能達(dá)到，需要今后通過學(xué)習(xí)各種具體的函數(shù)，才能逐步達(dá)到對(duì)函數(shù)有較深理解。

3. 引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表達(dá)抽象的概念

眾所周知，語(yǔ)言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中非常重要的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)中各種結(jié)論的獲得都要依靠邏輯推理，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力直接影響邏輯推理的進(jìn)行，當(dāng)然也影響到數(shù)學(xué)概念的形成。教學(xué)中，由于前面已有了充分的感知和理解，故可試著讓學(xué)生自己概括出各種抽象的概念，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行修正、提升，再形成完整的、準(zhǔn)確的概念。例如：反比例函數(shù)概念學(xué)習(xí)“抽象概括”活動(dòng)設(shè)計(jì)：（1）思考課本“三個(gè)引例”中兩個(gè)變量與常量的意義聯(lián)系，并總結(jié)三者之間的共性；（2）觀察上述“三個(gè)解析式”，從形式上看三者有什么共同特征？題后反思：①?gòu)谋举|(zhì)上：兩個(gè)變量的積不變（k≠0）；②從形式上：形如y=■（k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，常數(shù)k叫做比例系數(shù)，最后讓學(xué)生自己概括反比例函數(shù)的概念。

4. 借助綜合、歸納、分類形成概念體系

數(shù)學(xué)的本質(zhì)不是純理性的邏輯推演，而是通過歸納構(gòu)筑在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一門擬經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)。由于平時(shí)所學(xué)的概念比較分散、零亂，故要把雜亂的概念串聯(lián)整理成一體化是一件較不容易的事。但有時(shí)若細(xì)心觀察，耐心琢磨，不斷推敲，借助綜合、歸納、分類等方法就會(huì)發(fā)現(xiàn)概念的相似規(guī)律，若把這些分散的概念條理化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，則有利于學(xué)生整體理解、整體記憶、整體運(yùn)用。如在《四邊形》這一章中，牽涉到幾種常見四邊形的概念，而這些概念又都建立在平行四邊形的基礎(chǔ)上，所以教師可引導(dǎo)學(xué)生一起整理、歸納、理清這一章的脈絡(luò)：四邊形——平行四邊形——矩形——菱形——正方形——梯形——等腰直角梯形。

三、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用意識(shí)

實(shí)際應(yīng)用是概念教學(xué)的根本目的。只有讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的價(jià)值和意義，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，才能讓學(xué)生樂于參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，其實(shí)就是要讓學(xué)生有意識(shí)地用所學(xué)概念解決生活中的問題。這樣，既是對(duì)概念的鞏固，也是培養(yǎng)學(xué)生能力與素質(zhì)的重要環(huán)節(jié)。實(shí)際應(yīng)用，促進(jìn)了課堂教學(xué)的情境設(shè)置，也使學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念。例如，在講“銳角三角函數(shù)”時(shí)，對(duì)于三角函數(shù)的概念，教師可以用實(shí)際生活中的例子來引導(dǎo)學(xué)生探究，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。例如：測(cè)量旗桿的高度，學(xué)生除了想到用學(xué)過的相似三角形之外，還可以用剛學(xué)的銳角三角函數(shù)來解決。如仰角60°時(shí)，量得自己離旗桿底端12m，則可以得出旗桿大約高多少米？再次移動(dòng)位置，量出與旗桿的距離和仰角的度數(shù)，用計(jì)算器計(jì)算后檢查求得的結(jié)果是否相同，從而加深學(xué)生對(duì)正切概念的掌握與實(shí)際運(yùn)用，使概念教學(xué)的實(shí)用性得到體現(xiàn)，學(xué)生在“學(xué)會(huì)”的基礎(chǔ)上“會(huì)用”，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力，使學(xué)生由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”。這種學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)是美妙的。

總之，概念教學(xué)，不僅是為了讓學(xué)生獲得更多的知識(shí)與技能，更重要的是讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)和掌握方法。教師要讓數(shù)學(xué)概念深入學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與合作探究中深入把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。概念教學(xué)，既要突出量的積累，又要注重質(zhì)的提升，在為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富生活情境的前提下，讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)概念，提煉概念。“授之以魚，不如授之以漁”，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的正本，也是我們教學(xué)所求的源頭活水。

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（作者單位：安徽省合肥市肥東縣第三中學(xué) 230000）