求解一類介質(zhì)散射問題的特殊解方法

欒 天, 李雙雙, 張 威

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

1 數(shù)學(xué)模型

考慮時(shí)諧波被有界可穿透障礙物的散射問題[1-2], 其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為如下帶有輻射條件的Helmholtz方程定解問題:

本文提出一種特殊解方法, 利用基本解函數(shù)逼近場(chǎng)的性態(tài), 無需將無界區(qū)域截?cái)? 從而避免了人工邊界帶來的數(shù)值誤差, 且數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單. 目前, 類似的方法有超弱變分方法(UWVF)[3-4]、 平面波間斷Galerkin方法(PWDG)[5]和間斷加強(qiáng)法(DEM)[6]等, 這些方法已被用于障礙散射問題[7]、 光柵衍射問題[8-9]、 近場(chǎng)散射問題[10-11]、 開腔體散射問題[12]和一些工程問題[13]等的數(shù)值計(jì)算.

2 數(shù)值算法

首先, 分別定義單層位勢(shì)函數(shù)和雙層位勢(shì)函數(shù)如下：

其中:

其次, 給出散射解的有限維近似空間.

us(x)=(Dli-ikiSli)ψi,x∈Di.

(4)

在閉曲線li上選取有限個(gè)離散點(diǎn)yij(j=1,2,…,Pi,Pi∈), 則由式(4), 散射場(chǎng)可近似為

這里cij∈為待求系數(shù). 于是,Di上散射解的有限維近似空間Vi(i=1,2,…,N)定義為

(6)

在閉曲線γi上選取有限個(gè)離散點(diǎn)zij(j=1,2,…,Qi,Qi∈), 則由式(6), 散射場(chǎng)可近似為

這里cij∈為待求系數(shù). 于是,上全場(chǎng)解的有限維近似空間V0定義為

綜上, 散射解的有限維近似空間可定義為

V={v:v|Di∈Vi,i=0,1,2,…,N}.

最后, 通過數(shù)值方法使散射場(chǎng)在Γ處近似地滿足連續(xù)性條件. 利用解及其法向?qū)г讦Ｌ幍能S度可定義目標(biāo)泛函如下:

(8)

其中:

‖·‖0,Γi表示Γi上的L2范數(shù); [·]表示函數(shù)f在Γi處的躍度, 定義為

νi為Γi上的單位外法向量. 若記式(8)的解為

(9)

則uN即為所求問題中全場(chǎng)的數(shù)值解.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面利用MATLAB軟件通過3個(gè)算例對(duì)本文算法進(jìn)行數(shù)值模擬, 驗(yàn)證其有效性.

例1散射體Ω為六葉草形狀, 其邊界曲線Γ的極坐標(biāo)方程如下:

Γ(δ)=0.8+0.08cos(6δ), 0≤δ≤2π.

l(t)=1+0.1cos(6t), 0≤t≤2π;

在閉曲線l上選取有限個(gè)離散點(diǎn)yj(j=1,2,…,Q,Q∈). 在區(qū)域Ω內(nèi)選取閉曲線γ, 其極坐標(biāo)方程為

γ(δ)=0.64+0.064cos(6δ), 0≤δ≤2π;

在其上選取離散點(diǎn)zj(j=1,2,…,P,P∈). 為簡(jiǎn)單, 取P=p,Q=2p,p∈. 于是

圖1 例1的散射體Fig.1 Scatterer of example 1

分別如圖1中最外圈圓點(diǎn)和最內(nèi)圈圓點(diǎn)所示.

最后, 考察算法的收斂性. 通過逐步增加p, 分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的泛函值J(uN)1/2, 數(shù)值結(jié)果如圖4所示. 由圖4可見, 隨著p的增加, 泛函值J(uN)1/2逐漸減少. 當(dāng)p=130時(shí), 精度已達(dá)10-6, 表明收斂速度較快.

圖2 例1的散射場(chǎng)us實(shí)部Fig.2 Real part of scattered field us of example 1

圖3 例1的全場(chǎng)u實(shí)部Fig.3 Real part of total field u of example 1

例2設(shè)散射體D1和D2為具有不同波數(shù)的兩個(gè)圓, 其邊界曲線的參數(shù)方程分別為

數(shù)值模擬過程與例1相同. 首先分別在D1與D2外的閉曲線

上選取離散點(diǎn)y1j(j=1,2,…,P1,P1∈)和y2j(j=1,2,…,P2,P2∈). 在D1與D2內(nèi)的閉曲線

上選取離散點(diǎn)z1j(j=1,2,…,Q1,Q1∈)和z2j(j=1,2,…,Q2,Q2∈). 為簡(jiǎn)單, 取P1=P2=p,Q1=Q2=2p,p∈. 于是

分別如圖5中最外圈圓點(diǎn)和最內(nèi)圈圓點(diǎn)所示.

圖4 例1的數(shù)值收斂結(jié)果 Fig.4 Numerical convergence results of example 1

圖5 例2的散射體Fig.5 Scatterer of example 2

其次, 取入射角θ=0, 波數(shù)k0=10,k1=15,k2=30,p=100, 分別計(jì)算入射場(chǎng)散射場(chǎng)us和全場(chǎng)u, 結(jié)果分別如圖6和圖7所示.

最后, 逐漸增加p值, 分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的泛函值J(uN)1/2, 結(jié)果如圖8所示. 由圖8可見,J(uN)1/2隨p的增加快速衰減.

例3散射體為帶有圓形孔洞的六邊形區(qū)域, 其邊界曲線的參數(shù)方程分別為

Γ1(t)=((1+0.1cos(6t))cost,(1+0.1cos(6t))sint), 0≤t≤2π;

Γ2(t)=(0.4cost,0.4sint), 0≤t≤2π.

上選取如圖9中最外圈和最內(nèi)圈圓點(diǎn)所示的離散點(diǎn)

和

在D1內(nèi)的閉曲線

l3(t)=(0.48cost,0.48sint), 0≤t≤2π

上選取如圖9中第四圈圓點(diǎn)所示的離散點(diǎn)

圖6 例2的散射場(chǎng)us實(shí)部Fig.6 Real part of scattered field us of example 2

圖7 例2的全場(chǎng)u實(shí)部Fig.7 Real part of total field u of example 2

圖8 例2的數(shù)值收斂結(jié)果Fig.8 Numerical convergence results of example 2

圖10 例3的散射場(chǎng)us實(shí)部Fig.10 Real part of scattered field us of example 3

其次, 在D1內(nèi)的閉曲線

γ1(δ)=((0.8+0.08cos(6δ))cosδ,(0.8+0.08cos(6δ))sinδ), 0≤δ≤2π

上選取如圖9中第三圈圓點(diǎn)所示的離散點(diǎn)

圖11 例3的全場(chǎng)u實(shí)部Fig.11 Real part of total field u of example 3

圖12 例3的數(shù)值收斂結(jié)果Fig.12 Numerical convergence results of example 3