用古典概型解釋“生日悖論”

楊情宇

一年有365天（假設不是閏年），如果遇到同一天生日的人，人們會不禁感慨，真是巧合，有緣分啊！然而有名的生日悖論指出，如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。從生日悖論的內容可以看出，兩個人生日相同還是很容易發生的。但是從直觀來看，兩個人的生日相同是比較稀少的事情。并且一般來說，可能認為人數起碼得達到183，因為182.5是365的一半，至少有兩個人的生日相同的概率才能大于50%。下面我擬用學過的古典概型的知識來解釋這個矛盾的現象。先考慮房間里剛好有23個人的情況。

假設每個人的生日都是獨立的，是365天中的某一天，因此23個人的生日情況的基本事件數為36523。雖然36523是個很大的數，但是仍然是個有限的數，因此符合古典概型要求的只有有限個不同基本事件的條件。并且23個人的生日情況是這36523種情況里的任何一種，并且可能性是相同的。因此符合古典概型每個基本事件發生的可能性是均等的條件。因為不是閏年，因此每個人的生日是且只是一年365天中的一天。可見這個問題符合古典概型的條件。我們可以通過古典概型的求解方法來計算23人中至少有兩個人的生日相同這一事件的概率。

設事件A為：23人中至少有兩個人的生日相同。在計算事件A包含的基本事件數時，我發現因為情況眾多，計算過程非常復雜。正難則反的思想是求解概率題時經常使用的技巧。因此我考慮計算A的對立事件的概率。

設事件B為： 23個人生日都不相同這一事件。通過仔細觀察可以發現。事件A和B為對立事件。因此有P（A）=1-P（B）。這樣就可以通過計算P（B）來計算P（A）。

下面計算事件B包含的基本事件數。第一個人的生日有365種可能，第二個人的生日不能和第一個人相同，因此有364種可能。以此類推，第n個人的生日有365-n+1種可能。因此23個人生日都不相同的這一事件包含的基本事件數為365×364×…×（365-23+1）=365×364×…×343。

由古典概型的概率計算公式，可以得到事件B的概率：

從而我們可以得到事件A，也即23人中至少有兩個人的生日相同這一事件的概率為1-0.4927=0.5073。這就證明了23人中至少有兩個人的生日相同這一事件的概率大于50%這一結論。因此直觀的想法要使房間中至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%，房間至少需要183人的想法是錯誤的。

也可以用類似的方法計算出房間有183個人時，至少有兩個人的生日相同這一事件的概率。具體計算過程如下：

因此如果房間中有183個人，那么至少有兩個人的生日相同這一事件的概率接近于1。

我們進一步可以算得房間中有30、40和50個人時，至少有兩個人的生日相同這一事件的概率分別為：

利用相同的思路可以得到房間有n個人時至少有兩個人的生日相同的概率計算公式為：

以上的分析利用古典概型的知識計算出了給定人群中至少有兩個人的生日相同這一事件的概率。顯然，在一群人中，當人數稍微多一些時，至少有兩個人的生日相同這一事件的概率是比較大的。這很好地解釋了生日悖論論述的結果。

我在查閱文獻時，發現有文章也試圖解釋生日悖論，但是當我發現可以直接利用古典概型計算出至少有兩個人的生日相同這一事件的概率時，生日悖論就可以得到非常清晰的解釋。同時，我們的計算結果也得出了一些非常有趣的結論， 從實際例子的分析，我也看出了概率統計的知識是非常有用的。

參考文獻：

[1]李 彤.原來同日生并不是老天的安排[J].科普童話，2016（41）：20.

[2]趙 輝. 古典概型的模型歸納和計算方法[J]. 安徽電子信息職業技術學院學報， 2003（6）：62-63.