YK3150E數控滾齒機誤差補償技術研究

張 龍，胡世軍

(蘭州理工大學機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)

我國現代化工業發展進程中，齒輪是不可或缺的機械零件，數控滾齒機床在加工齒輪的過程中起十分重要的作用。目前主要使用誤差補償法來提高齒輪的制造精度，而準確建立機床誤差幾何模型是進行誤差補償的關鍵步驟，因此如何建立機床誤差幾何模型是目前需解決的難題。

近年來，人們大多通過多體系統理論研究法來解決復雜機械系統產生的誤差問題。多體系統可以對復雜的機械運動進行概括，能夠綜合考慮機械系統相鄰部件的聯系，避免了建模過程中零部件的缺失，該方法具有準確化、公式化、廣泛化、便于計算等特點[1]。

本文以多體系統理論研究法為依據，通過對滾齒機床的拓撲結構進行分析計算，得到相鄰部件產生的誤差，利用坐標變換原理，建立誤差幾何模型，經過對幾何模型進行誤差解耦，最終求得機床各軸的誤差補償量。

1 YK3150E數控滾齒機床結構分析

目前齒輪加工的方法主要有兩大類，一類是成形法[2]，其特點是加工精度和生產效率均比較低，不適合工業大批量生產；另一類是展成法，使用一把刀具，加工相同模數、相同壓力角、不同齒數的齒輪，其加工精度與生產效率均比較高，故在工業生產中常使用此方法。齒輪加工的機床類型眾多，如滾齒機、插齒機、磨齒機等。本文以滾齒機為研究對象，通過一系列技術手段，提高齒輪的加工精度。

圖1為YK3150E數控滾齒機的簡化物理結構圖，它主要完成3部分運動：

1)主運動，即滾刀的旋轉運動。

2)嚙合運動，即齒坯和滾刀按照一定的速度比旋轉運動。

3)進給運動，即滾刀沿著齒坯軸向進給運動。

圖1 YK3150E數控滾齒機簡化物理結構圖

2 滾齒機床加工誤差幾何模型的建立

進行誤差補償最重要的步驟是幾何誤差建模。當前幾何誤差建模有諸多方法，例如多體系統理論法[3]、三角幾何法、神經網絡法和誤差矩陣法等，在這些方法中，利用多體系統理論方法來建立誤差模型，可以將齒輪機械的復雜性及系統的彼此關系進行綜合考量，從而大幅度提高誤差模型的精準度，有效克服了誤差建模過程的通用性差、自動化程度低等問題。

2.1 多體系統理論及其描述方法

多體系統[4]是對一些復雜機械系統的抽象描述，使用經典力學方法建立微分方程，理論上可以解決任何復雜的機械系統問題，但由于部分系統中內分體數和自由度較多，各個部件間的約束復雜，使得求解所建立的微分方程十分困難，因此使用傳統經典力學方法對復雜機械系統進行分析已不能滿足現代結構計算的需要。目前普遍利用多體系統理論研究法來解決復雜系統中的問題，該方法主要有兩個步驟，第一個步驟是建立模型，第二個步驟是求解模型。在建立模型時，有數學模型和物理模型兩種。多體系統理論研究法可以對機械產品中的復雜結構進行簡化和抽象，是目前解決復雜機械結構問題的主要研究手段。

2.2 拓撲結構及低序體陣列

應用多體系統理論研究法解決問題的一個重要過程就是得出研究目標的拓撲結構圖。假定慣性坐標系是A0，選任意一體作為A1，沿著疏遠A1的方向用增進數列來標記各個部件的序號，最后將系統的所有分支全部標記完成。圖2所示為YK3150E數控滾齒機的環形拓撲結構圖。

圖2 YK3150E數控滾齒機環形拓撲結構圖

在多體系統中，一般將構成拓撲結構的單位稱作體，常用低序體陣列對其進行數字化表述，如圖3所示為YK3150E數控滾齒機低序體陣列表，其中用Lj(k)來描述典型體k的j階低序體。

123456L0(k)123456L1(k)012045L2(k)001004L3(k)000000

圖3 YK3150E數控滾齒機低序體陣列表

2.3 相鄰體誤差分析

建立數控滾齒機床的幾何誤差模型，利用矩陣的運算方式，把數控滾齒機各部件的傳動誤差、安裝制造誤差、運動誤差統一疊加在刀具和工件對應的位置矢量誤差上，并建立誤差特征矩陣。研究各個相鄰體的特征矩陣，通過拓撲結構把這些特征矩陣相乘，進而得到刀具和工件的最終誤差矩陣Tmn。

Tmn=Tmn,pTmn,peTmn,sTmn,se

(1)

式中：Tmn,p為鄰體的位置矩陣;Tmn,pe為位置誤差矩陣;Tmn,s為位移矩陣;Tmn,se為位移誤差矩陣。

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：amn,bmn,cmn為相鄰體間的靜止位置；θxmn,θymn,θzmn為靜止角度姿態；xDH,yDH,zDH為運動位移誤差；xDHmn,yDHmn,zDHmn為靜止位置誤差；εoxmn,εoymn,εozmn為靜止角度姿態誤差；xmn,ymn,zmn為運動位移；αmn,βmn,γmn為運動角度姿態；εxmn,εymn,εzmn為運動角度姿態誤差。

2.4 誤差建模

對數控滾齒機床進行幾何誤差建模，依次建立各體的坐標系，數控滾齒機床相鄰體之間的誤差利用滾齒機床的拓撲結構傳遞計算，進而得到刀具和工件的相對位置偏差，通過對此位置偏差進行計算，從而得到數控滾齒機床的幾何誤差模型矩陣。

2.4.1坐標系設立

設立0，1，2，3，4，5，6坐標系分別為床身坐標系(基坐標系)、立柱坐標系、滾刀主軸坐標系、滾刀坐標系、X向進給板坐標系、工件軸坐標系、工件坐標系。

2.4.2建模分析

(6)

對YK3150E滾齒機誤差進行分析，由于在運動過程中存在誤差，因此坐標系3相對于坐標系6的變換矩陣為：

(7)

式中：e為運動過程中所存在的誤差。在實際加工過程中，刀具坐標系3相對于工件坐標系6的變換矩陣為在理想情況下的變換矩陣上面疊加一個誤差運動矩陣E，即：

(8)

計算數控滾齒機每對相鄰件的特征矩陣，使用齊次坐標轉變法[5]，將切削點在刀具坐標系3中的坐標，轉變到工件坐標系6中。這兩個坐標系中，當相對應的坐標軸之間的夾角小于0.5°時，轉換矩陣將簡寫成以下形式，從而得到機床加工誤差的幾何數學模型為：

(9)

式中：x63，y63，z63分別為切削刀所在坐標系3對應被加工件所在坐標系6中沿X,Y,Z軸的運動位移誤差；α,β,γ分別為刀具坐標系3繞工件坐標系6中Z,Y,X軸的回轉角度誤差。

3 誤差模型數據解耦

上述得到誤差幾何數學模型是滾刀相對于工件的誤差矢量，要想提高齒輪加工精度，需要得到各軸獨立的進給誤差補償量，而滾刀和工件之間的誤差矢量與各軸的誤差補償量間存在耦合關系，故需要對其進行誤差解耦[6]。本文利用變系數微積分法,忽略運動誤差影響，通過各軸補償值的正負號，來確定補償的方向，使其在進行誤差補償后，分離的滾刀坐標系3與工件坐標系6盡量重合，則存在以下函數關系：eT6,3·sT6,3=E，用sT6,3表示坐標系3相對坐標系6補償運動變換的矩陣；eT6,3表示幾何誤差模型矩陣。由微分變換法可知滾刀坐標系3對于工件坐標系6的微分變換為：

(10)

式中：ΔθB，ΔθC，Δx，Δy，Δz分別為旋轉軸B、旋轉軸C和X，Y,Z軸的補償當量。

同時：

(11)

且：

eT6,3·sT6,3=E

(12)

sT6,3=T6,3+dT6,3

(13)

聯立公式(10)～(13)，可得YK3150E數控滾齒機床每一個軸的誤差補償量為：

δx=sinψ[y63-zcosψ(x-Q)]+

z[cosψsinφ(x-Q)/cosφ-cscψ]-cosψx63

(14)

δy=-x63sinψ-y63cosψ-

z[1+(x-Q)cos2ψ]-tanφ(x-Q)(1+zcos2ψ)/sinψ

(15)

δz=cscψ(x-Q)-z63

(16)

式中：Q為坐標系6相對坐標系3在X軸的偏離量；x,z為機床沿X軸、Z軸的運動位移；x63,y63,z63分別為坐標系6相對于坐標系3在X,Y,Z軸的運動位移誤差；ψ為工件的轉動量；φ為滾齒機加工斜齒輪時滾刀安裝的角度。

將誤差模型進行數據解耦后得到各軸件的誤差補償量，通過修改數控機床加工參數，對齒輪加工精度進行修正，從而提高了齒輪本身的精度。

4 結束語

隨著制造業的飛速發展，齒輪加工、制造的水平也在逐步提高。YK3150E數控滾齒機床的加工精度對我國齒輪制造業的發展作用重大。本文通過多體系統理論研究法，建立機床拓撲結構，用低序體陣列對拓撲結構數字化描述，結合坐標變換法進行機床誤差幾何建模，從而分析了滾刀和工件之間產生的位置誤差和旋轉誤差對齒輪加工精度所造成的影響，通過變系數微分法，對幾何模型進行誤差解耦，進一步得到機床各軸的誤差補償量，根據所得到的誤差補償量，可以對齒輪加工精度進行修正。這一研究對于提高齒輪的制造精度有著重要作用，同時也對研究數控滾齒機床誤差補償技術具有一定的借鑒意義。