Kolmogorov系統的可積性與不可積性

崔美虹, 周 冉, 張艷妮

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 吉林建筑大學城建學院, 長春 130114)

目前, 關于微分動力系統的動力學行為及可積性等定性性質的研究已有很多結果[1-5]. 本文主要考慮如下Kolmogorov系統:

(1)

如果一個動力系統有足夠多的首次積分或不變量, 使得其通解可以通積分(包括隱函數)求解, 則稱該動力系統是完全可積的. 如果系統(1)在U上有(n-1)個函數獨立的首次積分, 則稱系統(1)在U上是完全可積的. 如果H沿著系統(1)的解曲線恒為常值, 或等價地

(2)

記

Mk={(x1,…,xn)∈U|xk+1=…=xn=0},k=1,2,…,n-1.

(3)

易見系統(3)是一個k維的Kolmogorov系統, 且是系統(1)的一個子系統, 即如果(x1(t),…,xk(t))是系統(3)的一個解, 則(x1(t),…,xk(t),0,…,0)是系統(1)的一個解. 因此系統(1)完全可積時系統(3)也完全可積.

定理1若Kolmogorov系統(1)于U上解析完全可積, 即存在(n-1)個獨立函數解析首次積分, 則對?k∈{1,2,…,n-1}, 系統(3)在U∩Mk上也解析完全可積.

證明： 設Φ1(x1,…,xn),…,Φn-1(x1,…,xn)為系統(1)在U上的(n-1)個函數獨立的解析首次積分, 則

在U的一個開稠密子集上是滿秩的, 從而在U∩Mk上的一個開稠子集上仍是滿秩的, 進而有

(4)

于U∩Mk上的秩≥k-1.

另一方面, 由于M(x1,…,xn)的秩≤k, 即M(x1,…,xn)的秩=k或k-1. 如果M(x1,…,xn)的秩恒為k, 則系統(3)有k個函數獨立的首次積分. 不失一般性, 設Φ1,…,Φk滿足Φ1(x1,…,xk,0,…,0),…,Φk(x1,…,xk,0,…,0)于U∩Mk上函數獨立, 即f1=…=fk恒為0, 從而系統(3)完全可積. 如果M(x1,…,xn)的秩恒為k-1. 類似于上述分析, 可知系統(3)有(k-1)個獨立解析首次積分, 從而也完全可積.

由定理1可知, 對n維Kolmogorov系統(1)的可積性研究可簡化為對低維問題的研究. 考慮如下一類二維Kolmogorov系統:

(5)

其中: (x,y)∈2;Pn,Qn為兩個n次齊次多項式,Rm,Tm為兩個m次齊次多項式, 且1≤n

關于這種類型的Kolmogorov系統的Liouville可積性研究可參見文獻[9,13], 本文進一步考慮系統(5)的解析可積性與多項式可積性.

定理21) 若系統(5)是解析可積的, 則存在一個齊次多項式H(x,y)及一個齊次有理函數Q(x,y), 使得

(6)

2) 若Pn=Qn不恒為0, 則系統(5)不是解析可積的;

3) 若Rm=Tm不恒為0, 則系統(5)不是多項式可積的.

證明： 1) 設Φ(x,y)是系統(5)的一個非平凡解析首次積分, 將其展開為

Φ(x,y)=Φl(x,y)+Φl+1(x,y)+…,

其中Φk(x,y)為Φ(x,y)的k階齊次項,Φl(x,y)為最低階非平凡齊次項, 則有

(7)

對比式(7)兩端最低階項得

(8)

2) 反證法. 假設系統(5)存在非平凡解析首次積分Φ(x,y), 則由1)的證明知式(8)成立, 即

與Pn不恒為0矛盾. 因此系統(5)不是解析可積的.

3) 反證法. 假設系統(5)有一個非平凡多項式首次積分Ψ(x,y), 將其展開為

Ψ(x,y)=Ψl(x,y)+…+ΨL(x,y),

其中Ψl(x,y),ΨL(x,y)分別表示Ψ的非平凡最低階和最高階齊次多項式, 則有

對比式(9)兩端最高階項得

即

與Rm不恒為0矛盾. 因此系統(5)不是多項式可積的. 證畢.