巧用平面幾何知識找中點證明線面平行

蘇保明

證明線面平行是高考命題的重要內容之一，也是常考不衰的重要題型，深受命題專家的青睞，其原因是此類題錯綜復雜，能很好地考查考生的思維水平.本文根據初高中幾何連接點的內在聯系，從以下四個方面找線段的中點，進而順利證明線面平行.

方法一：利用“對角線互相平分”找中點

例1 如圖l，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=2.

（Ⅰ）證明：A₁C∥平面AB₁D.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖2，連接A₁B，交AB₁于點O，連接OD.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以四邊形A₁B₁BA是矩形.故A₁O=OB（此結論用到了初中數學知識，即“矩形對角線互相平分”）.

由于BD=DC，所以OD是△A₁BC的中位線，可知OD//A₁C.又OD 平面AB₁D，A₁C 平面AB₁D，所以A₁C∥平面AB₁D.

小結 由于涉及矩形A₁B₁BA的對角線AB₁，聯想到矩形A₁B₁BA的另一條對角線A₁B，所以連接A₁B，這樣就可構造三角形的中位線，找到線線平行，從而順利地證明線面平行.

值得注意的是，凡是涉及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的一條對角線，往往需要連接另一條對角線，這樣可根據對角線互相平分找到邊的中點.

方法二：利用“等腰三角形三線合一”找中點

例2 如圖3，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，點M在邊BC上，△AMC₁是以M為直角頂點的等腰直角三角形.

（Ⅰ）證明：直線A₁B∥平面AMC₁.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖4，連接A₁C，交AC₁于點N，連接MN.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，四邊形A₁C₁CA是矩形.又AM 平面ABC，所以CC₁⊥AM.由于AM⊥MC₁，CC₁ MC₁=C₁，CC₁ 平面BB₁C₁C，MC₁ 平面BB₁C₁C，所以AM⊥平面BB₁C₁C.又BC 平面BB₁C₁C，所以AM⊥BC.在△ABC中，由AB=AC，AM⊥BC，可知BM=MC（此結論用到了初中數學知識，即“等腰三角形三線合一”）.

由于點N是矩形A₁C₁CA的兩條對角線的交點，所以A₁N=NC，則MN是△A₁BC的中位線，MN∥A₁B.又MN 平面AMC₁，A₁B 平面AMC₁，所以A₁B∥平面AMC₁.

小結 題目涉及對角線AC₁，就需要想到另一條對角線，所以連接另一條對角線A₁C，得到中點N.另外又涉及點M，所以可想到“如果M是BC的中點，那么MN就是△A₁BC的中位線”.這樣一來，問題就迎刃而解了.其實也是如此，由AB=AC，AM⊥BC，可得M是BC的中點，這就用到了初中平面幾何的知識“等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合”.由此可見，熟練掌握初中數學知識，對解高中數學題很有幫助.

方法三：利用平行線分線段成比例定理找中點

例3 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，PD⊥CD，AB∥CD，AB=BC=AD=PD=1，CD=2，且點E，F，G分別是BC，AD，PB的中點.

（Ⅰ）證明：PD∥平面EFG.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖6，連接BD，交EF于點H，連接GH.

由于AB∥CD，AB≠CD，所以四邊形ABCD是梯形.又E，F分別是BC，AD的中點，所以AB∥EF∥CD.由AF=FD，可知BH=HD（此結論用到了初中數學知識中的平行線分線段成比例定理）.

由PG=GB，可知GH∥PD.由于PD 平面EFG，GH 平面EFG，所以PD∥平面EFG.

小結 此題的證明用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理.由此找出三角形的一邊的中點H，構造出三角形的中位線，進而較為輕松地證明了線面平行.

方法四：利用平行線分線段成比例定理的推論找中點

例4 如圖7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，PA=PD=2，BC=1/2 AD=1，CD= ，M是棱PC的中點.

（Ⅰ）證明：PA∥平面MQB.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖8，連接AC，交BQ于N，連接MN.

由于AQ=QD=1/2AD，BC=1/2AD，所以BC=QD.又BC∥QD，所以四邊形BCDQ是平行四邊形，BQ∥CD.在△ACD中，AQ=QD，NQ∥CD，所以AN=NC[此結論用到了初中數學知識中的平行線分線段成比例定理的推論，即“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”].

由于PM=MC，所以MN是△ACP的中位線，則MN∥PA.又MN 平面MQB，PA 平面MQB，所以PA∥平面MQB.

小結 此題證明的關鍵點AN=NC，就是用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理的推論.由此找出三角形一邊的中點Ⅳ，從而一目了然地找到了三角形的中位線，使證明過程明朗化，

初中平面幾何的相關知識是解決高中立體幾何問題的關鍵點.因此，考生務必熟練掌握，在解題中熟練運用，不斷提高自己的思維水平和解題能力.