PT對稱Bell態的經典糾纏與CPT糾纏

李曉玉, 勇鑫蕾, 陶元紅

(延邊大學 理學院數學系, 吉林 延吉 133002)

目前, 關于宇稱-時間(PT)對稱量子理論[1]的研究已取得很多成果[2-10]. 經典量子力學中可觀測量由Hermite算子表示, 封閉系統的演化由幺正算子約束, 在PT對稱量子力學中, 算子滿足電荷正負、 宇稱和時間(CPT)反演對稱條件. 由于CPT對稱條件在經典量子理論中是Hermite條件, 因此CPT對稱條件是Hermite條件的推廣. 量子糾纏在量子信息處理和量子通信中應用廣泛. 文獻[10]在PT對稱量子理論中給出了CPT糾纏的定義, 并討論了經典EPR態在PT對稱量子理論下的CPT糾纏度, 證明了EPR態在PT對稱量子理論下不再是最大糾纏態. 本文討論PT對稱量子理論中Bell態的經典糾纏問題, 并對比PT對稱量子態在兩種量子系統下的糾纏變化.

1 PT對稱量子理論中的CPT內積與量子態

文獻[5]在PT對稱量子理論中討論了如下2×2的Hamilton算子：

(1)

(2)

二維PT對稱量子理論中向量|ψ〉的CPT轉置共軛定義[5]為

〈ψ|CPT=[(CPT)|ψ〉]T,

(3)

其中T表示矩陣的轉置, 進而2個向量|ψ〉和|φ〉的CPT內積[10]定義為

〈ψ|φ〉CPT=[(CPT)|ψ〉]T·|φ〉,

(4)

其中

(5)

顯然, 式(2)中的態滿足：

〈ψ±|ψ±〉CPT=1, 〈ψ±|ψ?〉CPT=0,

于是可設

|0CPT〉=|ψ+〉, |1CPT〉=|ψ-〉.

考慮PT對稱Hamilton算子(1)的兩體量子系統H1?H2, 該復合系統的態將處在由聯合基{|0CPT〉?|0CPT〉,|0CPT〉?|1CPT〉,|1CPT〉?|0CPT〉,|1CPT〉?|1CPT〉}張成的4維Hilbert空間H1?H2中. 任意一個雙PT量子態|Ψ〉∈H1?H2可展開為

|Ψ〉=a|0CPT〉?|0CPT〉+b|0CPT〉?|1CPT〉+c|1CPT〉?|0CPT〉+d|1CPT〉?|1CPT〉,

(6)

其中a,b,c,d均為復數, 且

對任意兩個向量|Ψ〉,|Φ〉∈H1?H2, 它們之間的CPT內積[10]定義為

〈Ψ|Φ〉CPT=[(CPT)?(CPT)|Ψ〉]T·|Φ〉.

(7)

定義1[10]若兩體復合系統H1?H2的純態|Ψ〉不能寫成|φ〉1?|φ〉2形式, 其中: |φ〉1∈H1; |φ〉2∈H2. 則稱態|Ψ〉為糾纏態.

顯然, 若復振幅a,b,c,d取一般值, 則式(6)中的兩體PT量子態|Ψ〉∈H1?H2是一個糾纏態.

2 經典量子理論中的糾纏及其度量

設|Ψ12〉為兩體量子系統H1?H2中的純態, 其經典密度算子為

ρ12=|Ψ12〉〈Ψ12|,

(8)

約化密度算子分別定義為

ρ1=tr2ρ12,ρ2=tr1ρ12,

(9)

其中tri為偏跡算子.

對兩體復合系統H1?H2的純態|Ψ12〉, 可以量化其糾纏度量, 由任何一個子系統上約化密度矩陣的熵定義, 即

E(|Ψ12〉)=-tr(ρ1logρ1)=-tr(ρ2logρ2),

(10)

顯然0≤E(|Ψ12〉)≤1. 當E(|Ψ12〉)=0時, |Ψ12〉是可分態. 當各子系統的密度矩陣為常數倍的單位矩陣時,E(|Ψ12〉)=1, 此時稱|Ψ12〉為最大糾纏態.

文獻[10]定義了兩體復合系統中PT對稱量子態的糾纏度量.

3 PT對稱Bell態的Hermite糾纏分析

類似經典量子理論中Bell態, 可定義如下4個PT對稱Bell態：

(11)

按照文獻[10]的糾纏度定義, 它們均為CPT內積下的最大糾纏態. 式(11)中4個態的矩陣分別表示為：

由于CPT內積與Hermite內積不同, 因此對上述4個PT對稱Bell態的經典糾纏進行分析, 應先討論其是否為經典量子態. 易得|Φ-〉和|Ψ-〉的普通范數為1, 即為經典量子態, 可以計算其經典糾纏度. 由于|Φ+〉和|Ψ+〉的普通范數為

不再總是經典量子態, 無法直接計算其經典糾纏度. 因此, 先將|Φ+〉和|Ψ+〉在Hermite內積下進行規范化, 變為如下經典量子態：

其中*表示轉置共軛. 于是可求得

(14)

(15)

其約化密度矩陣為

(17)

對應的特征方程為

(18)

即

特征值為

(19)

于是, 經典糾纏度為

(21)

易得其他2個PT對稱Bell態|Φ-〉和|Ψ-〉在Hermite內積下的約化密度矩陣均為