巧用絕對值的幾何意義 有效簡化分類討論

張琦　周孟波

摘要：在初中數學教學中，分類討論是非常重要的一種數學思想，通過加強對其訓練，可以培養學生思維的條理性和縝密性，同時還可以使學生的學習興趣得到提高，進而提高學習效率。

關鍵詞：絕對值；分類討論；幾何意義

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-0119

許多初中生對分類討論的思想方法存在畏難心理。這也就導致他們在進行數學學習中缺乏學習的自信心，導致其在解題時出現不必要的丟分情況。

行程動點問題與數軸上的動點問題，是分類討論出錯的重災區，本文將通過巧用絕對值幾何意義的方法，有效簡化此類復雜的分類討論。

例1：如圖，在一條筆直的東西走向的公路上依次有A、B、C三個加油站，客車甲以每小時50千米，貨車乙以每小時70千米，小汽車丙以每小時110千米的速度行駛。

（1）如果客車甲從A加油站出發，貨車乙同時從B加油站出發，兩車相向而行， 小時后相遇，求A、B兩加油站間的距離。

（2）如果客車甲和貨車乙同時從A加油站出發前往C加油站，與此同時小汽車丙從C加油站出發，兩車先后與丙車相遇，間隔時間為15分鐘，求A、C兩加油站間的距離。

（3）在（1）（2）的結論下，客車甲從A站，貨車乙從B站、小汽車丙從C站同時出發，由東向西行駛，在貨車乙還沒有追上客車甲的這段時間內，當其中一車與另外兩車的距離相等時他們行駛了多少時間？

學生解題情況概述：

對于（1）（2）兩小題，超過半數的學生能夠做對，但（3）小題的正確率極速下滑，僅有極個別學生能夠討論清楚。

針對題（3）學生出錯分析：

第一類：通過計算乙追上甲所需的時間，發現終止位置時，丙已經追上了乙，并且也追上了甲，確定“當其中一車與另外兩車的距離相等”的意思為：一是乙在甲丙中間；二是丙在甲乙中間；三是甲在丙乙中間。

第二類：未計算乙追上甲所需的時間，也未分析終止時甲乙丙的位置，確定“當其中一車與另外兩車的距離相等”的意思為乙和甲丙兩車距離相等：一是乙在甲丙中間，又按從西到東的順序，把這一點分為了甲乙丙和丙乙甲兩小類；二是甲丙在同一位置，又按東西順序，把這一點分為了甲丙在乙的西側和甲丙在乙的東側兩小類。

……

第一類都是對“其中一車與另外兩車的距離相等”的意思理解出錯，認為這句話等價為“一車位于另外兩車的中間”，忽略了另外兩車在同一位置的情況。第三類是學生對動點的位置關系沒有進行分析，直接拿來討論，導致漏解多解。

教師來支招：

我們知道|a-b|的幾何意義是：數軸上表示數a、b的兩點距離。在這里“其中一車與另外兩車的距離相等”，可以想成其中一車表示的點與另外兩車表示的點的距離相等。通過此聯想，針對第三小題，我們可以通過建立數軸，借用絕對值的幾何意義來解題。

解題過程：

（1）（50+70）× =160（千米）

（2）解：設乙丙相遇時間為x，則甲和丙相遇時間為（x+15）分鐘.

（70+110） =（50+110） 得

x=120（70+110）×120÷60=360（千米）

（3）解：設當乙車追上甲車時所用時間為x小時，則50x+160=70x，得x=8。所以設行駛的時間為t小時，則0

設甲、乙、丙t小時后所在點為D、E、F，則有點D表示數為-50t，點E表示數為160-70t，點F表示數為360-110t。

車與車的距離可表示為DE=160-20t，DF=360-60t，EF=200-40t。

①DE=DF 160-20t=360-60t 得t1=5，t2=6.5

②DE=EF 160-20t=200-40t 得t3=2，t4=6

③DF=EF 360-60t=200-40t 得t5=5.6，t8=8（舍去）

綜上，t1=5，t2=6.5，t3=2，t4=6，t5=5.6。

例2：如圖，數軸上線段AB長2個單位長度，CD長4個單位長度，點A在數軸上表示的數是-10，點C在數軸上表示的數是16。若線段AB以每秒6個單位長度的速度向右勻速運動，同時線段CD以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動。

（1）運動多長時間后BC長8個單位長度？

（2）當運動到BC為8個單位長度時，點B在數軸上表示的數是_________；

（3）P是線段AB上一點，當點B運動到線段CD上時，是否存在關系式 =3？若存在，求線段PD的長；若不存在，請說明理由。

學生解題情況概述：

對于（1）（2）兩小題，超過半數的學生能夠做對，但題（3）的留空率較高，討論遺漏重復出錯率高。

針對題（3）學生出錯分析：

第一類：僅考慮零界點情況，一點B和點C重合；二點C和點A重合；三點B與點D重合。

第二類：僅考慮非零界情況，一點C在點A和點B之間，又根據點P的位置，分為點P線段AC和線段CB上兩小類；二點A、B在點C、D之間。

……

這兩類情況共同存在的問題：討論不完全，遺漏其他分類。把零界和非零界的情況統籌起來看，此題如果按照運動時間和點A、B、C、D位置關系進行分類，討論過程實在太復雜，大大加重學生的畏難心理，很難調動學生學習的興趣。

教師來支招：

此題為數軸上的動點問題，可直接借用絕對值的幾何意義來解題。

解題過程：

（1）運動t秒后，點A所表示數為：-10+6t，點B所表示數為：-8+6t，點C所表示數為：16-2t，點D表示數為20-2t，則BC=24-8t。

由題得：BC=24-8t=8 解得t1=2，t2=4

當t=2，點B所表示的數為4；當t=4，點B所表示的數為16°

解：設點P初始狀態所表示數為：x（-10≤x≤-8），則t秒后，點P表示數為：x+6t，則AP=x+10，PC=16-x-8t，BD=28-8t（t≤ ），PD=20-8t-x。

由題得BD-AP=3PC，（28-8t）-（x+10）=316-x-8t

得18-8t-x=316-x-8t

①18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=15 PD=20-15=5

②18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=16.5 PD=20-16.5=3.5

綜上，PD=5或PD=3.5

由此可以發現，用絕對值的幾何意義，來解決行程動點問題與數軸上的動點問題，可以有效簡化復雜的分類討論，把難點從分類討論轉移到解含絕對值的等式。而解含絕對值的等式，分類程序化，主要考驗的還是學生的計算能力，可通過一定量的練習，加強這類方法運用，從而提高解題的正確率。

（作者單位：①浙江省寧波市奉化實驗中學 315500；②浙江省寧波市奉化實驗中學 315500）