一類準(zhǔn)齊次核的Hilbert型級(jí)數(shù) 不等式成立的充要條件及應(yīng)用

洪 勇, 曾志紅

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣州 510320; 2. 廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部, 廣州 510303)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

目前, 關(guān)于Hilbert型不等式的研究已有很多結(jié)果[1-11]. 設(shè)p>0,α是常數(shù), 定義空間

(1)

為Hilbert型級(jí)數(shù)不等式. 不等式(1)可等價(jià)地化為

(2)

(3)

為T的(p,p)型算子范數(shù).

定義1設(shè)λ,λ1,λ2為常數(shù),t>0, 若K(x,y)滿足

K(tx,y)=tλλ1K(x,t-λ1/λ2y),K(x,ty)=tλλ2K(t-λ2/λ1x,y),

則稱K(x,y)為具有參數(shù)(λ,λ1,λ2)的準(zhǔn)齊次函數(shù).

證明: 由于K(x,y)是具有參數(shù)(λ,λ1,λ2)的準(zhǔn)齊次函數(shù), 且由

可得

因此有

同理可得ω1(m,β)≤mλλ1-(λ1/λ2)((β+1)/q-1)W1(β).

2 主要結(jié)果

K(x,y)≥0是具有參數(shù)(λ,λ1,λ2)的準(zhǔn)齊次可測(cè)函數(shù),s+r=1(0

均收斂. 則：

(4)

2) 若M0是式(4)的最佳常數(shù)因子, 則

當(dāng)c=0時(shí), 有

證明: 1) 設(shè)式(4)成立. 若λ1c<0,λ2c<0, 取am=m(-α-1+λ1cps)/p,bn=n(-β-1+λ2cqr)/q, 則有

由式(4)～(6), 得

(7)

從而可得

(8)

2) 首先由式(8)可知

當(dāng)c=0時(shí), 式(8)可化為

(9)

對(duì)足夠小的ε>0, 取am=m(-α-1-|λ1|ε)/p(m=1,2,…),bn=n(-β-1-|λ2|ε)/q(n=1,2,…), 則有

對(duì)足夠小的δ>0, 存在N, 使得n>N時(shí), 有n-λ2/λ1<δ. 記

則有

由式(9)～(11), 可得

令ε→0+, 得

于是有

再令δ→0+, 得

3 應(yīng) 用

由于式(1)與式(2)等價(jià), 因此由定理1可得:

定理2設(shè)算子T由式(3)定義, 則在與定理1相同的條件下, 有:

2)T的(p,p)型算子范數(shù)滿足

當(dāng)c=0時(shí), 有

則：

2) 當(dāng)c=0時(shí),T的(p,p)型范數(shù)為

當(dāng)c=0時(shí)，

則:

2) 當(dāng)c=0時(shí),T的(p,p)型范數(shù)為

當(dāng)c=0時(shí),