談如何促進學生獲得數學活動經驗

周青

摘要：在教育研究領域，以列維魯學派為代表的活動教學理論和以杜威為代表的經驗課程的相關研究十分引人注目。數學活動經驗的育人價值及其對個體的學習、生活、未來發展的重要意義，越來越受到我國眾多數學教育家的關注和重視。《數學課程標準》（修改稿）中“數學活動經驗”將以“四基”之一的顯著地位呈現在廣大數學教師面前。可見，幫助學生積累基本的數學活動經驗，提高學生的數學素養，為學生將來能迎接更多的挑戰做準備是非常有必要的。本文從在操作活動中豐富感知覺的經驗、在探究活動中融合行為操作經驗及思維操作經驗、在思維活動中提升策略性、方法性經驗，在實踐與綜合活動中發展復合、應用經驗等四個方面談如何促進學生獲得數學活動經驗。

關鍵詞：活動；經驗；數學活動經驗

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-0107

20世紀以來，教育研究領域中對活動教學和經驗課程的相關研究十分引人注目，其研究成果分別以前蘇聯列昂捷夫、維果茨基、魯賓斯坦學派的活動理論和杜威的經驗課程為代表。1922 年魯賓斯坦在《創造性自主活動的原則（關于現代兒童學的哲學基礎）》一文中，將屬于哲學范疇的“活動”概念引用到心理學，認為人的理性結構是在人的自主活動中確立的，心理的發展也正是這些活動的結果之一。從80 年代開始，在哲學、心理學、社會學領域對活動理論所進行的廣泛探討引起了一些西方學者的注意，他們不僅積極參加到對這一理論的研究和發展中，而且倡議建立“活動理論研究國際協會”。 活動理論的跨學科研究已不僅僅是理論上的展望，而且已付諸行動，開始踏上了征途。

杜威對古代的經驗概念和近代的經驗概念進行了整合與創造，得出關于教育的哲學：“教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力。”杜威的經驗概念包括兩重意義：一是經驗的事物，另一是經驗的過程，強調經驗是人與環境主動交互作用的過程，這一過程融合了情感、意志、思維、實驗等理性和非理性因素。因此，數學經驗的主要來源是數學活動。

前蘇聯列昂捷夫、維果茨基、魯賓斯坦學派的活動理論和杜威的經驗課程都強調個體活動及個體經驗在學習中的必要性和重要性，注重學生對活動過程的經歷、體驗和感受，注重經驗的積累。

數學活動經驗的育人價值及其對個體的學習、生活、未來發展的重要意義，越來越受到我國教育界尤其是數學教育界眾多數學教育家的關注和重視。史寧中教授、柳海明教授在《教育研究》2007年第8期上發表文章指出，基礎教育學科教學實施素質教育的基本路徑之一是變“雙基”為“四基”，即“將我國中小學教育的基本目標在‘雙基的基礎上再加上‘兩基即基本知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗”，緊接著黃翔教授在《課程·教材·教法》2008年第一期上發表文章呼吁“獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標”。

正在醞釀出臺的新《數學課程標準》（修改稿）中不僅明確指出知識包括“數學事實和數學活動經驗”，而且還特別強調“應向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們獲得廣泛的數學活動經驗”。可見，幫助學生積累基本的數學活動經驗，提高學生的數學素養，為學生將來能迎接更多的挑戰做準備是非常必要的。那么，該如何促進學生在教學活動中獲得廣泛的數學活動經驗？本文提幾點想法，與同行商榷。

一、在操作活動中豐富感知覺的經驗

“基本活動經驗是個體在經歷了具體的學科活動之后留下的具有個體特色的內容，既可以是感知的，也可以是經過反省之后形成的經驗。”在數學活動中，學生通過外顯的行為操作，對學習材料的第一手直觀感受、體驗和經驗一般是直接經驗。這類操作的直接價值并不是問題的解決，而是對學習材料的感性認識。例如：在學習人教版七年級數學上冊第三章《圖形認識初步》第一節（《多姿多彩的圖形》）的第一課時（立體圖形與平面圖形）時，活動之一：一位學生上臺抽取一張寫有某種幾何體名稱的紙牌，看了名稱后（其他學生不得而知）要求用語言（這句話不能出現名稱中含有的字）或用動作描述紙牌上寫著的幾何體的特征，請大家來猜猜幾何體名稱（每位上臺的學生限抽2張）。活動之二：游戲——“盲人摸物”。一位學生上臺，蒙上眼睛，要求從一堆幾何體模型中摸出其他學生指定名稱的幾何體，并用語言描述所摸幾何體的特征（每人限摸2個）。（學生興致高漲，有說摸棱柱，圓錐等各種幾何體。最后師要求摸柱體，錐體。學生在摸柱體時，摸到長方體就開始猶豫，此“猶豫”過程就是學生自主思索過程；而且下面同學也不由自主地進行討論。）通過以上活動，學生通過多種感官感受常見立體圖形的特征和分類，特別是對長方體和立方體也是柱體的認識有了更深的感受，而不僅僅是灌輸式的記憶。

再如：學習“三角形內角和等于180°”問題時，學生親身動手操作，畫出一任意三角形，剪下三個內角，拼合在同一頂點處，發現正好組成一個平角，從而得到感官上的直觀效果組成一個平角，由此找到進一步要論證的思考方向。并對三角形的外角和是360度的證明也提供思考方法之一——組成周角，積累數學活動經驗。盡管類似于這樣的感知明顯帶有個體認識的成分，并且還存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接經驗的獲得，是構建個人理解不可或缺的重要素材。

要能有效提煉這類經驗，有時還需要經歷判斷、篩選、確認的環節。因為經驗有積極、消極之分，對后續學習產生正遷移、負遷移之別。學生首次操作感知的結果并不一定是正確的，而錯誤的經驗將會對學生的后續學習帶來負面的影響。舉個例子說明，在學習實數一章中，剛學習無理數，讓學生認識 （ ）有多長時，我們教師往往會借助多媒體顯示一個正方形面積為2，其邊長為 （ ），但可能對正方形的單位選取較隨意，導致學生對 多長仍然停留在來自屏幕圖形上的感官認識。頭腦里未形成真正的認識，即 相對1來說具體差多長的認識，教師可能前后呈現的圖形也不注意單位1長度選取一致，感官上導致學生對 、 、1等長短認識模糊。

在學習了無理數表示在數軸上，尤其學到勾股定理，應讓學生動手操作，建議以1厘米為單位長度，畫 、 等表示在數軸上，讓學生真正感知 、 等無理數長的直觀視覺。因此，在經驗獲得的初始階段，應該盡可能地使一些操作活動為學生的認知提供較為正確、清晰的體驗，而不是模棱兩可、似是而非的感知。經驗的全面性和準確性必須為教師所重視，在提供素材、組織操作活動以及課堂提問、歸納時，教師也要充分考慮到上述因素。

二、在探究活動中融合行為操作經驗及思維操作經驗

在數學課堂中，教師經常會向學生拋出特定情境下的某些問題，讓學生進行動手操作、自主探究、合作交流，這其中，既有外顯的行為操作活動，也有思維層面的操作活動。學生能獲得融合了直接經驗與間接經驗為一體的數學活動經驗。這類探究活動直接指向問題的解決而非獲取第一手直觀體驗。學生不僅在活動中有體驗，在活動前、活動中、活動后都經歷著數學思考。例如，在學習平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2時，設計活動：剪剪拼拼學數學讓學生通過動手操作，給定兩個以a、b為邊長的大、小正方形紙片，通過剪拼圖形，如何推導上述公式。將一個大正方形的一角剪去一個小的正方形，觀察你剪剩下的部分。思考：怎樣計算剩余部分的面積？學生通過剪拼，得到以下各種方法：

學生不僅獲得本次活動的操作經驗，也為后續學習完全平方公式等多項式乘法恒等式提供方法借鑒，積累思維操作經驗。

再如，在學習概率統計初步時，為讓學生感受用樣本估計總體的方法，書本提出問題：如何估計一池溏中魚的總數。可以用模擬實驗來代替，出示一個不透明的較大盒子，教師展開如下活動：同學們，這里放有滿盒子的黃豆，如何知道里面有多少粒？面對這樣的問題，有的學生會說，倒出來數一數的辦法，隨即因數量較大較麻煩而受到批判，逐漸會有學生想到用先摸出一些黃豆，數準粒數，做上記號，放回盒子里，充分攪拌，再一次摸出一些黃豆，數一數總粒數及有記號的粒數，便可估計原盒子里的總粒數。此時的動手操作和實驗成為學生探究的需要，由于學生對實驗的結果充滿渴望，因此在這類探索活動中，學生所積累的數學活動經驗也因個體的強烈感受而充滿了活力。不可否認的是，雖然在某些問題的解決中，經驗本身就具有很好的指導作用和實用價值，但要使數學活動經驗更長效地納入學生的個體知識體系，還需要經歷概念化和形式化的過程，這是經驗與“雙基”相互融合、向“思想”升華的必要途徑。

三、在思維活動中提升策略性、方法性經驗

數學教學內容不僅包括結果性的知識經驗，而且包括過程性的策略經驗。數學教學如果僅著眼于讓學生獲得知識經驗，那么學生獲得的只是機械般的死知識，難以“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，達到學以致用的目的。而隱性的策略經驗往往寓于顯性的知識經驗中，并與顯性知識相伴相隨。這就要求教師要創造性地使用教材，從有利于學生運用數學知識解決問題的高度出發，注意引導學生領略與知識經驗相伴隨的策略經驗，實現既長知識又長智慧的目的，把知識經驗提升為策略經驗。

在思維操作活動中獲得的經驗即思維操作的經驗，比如歸納經驗、類比經驗、證明經驗等。就一個人的理性而言，思維過程也能積淀出一種經驗，這種經驗就屬于思考的經驗。數學活動經驗相對豐富并且善于反思的學生，他的數學直覺必然會隨著經驗的積累而增強。

例如，在學習積的乘方法則時，由于學生已學過同底數冪相乘法則及推導過程，憑著已有的探究經驗，學生會產生這樣的數學直覺：（ab）n=anbn，在隨即展開的驗證活動中，學生也能從過去相關經驗中找到根據乘方的意義展開這一方法上的一局。因此，教師在這段內容的處理上可以放手讓學生自主探究。學生類似的經驗越豐富，新知就越容易主動納入到已有的知識體系中。教師所要做的便是將經驗進行梳理，幫助學生發現其本質的異同，繼而將學生發現的一個個知識“點”串成知識“鏈”，進而形成知識“網”。

再如，在學習反比例函數后，在探討函數y= 與y=4x的交點問題時，引申到方程 +4x=0， -4x=0有無解問題，從思維活動中，從數到形兩個角度刻畫同一問題，提升解題策略性、方法性經驗。而這一利用圖像求方程解的方法，在原來學生學一次函數與一元一次方程，一元一次不等式中已有學習經驗，在此得以類比運用與進一步提升經驗。

在上述教學案例中，學生的經驗生成是在思維層面進行的，沒有依附具體的情境，僅在頭腦中進行合情推理，并且整個過程更趨于有序。從獲得的經驗類型來看，這類活動中獲得的經驗相對前兩種更側重策略和方法，也更為理性。從這點可以看出，思考經驗的獲取是派生思維模式和思維方法的重要渠道，這些成分對學生開展創新性活動具有十分重要的奠基作用。

四、在實踐與綜合活動中發展復合、應用經驗

“實踐與綜合應用”是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動，其教學目標是幫助學生積累數學活動經驗，培養學生的應用意識和創新意識。在實踐與綜合應用活動中，問題是關鍵。在選材上，教師力圖使問題與學生的生活密切相關，選擇來源于自然、社會或數學及其他學科能夠實踐的活動，體現數學的應用性，從而激發他們探索與創造的興趣。選取的問題努力體現一定的綜合性，促使學生綜合運用所學知識、方法、經驗、思維方式等解決問題，啟發學生進行多種思考和創造。現實中，許多數學活動都要求學生有多種經驗參與其中，不僅有操作經驗、探究經驗，也有思考經驗，更需要有應用意識。

例如，在學習了相似三角形與解直角三角形后，書本安排了測量高度的數學活動，通過本數學活動，一方面可以使學生加深對相似三角形與解直角三角形知識的理解和認識，體會運用數學分析和解決實際問題的方法和策略，讓學生感悟數學與現實生活的密切聯系，發展學生自主探索問題的意識和能力；另一方面，給學生提供了將所學知識進行梳理、整合的機會，體會“數學模型”建立，積累對實際問題利用所學知識進行探索、思考、總結、推廣等復合、應用經驗。

對于大多數學生來說，總是先進行思維上的深思熟慮而后再進行作圖設計，最后實踐操作。作為數學基本活動經驗的核心部分，應用意識需要教師在教學過程中更多地加以關注和發展。應用意識是充分建立在學生思考經驗和操作經驗基礎上的。越是復雜的數學活動越需要積極的情感意志相伴，這種體驗性成分也是學生基本活動經驗不可或缺的組成部分，它對于良好人格的塑造具有不可替代的作用。當學生在活動結束后反思其整個解決問題的過程，除了對思考的經驗、探究的經驗以及具體操作經驗有所感悟以外，成功或失敗的情緒體驗也能逐漸凝聚為其情緒特征的一部分并獲得發展。

總之，有效的數學課堂教學，應在關注如何幫助學生掌握數學“雙基”的同時，重點關注如何幫助學生積累充足的數學活動經驗，使學生在“現實”的經驗中、在學生親身的體驗中學會如何用數學的眼光觀察、分析、探索、提煉數學問題和數學內容的方法與策略，學會如何用數學的工具進行數學思考、解決日常生活中所面臨的問題，學會如何養成數學的理性精神、積極向上的主動心態以及對數學健康的情感、態度和價值觀。而這一種關注，就是在日常課堂中注重學生數學活動經驗的積累，包括感性認識、情緒體驗及應用意識。只有活動經驗均衡發展，才能促進學生數學素養的提高，才有可能實現學生的全面發展，為學生的生活以及個體存在的價值服務。

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（作者單位：浙江省臺州市路橋區第四中學 318000）