2×2上三角算子矩陣的A-Weyl定理的穩定性

趙玲玲, 曹小紅

(1. 防災科技學院 基礎教學部, 河北 三河 065201; 2. 陜西師范大學 數學與信息科學學院, 西安 710119)

1 引言與預備知識

令H為復的無限維Hilbert空間,B(H)為H上有界線性算子的全體, K(H)為B(H)中緊算子的全體. 對于T∈B(H), 定義n(T)為零空間N(T)的維數,d(T)為值域R(T)的余維數. 若n(T)<∞且R(T)是閉集, 則稱T為上半Fredholm算子; 若d(T)<∞且R(T)是閉集, 則稱T為下半Fredholm算子. 如果T∈B(H)是上半(或者下半)Fredholm算子, 則T的指標ind(T)=n(T)-d(T). 若T既是上半Fredholm算子又是下半Fredholm算子, 則稱T為Fredholm算子. 算子T的升標asc(T)=inf{n≥0:N(Tn)=N(Tn+1)}, 降標des(T)=inf{n≥0:R(Tn)=R(Tn+1)}. 若算子T是指標為零的Fredholm算子, 則稱T為Weyl算子. 若T是升標和降標均有限的Fredholm算子, 則稱T為Browder算子. 記ρ(T)為T的預解集,σ(T)=ρ(T)為算子T的譜. 此外, 記σa(T)為算子T的逼近點譜, 且ρa(T)=σa(T). 半Fredholm預解集ρSF(T)、 Weyl譜σw(T)和本質逼近點譜分別定義為:

ρSF(T)={λ∈:T-λI是半Fredholm算子},

σw(T)={λ∈:T-λI不是Weyl算子},

ρe a(T)={λ∈:T-λI是上半Fredholm算子且ind(T-λI)≤0}.

令σSF(T)=ρSF(T),σe a(T)=ρe a(T).

顯然,T滿足A-Browder定理等價于ρe a(T)=ρab(T), 其中

ρab(T)={λ∈:T-λI為上半Fredholm算子且asc(T-λI)<+∞}[2].

目前, 關于算子矩陣的Weyl型定理的研究已有許多結果[3-6]. 本文考慮2×2上三角矩陣算子滿足A-Browder定理和A-Weyl定理微小緊攝動的等價條件.

2 主要結果

定義3[1]設存在一個非負整數d, 使得當n≥d時kn(T)=0(即當n≥d時, 上述T誘導的映射為同構映射), 則稱當n≥d時,T有拓撲一致降標. 當n≥d時, 若R(Tn)在R(Td)的算子值域拓撲中閉, 則稱T有拓撲一致降標.

令ρτ(T)={λ∈:T-λI有拓撲一致降標}. 由文獻[7]中推論4.9知, 當T為半Fredholm算子時,T有拓撲一致降標. 若T有拓撲一致降標, 則λ是T的一個極點.

下面給出本質逼近點譜的一種變形. 令ρ1(T)={λ∈: dimN(T-λI)<∞, 且存在>0, 使得如果0<|μ-λ|<, 則T-μI是上半Fredholm且ind(T-μI)≤0}, 令σ1(T)=ρ1(T). 顯然,σ1(T)?σe a(T)?σw(T).

若ρτ(T)?ρb(T)∪σ1(T), 其中ρb(T)={λ∈:T-λI是Browder算子}, 則對任意的λ∈ρSF(T), ind(T-λI)≥0. 事實上, 令λ∈ρSF(T), 使得ind(T-λI)<0, 則λ∈ρτ(T)σ1(T), 即T-λI是Browder算子. 因此ind(T-λI)=0, 與ind(T-λI)<0矛盾. 對于λ∈ρSF(T),T-λI的最小指標定義為min ind(T-λI)=min{n(T-λI),d(T-λI)}.

引理1令T∈B(H), 則下列敘述等價:

1) 對任意的K∈K(H)且‖K‖<, 存在>0, 使得T+K滿足A-Browder定理;

2)T滿足A-Browder定理, 且ρSF(T)包含有限多個指標非正的連通分支.

類似引理1的證明, 可得如下引理:

引理2令T∈B(H), 則下列敘述等價:

1) 對任意的K∈K(H),T+K滿足A-Browder定理;

2)ρSF(T)僅包含一個指標非正的連通分支.

定理1令A∈B(H)使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A), 則下列敘述等價:

1) 對任意的C∈B(H)及K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Browder定理;

證明: 1)?2). 特別地, 令C=C0, 則2)顯然成立.

2)?1). 根據引理1, 只需證對任意的C∈B(H),MC滿足A-Browder定理, 且ρSF(MC)包含有限多個指標非正的連通分支.

首先證對任意的C∈B(H),MC滿足A-Browder定理. 令λ0∈σa(MC)σe a(MC), 則MC-λ0I是上半Fredholm算子, 且ind(MC-λ0I)≤0. 即A-λ0I是上半Fredholm算子, 則λ0∈ρτ(A). 由于ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A), 可得ind(A-λ0I)≥0, 因此A-λ0I是Fredholm的, 即B-λ0I是上半Fredholm的. 從而MC0-λ0I是上半Fredholm的, 且

ind(MC0-λ0I)=ind(A-λ0I)+ind(B-λ0I)=ind(MC-λ0I)≤0,

(1)

下證對任意的C∈B(H),ρe a(MC)=ρe a(MC0). 首先證ρe a(MC)?ρe a(MC0), 令λ0∈ρe a(MC), 則MC-λ0I是上半Fredholm算子, 且ind(MC-λ0I)≤0, 因此A-λ0I是上半Fredholm的, 由ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A), 可得A-λ0I是Fredholm的, 于是B-λ0I是上半Fredholm的, 因此MC0-λ0I是上半Fredholm的, 且式(1)成立, 從而λ0∈ρe a(MC0), 即ρe a(MC)?ρe a(MC0). 同理可證ρe a(MC0)?ρe a(MC), 于是ρe a(MC)=ρe a(MC0). 由結論(2)和引理1可知,ρSF(MC0)包含有限多個指標非正的連通分支, 因此ρSF(MC)包含有限多個指標非正的連通分支.

根據引理1可得, 對任意的C∈B(H)及K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Browder定理. 證畢.

特別地, 在定理1中, 令C0=0, 可得如下推論:

推論1令A∈B(H), 使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A), 則下列敘述等價:

1) 對任意的C∈B(H)及對所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Browder定理;

2) 對所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得M0+K滿足A-Browder定理.

根據定理1和引理2的證明, 可以刻畫2×2上三角矩陣算子滿足A-Browder定理的微小緊攝動.

推論2令A∈B(H), 使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A), 則下列敘述等價:

1) 對任意的C∈B(H)及所有的K∈K(H⊕H),MC+K滿足A-Browder定理;

2) 對所有的K∈K(H⊕H), 存在C0∈B(H), 使得MC0+K滿足A-Browder定理.

若isoσa(T)?{λ∈: 0

引理3設T∈B(H)為f-a-isoloid, 且acc[isoσa(T)]=?, 則下列敘述等價:

1) 對所有的K∈K(H)且‖K‖<, 存在>0, 使得T+K滿足A-Weyl定理;

2)T滿足A-Weyl定理, 且ρSF(T)包含有限多個指標非正的連通分支.

證明: 利用引理1, 只需證對所有的K∈K(H)且‖K‖<,?σa(T+K)σe a(T+K). 由于T滿足A-Brwoder定理, 可得?acc[isoσa(T)]∪[isoσa(T)], 又由于acc[isoσa(T)]=?, 則?isoσa(T). 由T為f-a-isoloid且T滿足A-Weyl定理, 可得

?(σa(T)σe a(T))?σa(T+K)σe a(T+K).

因此對任意的K∈K(H)且‖K‖<,T+K滿足A-Weyl定理. 證畢.

定理2令A∈B(H), 使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A),M0∈(H⊕H)為f-a-isoloid且acc[isoσa(M0)]=?, 則下列敘述等價:

1) 對任意C∈B(H)及所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Weyl定理;

2) 對所有K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0且C0∈B(H), 使得MC0+K滿足A-Weyl定理.

N(MC-λ0I)?(A-λ0I)-1[CN(B-λ0I)]⊕N(B-λ0I),

可得0

1)?2). 特別地, 令C=C0, 則2)顯然成立.

特別地, 在定理2中, 令C0=0, 可得如下推論:

推論3令A∈B(H)使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A) ,M0∈(H⊕H)為f-a-isoloid算子, 且acc[isoσa(M0)]=?, 則下列敘述等價:

1) 對任意C∈B(H)及所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Weyl定理;

2) 對所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得M0+K滿足A-Weyl定理.

例2令A,B∈B(l2), 定義A(x1,x2,x3,…)=(x2,x4,x6,…);B(x1,x2,x3,…)=(0,x1,0,x2,0,x3,…). 則: 1)σ1(A)=σ(A), 從而ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A)=; 2)σa(M0)=σe a(M0)=D, 因此M0為f-a-isoloid且acc[isoσa(M0)]=?;?,ρSF(M0)={λ∈: |λ|≥1}, 則M0滿足A-Weyl定理, 且ρSF(M0)由有限多個指標非正的連通分支構成. 因此由引理3和推論3可知, 對任意的C∈B(H)及所有的K∈K(H⊕H)且‖K‖<, 存在>0, 使得MC+K滿足A-Weyl定理.

同理, 根據定理2和推論2可知, 對任意的C∈B(H),MC滿足A-Weyl定理穩定性的等價條件.

推論4令A∈B(H)使得ρτ(A)?ρb(A)∪σ1(A),M0∈(H⊕H)為f-a-isoloid且acc[isoσa(M0)]=?, 則下列敘述等價:

1) 對任意的C∈B(H)及所有的K∈K(H⊕H),MC+K滿足A-Weyl定理;

2) 對所有的K∈K(H⊕H), 存在C0∈B(H), 使得MC0+K滿足A-Weyl定理.