考慮土體非均質性的三維土坡穩定性上限分析

李鏡培， 龔衛兵， 李 林， 操小兵

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

邊坡穩定性分析是巖土工程研究中的經典問題.目前，關于邊坡穩定性研究的方法主要有極限平衡法[1-5]、有限元分析法[6-9]和極限分析法[10-13].極限平衡法作為較早分析邊坡穩定性的方法，因其力學概念明確、計算簡單等特點一度成為分析邊坡穩定性的主要方法[14].但該方法在假設條塊間作用力時，往往存在假設過于簡單的情況，得到的解答既不是真實解的上限也不是下限，對三維極限平衡法更是如此.隨著計算機運算能力和商用有限元分析軟件功能的提升，有限元分析法已成為分析邊坡穩定性較為全面的一種方法.該方法不僅可以考慮復雜的邊坡形式、受荷情況等因素，還能追蹤邊坡失穩破壞的整個過程.然而，有限元分析法建模過程復雜、用到的本構模型所需參數較難確定，且計算結果的合理性很大程度上取決于本構模型參數取值的準確性，另外，需要花費很多精力來建立的計算模型每次卻只能分析某一特定邊坡的穩定性，因此，該方法在實際工程中的應用推廣還存在許多困難.

極限分析上限法基于塑性極限理論，通過構造合理的速度場破壞機制來求真實解的上限.該方法已被Chen[10]較好地應用于二維土質邊坡穩定性分析，合理性得到了充分驗證.Michalowski和Drescher[15]在Chen的基礎上，將二維土質邊坡的破壞模式拓展到三維土質邊坡，從而研究了三維土質邊坡的穩定性.其后，國內外學者在此基礎上研究了三維土質邊坡在不同條件下的穩定性：饒平平等[16]研究了邊坡沉樁對三維土質邊坡穩定性影響，得知前期沉樁導致邊坡安全系數不斷減小，但當樁體穿過破壞面后，安全系數明顯提高；Gao等[17]將三維邊坡的坡趾破壞拓展到坡底和坡面破壞，得出邊坡在坡角和土體內摩擦角較小的情況下坡底破壞比坡趾破壞更危險；同時，Gao等[18]分析了抗滑樁對三維土質邊坡的加固作用，發現當抗滑樁樁間距越小時，抗滑樁對邊坡的加固作用較明顯；Pan等[19]討論了土體滲流力對三維土質邊坡穩定性的影響，并將計算結果與FLAC 3D數值模擬結果進行了對比驗證.從上述研究可以看出，目前利用極限分析法對三維土質邊坡穩定性的研究還較少.另外，非均質性是土體具有的固有屬性[10,12]，盡管Yang和Xu[20]應用土體二維非均質公式研究了二階三維土質邊坡的穩定性，但其仍未對二維非均質公式進行相應的三維拓展.同時，其他關于土體非均質性對三維土質邊坡穩定性影響的研究還鮮見報道.值得指出的是Michalowski和Drescher[15]在研究三維邊坡穩定性時考慮了土體體積壓縮產生的能量耗散，但當三維土質邊坡受荷或環境情況稍顯復雜時，土體體積壓縮耗能的計算將變得異常復雜而無法計算.因此，大部分研究[16,18-19]直接忽略了此部分耗能，卻未分析不考慮此部分耗能對三維土質邊坡穩定性的影響.

在現有三維土質邊坡極限分析方法的基礎上，把考慮土體非均質性的二維公式拓展到三維情況，研究忽略土體體積壓縮耗能對三維土質邊坡穩定性系數的影響，并進一步分析不同坡角、不同內摩擦角和不同寬高比的三維土坡穩定性隨土體非均質性變化的規律.

1 非均質三維土坡穩定性分析

1.1 三維邊坡極限分析的破壞模式

Michalowski和Drescher[15]將Chen提出的二維土質邊坡對數螺旋線破壞機制成功拓展到如圖1所示牛角狀對數螺旋線錐體三維土質邊坡破壞機制.圖中，φ為土體的內摩擦角，ω為角速度，β為三維土質邊坡的坡角，v為滑動速率，rm=(r+r′)/2，R=(r-r′)/2，r和r′的表達式如下：

r=r0e(θ-θ0)tan φ

(1)

(2)

X1、X2和Y可分別表示為

(3)

(4)

(5)

圖1 三維土質邊坡極限破壞機制示意[15]

Fig.1Schematicoflimitfailuremechanismofthree-dimensionalsoilslope[15]

根據圖(1)所示幾何關系可得a、b和θB的表達式為

(6)

(7)

(8)

式(8)中

(9)

當三維土質邊坡縱向長度趨于一個較大值時，三維邊坡穩定性即可視作二維平面問題.基于此，將上述模型沿對稱面切開，插入寬度為b的二維邊坡破壞模式.當插入寬度b足夠大時，三維破壞模式即可轉化為二維破壞模式，該拓展的示意圖可參見圖2.圖中，B為滑動體的最大寬度，H為邊坡的高度.

圖2 插入平面的破壞模式示意[15]

1.2 重力做功計算

如圖1所示，重力對三維土塊ABC所做的功可表示為

(10)

式中:γ為土體的容重.

重力對圖2中寬度為b的插入體所做的功為

(11)

由式(10)和式(11)可將重力對滑動土體做的總功表示為

W=Wγ+Wγ,P

(12)

1.3 考慮非均質性的能量耗散計算

根據Michalowski和Drescher的研究可知三維土質邊坡在失穩破壞時的內能耗散包括兩部分，一部分是土體沿破裂面滑動的摩擦耗能損失，另一部分是土體體積壓縮耗能損失[15].為考慮土體在自然沉積過程中形成的非均質性，依據Chen[10]、Nian等[12]和Yang等[20]關于土體非均質性假設的模型，采用黏聚力沿深度直線變化的模式來表示土體的非均質性(見圖3)，因此黏聚力大小可表示為

(13)

式中：c為土體黏聚力；n0為非均質系數，取值范圍為0～1.n0越小，土體的非均質性越強.當n0=1時，土體是均質的.

圖3 線性增大的土體非均質性

在考慮土體非均質性條件下，土體體積壓縮耗能計算將過于復雜而難以得到相應解答.因此，假設滑動土體不可壓縮，內能耗散僅發生在滑動面上，那么土體沿三維滑動面(圖1)產生的摩擦耗能可表示為

(14)

圖2中寬度為b的插入體滑動面產生的摩擦耗能可計算為

(15)

在土體非均質性條件下，黏聚力是沿深度變化的.因此，根據圖3中的幾何關系可將坡面黏聚力表示為

(16)

式中：H和hf的表達式為

H=rhsinθh-r0sinθ0

(17)

hf=rfsinθ-r0sinθ0

(18)

式中:rf為坡面到旋轉中心的距離.圖3中對應滑裂面上的黏聚力可表示為

(19)

式中：hb的表達式為

hb=rsinθ-r0sinθ0

(20)

根據三維邊坡破壞模式的幾何關系，可得θ0至θB段以及θB至θh段的黏聚力分別為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入式(14)，并將式(13)代入式(15)，即可計算出考慮土體非均質性的內能耗散.

基于上限分析原理，三維土質邊坡處于臨界狀態時重力所做的功與內能耗散相等，即

W=D3D+DP

(23)

將式(12)、式(14)和式(15)代入式(23)可得

(24)

式(24)的最小值可被定義為三維土質邊坡的穩定性系數Ns[10,15]，即

(25)

當土體的內摩擦角φ、三維土質邊坡坡角β、寬高比B/H給定時，即可編制相應的迭代程序計算確定三維土質邊坡的穩定性系數.值得指出的是三維土質邊坡的寬高比越小，對應邊坡的三維效應就越明顯.

2 驗證

為了驗證本文解答的準確性，將得出的穩定性系數結果與文獻[15]不考慮土體體積壓縮耗能即內摩擦角φ=0°的穩定性系數結果進行對比.與文獻[15]相同，本文采用迭代計算的方法搜尋式(25)的最小值，但有區別的是本文首先假定一個較大的增量步，找出最小值可能存在的區間，然后縮小增量步從而在上述確定的區間搜尋最終的最小值，這樣本文算法比文獻[15]算法效率相對更高.

由于本文算法不同于文獻[15]算法，因此計算得出的穩定性系數可能與文獻[15]的結果存在差異.從圖4的對比結果可以看出，當寬高比較小時(B/H<2)，本文計算結果與文獻[15]計算結果存在些許誤差，但最大誤差僅為5%，且這個誤差僅在B/H=1、β=45°時存在.另外，當寬高比較大時(B/H>2)，本文計算結果與文獻[15]的計算結果基本重合.因此，根據計算結果的比較，本文計算得出的穩定性系數是合理的，解答具有準確性.

圖4 本文與文獻[15]的穩定性系數對比

Fig.4Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliterature[15]

3 非均質性的影響

3.1 不考慮體積壓縮耗能對穩定性系數的影響

如前文所述，本文因考慮土體非均質性對三維土質邊坡穩定性影響而無法考慮土體體積壓縮產生的能量耗散，所以需要先分析忽略此部分耗能對穩定性系數的影響.圖5和圖6給出了本文只考慮摩擦耗能計算出的穩定性系數與文獻[15]不僅考慮摩擦耗能且考慮土體體積壓縮耗能的穩定性系數計算結果的對比.由圖5可以看出，當土體內摩擦角φ=30°和三維土質邊坡坡角β=45°時，本文不考慮土體體積壓縮耗能的穩定性系數與文獻[15]考慮土體體積壓縮耗能穩定性系數存在一定誤差.當寬高比較小時(B/H<2)，兩者誤差較大；當寬高比較大時(B/H>2)，兩者的計算結果幾乎重合.當三維邊坡坡角β=60°、75°和90°時，本文結果與文獻[15]結果幾乎重合.由圖6可以看出，當土體內摩擦角φ=15°時，本文不考慮土體體積壓縮耗能的穩定性系數和文獻[15]考慮土體體積壓縮耗能的穩定性系數存在一定誤差，但這些誤差均較小，且在合理范圍之內.

圖5土體內摩擦角為30°時本文與文獻[15]的穩定性系數對比

Fig.5Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliteraturewhenφ=30°

圖6土體內摩擦角為15°時本文與文獻[15]的穩定性系數對比

Fig.6Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliteraturewhenφ=15°

因此，可以總結得出當土體內摩擦角較大而邊坡坡角較小時，如果三維土質邊坡的寬高比也較小，則需考慮土體體積壓縮產生的能量耗散；如果三維土質邊坡的寬高比較大，則土體體積壓縮產生的能量耗散可以忽略.此外，當土體內摩擦角和邊坡坡角均較大或者僅土體內摩擦角較小時，土體體積壓縮產生的能量耗散對三維土坡穩定性系數的影響也可忽略.

3.2 參數分析

圖7為土體非均質性對不同坡角的三維土質邊坡穩定性影響結果對比.從圖中可以發現，隨著土體非均質性的增強，即非均質系數減小，不同坡角的三維土質邊坡的穩定性系數都呈現減小趨勢，且坡角越小，其穩定性系數減小的趨勢越明顯，說明土體非均質性對坡角較小的三維土質邊坡穩定性影響越強.圖8為土體非均質性對不同內摩擦角的三維土質邊坡穩定性影響結果對比.從圖中同樣可以發現，隨著土體非均質性的增強，三維土質邊坡的穩定性系數都呈現減小趨勢，且內摩擦角較大的三維土質邊坡穩定性減弱越明顯.因此，對坡角較小或內摩擦角較大的三維土質邊坡，土體非均質性對其穩定性的影響較顯著.

圖9為土體非均質性對不同寬高比的三維土質邊坡穩定性影響結果對比.如前文所述，寬高比反映了土質邊坡的三維效應，即寬高比越小，邊坡三維效應越強.從圖中可以發現，土體非均質性對三維效應越強的土質邊坡穩定性影響越明顯，而對三維效應較弱的邊坡穩定性影響較小.同時，從圖中可以看出，在不考慮土體非均質性條件下，三維效應強的土質邊坡其穩定性系數要大于三維效應較弱的邊坡，但在考慮土體非均質性條件下，特別當土體具有很強的非均質性時，三維效應強的邊坡其穩定性系數可能會小于三維效應較弱的邊坡.

圖7 非均質性對不同坡角的三維邊坡穩定性系數影響

Fig.7Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorsofthree-dimensionalslopeswithdifferentinclinationangles

圖8 非均質性對不同內摩擦角的三維邊坡穩定性系數影響

Fig.8Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorofthree-dimensionalslopeswithdifferentinternalfrictionangles

圖9 非均質性對不同寬高比的三維邊坡穩定性系數影響

Fig.9Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorofthree-dimensionalslopeswithdifferentratiosofwidthtoheight

4 結論

基于極限分析法探討了土體非均質性對三維土質邊坡穩定性的影響，分析了忽略土體體積壓縮耗能對邊坡穩定性的影響.主要結論如下：

(1) 當三維土質邊坡內摩擦角較大而坡角和寬高比較小時，土體體積壓縮產生的能量耗散需要考慮；當三維土質邊坡內摩擦角和坡角均較大或僅土體內摩擦角較小時，土體體積壓縮產生的能量耗散可以忽略.

(2) 土體非均質性對坡角較小或內摩擦角較大的三維土質邊坡穩定性影響較大.三維土質邊坡坡角越小、內摩擦角越大，土體非均質性對其穩定性的影響越強.

(3) 邊坡三維效應越強，土體非均質性對其穩定性的影響也越強.當土體非均質性很強時，三維效應較強邊坡的穩定性系數小于三維效應較弱邊坡的穩定性系數.