Bochner Kaehler流形中子流形的 Casorati曲率不等式

劉旭東, 蔡丹丹, 張 量

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241003)

在子流形幾何中, 文獻(xiàn)[1]提出了建立內(nèi)蘊(yùn)不變量與外在不變量之間關(guān)系的問題. 為了解決該問題, 文獻(xiàn)[2-3]引入了一系列新的內(nèi)蘊(yùn)不變量, 稱為δ-不變量, 并對實(shí)空間形式中的子流形建立了δ-不變量與外在不變量之間的不等式. 與δ-不變量有關(guān)的幾何不等式稱為Chen型不等式, 文獻(xiàn)[4-7]對賦予不同結(jié)構(gòu)的各種外圍空間的各類子流形建立了Chen型不等式.

本文對Bochner Kaehler流形中的子流形建立兩個(gè)關(guān)于廣義標(biāo)準(zhǔn)δ-Casorati曲率的不等式, 并討論其等號成立的條件. 不同于文獻(xiàn)[10-12,16-17]的分析學(xué)方法, 本文利用一個(gè)較一般的代數(shù)不等式給出結(jié)果的證明, 且該不等式能推廣目前已有證明Casorati曲率不等式的一些代數(shù)不等式[13-14].

1 預(yù)備知識(shí)

這里:X,Y為M上的任意切向量場;h,⊥,Aξ分別表示M的第二基本形式、 法聯(lián)絡(luò)和形狀算子, 其中第二基本形式和形狀算子關(guān)系如下:

g(h(X,Y),ξ)=g(AξX,Y).

(3)

(4)

其中:

(6)

(7)

L(Y,Z)=L(Z,Y),L(Y,Z)=L(JY,JZ),L(Y,JZ)=-L(JY,Z),

(8)

式中Ric和τ分別表示M的Ricci曲率張量和數(shù)量曲率.

A,B,C,…=1,2,…,2m;i,j,k,…=1,2,…,n;α,β,γ,…=n+1,n+2,…,2m.

對于任一X∈TpM, 設(shè)JX=PX+QX, 這里PX和QX分別表示JX的切分量和法分量, 則線性變換P:TpM→TpM的模長平方為

(9)

設(shè)π是TpM的一個(gè)平截面,K(π)表示M關(guān)于平截面π的截面曲率, 則數(shù)量曲率τ定義為

假設(shè)l為TpM的子空間(l≥2),e1,e2,…,el為l的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 則l的Casorati曲率定義為

由文獻(xiàn)[11]易證

引理1設(shè)f(x1,x2,…,xn)為n上的函數(shù)(n≥3), 定義為

其中a>n-2, 則f(x1,x2,…,xn)≥0, 且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

其中ε=x1+x2+…+xn.

證明: 通過計(jì)算, 有

另一方面, 利用Cauchy不等式, 有

(13)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn-1. 結(jié)合式(12)和式(13)可得

故f(x1,x2,…,xn)≥0, 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

2 主要結(jié)果

1) 當(dāng)0

(14)

(15)

(16)

結(jié)合式(6)～(8), 對式(17)中i,j求和, 可得

(18)

整理得

(19)

再結(jié)合式(6)和式(19), 可得

或等價(jià)于

即

(21)

考慮函數(shù):

不失一般性, 設(shè)l由e1,e2,…,en-1張成. 根據(jù)式(21), 式(22)可化為

從而

P≥0,

(24)

且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

(25)

根據(jù)式(10),(11), 可得如下推論:

1) 標(biāo)準(zhǔn)δ-Casorati曲率δc(n-1)滿足

(26)

且式(26)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在合適的局部正交標(biāo)架場{eA}下, 形狀算子具有如下形式:

(27)

結(jié)合式(9)可得如下結(jié)論:

1) 當(dāng)0

(28)

(29)

且式(28),(29)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在合適的局部正交標(biāo)架場{eA}下, 形狀算子形如式(16).

1) 當(dāng)0

(30)

(31)

且式(30),(31)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在合適的局部正交標(biāo)架場{eA}下, 形狀算子形如式(16).

1) 當(dāng)0

(32)

(33)

且式(32),(33)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在合適的局部正交標(biāo)架場{eA}下, 形狀算子形如式(16).

1) 當(dāng)0

(34)

(35)

且式(34),(35)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)在合適的局部正交標(biāo)架場{eA}下, 形狀算子形如式(16).