外場調制控制環形腔光折變 振蕩器的時空混沌

周繡佳, 馮秀琴, 張志穎, 姚治海, 王曉茜

(長春理工大學 理學院, 長春 130022)

時空混沌是非線性系統特有的一種狀態, 廣泛存在于自然界中. 光學時空混沌是非線性光學系統普遍存在的現象, 目前, 有關激光器的時空動力學行為[1]、 環形腔激光器系統[2-4]、 光學雙穩態系統[5-7]、 光學相位共軛[8]、 光學參數振蕩器系統以及光折變振蕩器系統的時空混沌已取得很多研究成果[9-14]. 自White等[15]實現光折變振蕩器以來, 環形腔光折變振蕩器的非線性動力學研究已引起人們廣泛關注, 如利用微分方程對合作頻率鎖定[16]、 橫模巡游[17]、 光學斑圖和時空混沌[18-19]以及對稱耦合條件下光折變振蕩器的時空混沌控制與同步[20-21]等. 本文在此基礎上, 研究非對稱耦合條件下二維時空混沌的控制.

圖1 環形腔光折變振蕩器原理Fig.1 Schematic diagram of photorefractive ring oscillator

1 非對稱耦合環形腔光折變振蕩器的時空混沌

環形腔光折變振蕩器原理如圖1所示, 對應的系統動力學行為可由如下迭代方程表示[13,22]：

非對稱耦合二維時空動力學方程為

其中:n為迭代步數;i,j=1,2,…,L為二維空間平面坐標;εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數; 函數f[In(i,j)]表示系統的局域動力學函數, 用方程(1)～(3)表示;In(i,j)為狀態變量, 表示信號光強.

初始條件為除激光光源外沒有其他光場存在的均勻分布的空間光場,I0(i,j)=0.3, 系統參數為

(8)

非對稱耦合系數分別為

ε1=0.05,ε2=0.06,ε3=0.055,ε4=0.045,

(9)

邊界條件為

In(0,j)=In(i,L+1)=In(i,0)=In(L+1,j)=0.

(10)

圖2為第(32,32)格點的時間序列和時空演化, 其中： (A)，(C),(E),(G)分別為Ωτ=0.3,0.7,1.05,1.4時格點(32,32)光強隨時間的變化； (B),(D),(F),(H)分別為Ωτ=0.3,0.7,1.05,1.4時光強的橫向分布. 由圖2可見： 當Ωτ=0.3時, 二維空間環形腔光折變振蕩器系統均勻穩定, 系統輸出狀態為穩定的周期1； 當Ωτ=0.7,Ωτ=1.05時, 系統的輸出狀態為倍周期狀態, 從周期2、 周期4過渡到周期8狀態； 當Ωτ=1.4時, 系統輸出狀態為時空混沌狀態.

空間斑圖與系統參數和時間有關. 當系統參數為式(8)-(9)及Ωτ=1.4, 初始條件為I0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10)時, 由方程(7)的數值計算結果表明, 空間非對稱耦合作用破壞了系統原有的對稱結構, 出現對稱破缺現象, 隨著時間的增加逐漸向中心擴散, 最后演變為完全時空混沌狀態, 如圖3所示. 由圖3可見： 當時間步數n=50時, 時空斑圖的四角處開始出現不穩定現象； 當n=100時, 不穩定范圍擴大； 當n=150時, 不穩定范圍進一步向中心擴散； 當n=200時, 系統呈完全時空混沌狀態.

圖2 格點(32,32)的橫向分布及其隨時間的演化Fig.2 Transverse distribution of lattice (32,32) and its evolution with time

圖3 從對稱破缺向光學湍流演化的橫向斑圖Fig.3 Transverse pattern from evolution of symmetry breaking to optical turbulence

2 非對稱耦合環形腔光折變振蕩器的二維時空混沌控制

2.1 均勻外場調制控制二維時空混沌

均勻外場調制控制非對稱耦合環形腔光折變振蕩器系統二維時空混沌的動力學方程為

其中:f[In(i,j)]為局域動力學函數;M為均勻外場調制強度;εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數. 系統參數為式(8)-(9)及Ωτ=1.4, 初始條件為I0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10), 從n=600步開始加入控制, 結果如圖4所示, 其中： (A)，(C)，(E)分別為M=0.07，0.15,0.41時系統輸出光強度隨時間的變化； (B),(D),(F)分別為M=0.07,0.15,0.41時系統輸出光強度的時空分布. 由圖4可見： 當均勻外場調制系數分別為M=0.07,0.15,0.41時, 系統分別被控制到周期4,2,1； 系統中每個格點輸出的光強度均不隨時間變化, 但不同格點輸出的光強度不同.

圖4 均勻外場調制環形腔光折變振蕩器二維時空混沌的控制結果Fig.4 Control results of two-dimensional spatiotemporal chaos by uniform external field modulation in photorefractive ring oscillator

2.2 混沌光場調制控制二維時空混沌

將環形腔激光器輸出的混沌激光作為調制信號, 調制控制二維非對稱耦合環形腔光折變振蕩器系統的時空混沌. 環形腔光折變振蕩系統的動力學方程為

其中:f[In(i,j)]為局域動力學函數;εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數；

為環形腔激光器輸出的混沌激光光強[4],α1為環形腔激光器的增益系數,Γ為環形腔激光器的腔損耗.

系統參數為式(8)-(9)及Ωτ=1.4,Γ=11.0, 初始條件為I0(i,j)=0.3,X0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10), 從n=600步開始加入控制, 結果如圖5所示, 其中: (A),(C)分別為α1=11.75,12.5時系統輸出光強度隨時間的變化； (B),(D)分別為α1=11.75,12.5時系統輸出光強度的時空分布. 由圖5可見： 當環形腔激光器增益參數分別為α1=11.75,12.5時, 系統分別被控制到周期4,2； 系統中每個格點輸出的光強度不隨時間變化, 但不同格點輸出的光強度不同. 數值模擬結果表明, 混沌光場調制不能將二維非對稱耦合環形腔光折變振蕩器系統的時空混沌控制到周期1.

圖5 混沌光場調制環形腔光折變振蕩器二維時空混沌的控制結果Fig.5 Control results of two-dimensional spatiotemporal chaos by chaotic light field modulation in photorefractive ring oscillator

綜上, 本文數值模擬了非對稱耦合環形腔光折變振蕩器的時空演化行為. 結果表明： 當邊界條件、 初始條件以及系統參數取確定值時, 系統的輸出狀態隨時間演化逐漸擴散到時空混沌狀態; 當調制強度逐漸增加時, 處于時空混沌狀態的二維非對稱耦合環形腔光折變振蕩器系統逐漸被控制到周期4、 周期2, 最后到穩定的周期1狀態; 隨著環形腔激光器輸出激光光強參數的增大, 二維非對稱耦合環形腔光折變振蕩器系統從混沌狀態逐漸被控制到周期4、 周期2狀態, 系統受控后所處周期狀態與參數變化導致的周期狀態輸出光強度不同.