一類具權函數的退化橢圓方程解的性質

代麗麗, 曹春玲

(1. 通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

橢圓方程在幾何學、 電磁學、 彈性力學和流體力學等領域應用廣泛. 橢圓方程分為線性與非線性兩類, 目前, 關于非線性橢圓方程的研究已得到廣泛關注. 除幾類特殊的方程及有特定定解條件的方程外, 給出非線性橢圓方程的顯示解非常困難, 需要通過其他途徑表達一個非線性橢圓方程刻畫的物理意義及內在規律. 研究非線性橢圓方程解的適定性問題, 即研究其解的存在性、 唯一性和正則性等. 目前, 解決該類問題的方法主要有不動點定理、 單調性方法(也稱為上下解方法)、 拓撲度理論[1]、 臨界點理論[2-6]和變分法[7-8]等. 本文考慮一類具權函數的退化橢圓方程

(1)

解的性質. 其中:Ω是N(N≥2)中的有界區域;為加權的Sobolev空間,ω(x)為權函數,p是滿足1

(H2)a(x,s,ξ)={ai(x,s,ξ)}1≤i≤N:Ω××N→N是一個Carathéodory向量值函數, 對任意的s∈及幾乎所有的x∈Ω和每個ξ∈N, 以下不等式均成立:

(2)

(3)

[a(x,s,ξ)-a(x,s,η)]·(ξ-η)>0, ?ξ≠η∈N,

(4)

其中:k(x)是Lp′(Ω)中的一個非負函數;p-1+(p′)-1=1;c0,c1為正數;

(H3)g(x,s,ξ)是一個Carathéodory函數, 對任意的s∈及幾乎所有的x∈Ω和每個ξ∈N, 滿足

g(x,s,ξ)sgn(s)≥0,

(5)

(6)

其中:b:+→+是一個連續增函數;d(x)是L1(Ω)中的非負函數.

1 預備知識

k-Tk(s)定義為

其函數圖像分別如圖1和圖2所示.

圖1 Tk(s)的函數圖像Fig.1 Functional image of Tk(s)

圖2 k-Tk(s)的函數圖像Fig.2 Functional image of k-Tk(s)

引理1[11]設g∈Lr(Ω,γ),gn∈Lr(Ω,γ), 且‖gn‖Lr(Ω,γ)≤c, 1

引理2[11]假設條件(H1)成立,G:→是一致Lipschitz連續函數, 且若G′不連續點的集合D是有限的, 則

(x,u,u)·vdx,

(7)

(8)

2 主要結果

對每個Ω中的緊子集K, 定義K關于Ω的p-容量集為

其中:χK是K的特征函數. 記inf ?=+∞.Ω的任意開子集U的p-容量集定義為

capp(U,Ω)=sup{capp(K,Ω),K是緊集,K?U};

Ω的任意開子集B的p-容量集定義為

capp(B,Ω)=inf{capp(U,Ω),U是開集,B?U}.

(9)

根據文獻[14-15]可得如下結論:

定理1設E是Ω中的Borel集, 滿足capp(E,Ω)=0,λ∈Mb(Ω)是集中在E上的正測度,fn是L∞(Ω)中的非負函數序列, 滿足

(10)

g滿足式(5),(6),un是方程

(11)

b(k)k≤c0/2,

(12)

其中b由式(6)定義. 由于b是連續函數, 因此存在k使得式(12)成立.

在式(8)中選取一個檢驗函數[14-15]v=(k-Tk(un))ψδ, 有

下面分別估計I1,I2,I3,I4. 對于I2, 由k-Tk(un)在L∞(Ω)中弱*收斂于k-Tk(u)且在Ω上幾乎處處收斂可知,ψδ(k-Tk(un))在(Lp(Ω,ω))N中強收斂于ψδ(k-Tk(u)), 結合式(9)中第一個等式, 有

(13)

對于I3, 當un>k時,k-Tk(un)=0, 結合式(5), 可得

由式(9)可知,ψδ在L∞(Ω)中弱*收斂于0. 通過選取適當的k, 并結合式(12), 有

同時, 通過選取適當的k, 有

整理得

對于I1, 結合式(2), 有

由于I4非負, 因此可去掉非負項, 并結合I1,I2,I3的估計, 可得

即

(14)

若在式(8)中選取v=Tk(un)(1-ψδ)作為一個檢驗函數, 則有

對于J3, 由于Tk(s)與s同號, 因此結合式(5), 有J3≥0. 同時, 類似估計I2的方法, 可得J2=εn,δ. 對于J4, 結合式(11)中第二個等式及式(10), 有

對于J1, 結合式(2), 可得

(15)

(16)

證畢.