考慮父節點的貝葉斯網絡故障路徑追溯算法*

王 林，宋 蓓，張友衛，綦小龍,3，王 皓+

1.江蘇方天電力技術有限公司，南京 211102

2.南京大學 計算機軟件新技術國家重點實驗室，南京 210023

3.伊犁師范學院 電子與信息工程學院，新疆 伊寧 835000

1 引言

隨著現代工業的快速發展，工業系統的復雜程度與日俱增。為保障這類系統日益增長的安全性及可用性需求，近年來，國內外學者陸續提出了大量故障診斷算法。作為一種將系統內在結構與外部觀測值相結合的異常組件定位及異常原因分析技術，故障診斷能夠幫助專業技術人員有效地進行故障排查，從而制定可行的解決方案，以避免不必要的工業損失。

針對不同系統建立的故障診斷技術在過去十年中得到了廣泛發展。Gao等人[1]對其中基于模型及基于信號的方法進行了總結與綜述。此外，Wang等人[2]提出了一種基于模糊推理的電力傳輸網絡圖形建模方法。他們利用代數模糊推理，對候選故障組件的置信水平進行計算，以實現最終的診斷。Jegadeeshwaran和Sugumaran[3]提出了一種基于統計特征和支持向量機的統計特征選擇算法，對汽車的液壓剎車情況進行了在線監控。Chine等人[4]開發了基于人工神經網絡的光伏系統仿真模型。他們模擬不同屬性值并將其與觀測值進行比較，來確定可能的錯誤操作。Liu等人[5]則設計了一種基于非線性觀測器的故障診斷方法，用于分析聚合物電解質膜燃料電池供氣系統中存在的異常。在故障診斷研究領域中，公認有待解決的最主要問題是不確定性問題。這種不確定性來源于方方面面：如系統中的傳感器可能存在固有偏差，數據觀測及導出過程可能帶來難以避免的誤差，使用的模型本身可能具有不確定的結構或參數等。另外，由于不同故障之間存在復雜的相互作用，它們的關系通常也是難以預判的。

為解決上述問題，大量學者將貝葉斯網絡（Bayesian network，BN）引入故障診斷研究中。貝葉斯網絡是概率知識表達及推理的最強大概率圖模型之一，它能夠有效地處理故障診斷過程中存在的不確定性信息。近年來，基于貝葉斯網絡的故障診斷技術得到了國內外學者的廣泛關注，不同類型的貝葉斯網絡已被陸續應用于故障診斷領域中。Lakehal等人[6]構建了一個使用靜態BN及溶解氣體分析進行變壓器故障診斷的框架。Bennacer等人[7]開發了一種結合靜態BN及案例推理的混合方法，以減少診斷過程中的人工干預。Liu等人[8]提出了一種基于靜態BN和集成經驗模式分解的方法，用于診斷齒輪泵系統中的故障。另一類稱為動態貝葉斯網絡（dynamic Bayesian network，DBN）的BN則常用于數據隨時間變化的場景。Raiteri和Portinale[9]設計了一種基于DBN的自動航天器故障檢測、識別和恢復方法。Cai等人[10]開發了一個基于DBN的實時可靠性評估系統，從而更好地實現了對海底壓漿防噴系統的監測。Hu等人[11]使用DBN來進行故障路徑識別。在他們的方法中，傳播路徑的結束節點被認為是故障根源。此外，基于面向對象貝葉斯網絡（object-oriented Bayesian network，OOBN）及其他類型貝葉斯網絡（如模糊貝葉斯網絡、分布式貝葉斯網絡）的故障診斷方法也分別在文獻[12-16]中得到了討論。

如今，BN已在許多真實生活中的故障診斷領域得到了大量應用，特別是工業領域[17-19]。然而，大多數現有的貝葉斯故障診斷技術往往旨在定位出導致故障發生的某一特定部件，而忽略了各設備屬性之間固有的相互影響作用。實際上，系統中多個步驟均有可能存在異常。因此，根據觀測數據實現有效的故障路徑追溯是十分有必要的。為監測大數據量工業系統中的故障傳播路徑，本文提出了一種新穎的貝葉斯網絡故障路徑追溯算法。在建立貝葉斯網絡及設置故障證據后，通過條件概率分解及二分法計算得出各子節點的最大條件估計值，然后與真實值進行比較。由于過程中相應聯合概率的求解僅涉及某節點與其父節點，計算復雜度得到了有效降低；同時，觀測數據中的各屬性值也得到了最大程度的利用。在供熱電力機組數據上的實驗結果表明，該算法可以快速并有效地追蹤出可能存在的故障傳播路徑，具有較高的實用價值。

2 貝葉斯網絡

貝葉斯網絡，也稱信念網絡，是通過有向無環圖（directed acyclic graph，DAG）來表示變量及變量間條件依賴關系的一種概率圖模型。一般來說，貝葉斯網絡的有向無環圖中的節點代表隨機變量，而兩節點之間的邊則代表相應變量間存在的因果關系。同時，圖中各節點具有一個與之對應的條件概率分布（conditional probability distribution，CPD），表明將該節點父變量的一組特定值作為輸入時，由節點所表示的變量作為輸出的取值概率。對于根節點N，CPD即為邊緣概率P(N)；而對非根節點N，CPD為條件概率分布P(N|parents(N))，其中parents(N)代表N的父節點變量集合。圖1展示了一個簡單的貝葉斯網絡，其中節點A同時影響著節點B、C，而各節點的CPD分別為P(A)、P(B|A)和P(C|A)。

Fig.1 Example of Bayesian network圖1 貝葉斯網絡示例

現假設網絡中存在n個隨機變量X1,X2,…,Xn，其中隨機變量Xi與DAG中第i(1≤i≤n)個節點相對應。由鏈式規則，可以得到X1,X2,…,Xn的聯合概率分布為：

在BN中，當所有直接父節點已知時，任一非根節點與其非直接祖先節點條件獨立。故利用此條件獨立性可以將式（1）簡化為：

其中，parents(Xi)代表Xi的父節點集合，并且當parents(Xi)=? 時，P(Xi|parents(Xi))=P(Xi)。

基于鏈式規則的聯合概率分解有效減少了概率模型的復雜度。盡管引入BN沒能使計算復雜度進一步降低，它仍然被廣泛用于概率推理中，其原因有三：首先，BN通過嚴格的數據語言進行表達和描述，非常適合計算機處理；其次，BN簡單直觀，易于被大眾理解及討論；最后，基于BN的推理提供了一個模擬人腦的推理模型，無需大量歷史數據即能實現有效的不確定性推斷。

BN中的推理往往是計算所需變量后驗概率（或后驗概率分布）的過程。一般來說，已知的變量通常被稱為證據變量。而故障診斷可以被視為一種尋找故障-原因之間關系的推理過程。在故障診斷中，網絡中的每個故障都以某個變量節點進行表示。當觀測到的故障A作為證據輸入網絡后，所有可能的故障原因Bi將根據貝葉斯定理計算得出：

其中，P(Bi)為Bi的先驗分布；P(A|Bi)為給定Bi后故障A發生的條件概率。它們都可以從歷史數據及專業知識中獲取。在計算完成后，將得到后驗概率P(Bi|A)。若這一概率較高，則可認為在預知A的情況下，Bi即為所需的故障原因。

現實中的推理場景往往更加復雜，但基于BN的故障診斷過程大體上都可以歸納為以下5個步驟[20]：（1）BN結構學習；（2）BN參數學習；（3）BN推理；（4）故障診斷；（5）模型驗證。

3 考慮父節點影響的貝葉斯網絡故障路徑追溯算法

3.1 算法描述

圖2展示了所提出故障路徑追溯算法的整體框架。如圖所示，在執行所提出的概率推理和故障路徑追溯算法前，首先需要對數據進行相應預處理，并進行BN結構訓練以及BN參數學習工作，以得到必需的BN模型。之后，推理從上而下展開。對某個特定故障子節點，其父節點存在多種不同的后驗取值組合，因此可通過設置各父節點影響與否計算出多個故障子節點的條件估計值。然后將這些估計值與實際觀測值進行比較，認為引起最接近估計值的父節點后驗取值組合即為導致所觀測故障的最大可能原因。基于這種思想，通過將最近尋找到的原因父節點作為新的故障“子節點”并重復執行上述推理步驟，當追溯至網絡頂層，即各“子節點”不再存在父節點時，便能實現對一條或多條具有最大條件概率的故障傳播路徑的追蹤。最終，還需要對得到的結果進行驗證，以確定方法的有效性及可行性。

Fig.2 Framework of method圖2 算法整體框架

表1給出了本文所涉及的數學符號及相應含義。具體地說，假設已從歷史數據中完成了BN結構及參數學習，并且在需要進行故障路徑追溯的觀測數據X中，所有屬性取值均已知，則所提出考慮父節點影響的貝葉斯網絡故障路徑追溯算法可以具體分為以下步驟，如圖3所示。

Table 1 Mathematical notation表1 數學符號及含義

Fig.3 Fault diagnosis process圖3 故障診斷過程

此種算法采用了直觀且易于理解的思想來進行故障診斷。不同于現有的精確或近似BN推理算法，它不計算故障已知條件下各故障可能原因發生的條件概率，而是利用所有已知的變量屬性與BN的馬爾可夫邊界條件獨立性質，分析哪些父節點觀測值的組合可能導致子節點故障的概率最高，并將它們作為導致此故障發生的最大可能原因。與其他自下而上的推理方法相比，這種自頂向下的追溯更大程度上利用了觀測數據中的先驗信息，因而能夠得到更為準確的診斷結果。此外，由于在求解聯合概率時，變量數從網絡節點總數減少至故障節點S及其父節點的總和，計算復雜度能夠得到顯著降低。

下面介紹BN的馬爾可夫邊界及條件獨立性質，然后按步驟對算法進行具體說明。

3.2 馬爾可夫邊界及條件獨立性質

定義1（馬爾可夫邊界） 在BN中，節點N的馬爾可夫邊界mb(N)包括其父節點、子節點及子節點的父節點。即mb(N)=parents(N)∪ch(N)∪∪Y∈ch(N)parents(Y)，其中ch(N)代表N的子節點集合。如在圖4中，節點B的馬爾可夫邊界mb(B)={A,F,C}。

Fig.4 Example of Markov boundary in BN圖4 馬爾可夫邊界示例

引理1在BN中，給定節點N的馬爾可夫邊界mb(N)，N條件獨立于網絡中所有其他變量。

引理2在BN中，給定節點N的父節點集合parents(N)，N條件獨立于它的所有非后代節點。

在一般的BN推理中，當計算聯合概率時，網絡中的所有節點都應該被考慮在內，因為未觀測到任何變量值時，它們之間的因果關系是未知的。然而，因為假設故障數據X中包含所有屬性取值，即網絡中所有變量的值都可以預先得到，所以根據引理1及引理2可知：對網絡中任一節點N，其條件獨立于網絡中所有非馬爾可夫邊界變量，同時條件獨立于網絡中其所有非后代變量。因為后代變量僅受節點影響，而不能反過來影響該節點，所以對于節點N，當假設中間節點的值均已知時，可以認為它僅受父節點影響，即推理可以只在父節點集合中進行，這大大簡化了聯合概率求解。

3.3 條件概率分解

由上述條件獨立性可知：當某個子節點S發生故障時，導致該故障發生的直接原因僅可能為其m個父節點集合Ω的某個真子集T（其他節點與S條件獨立）。故在BN結構及參數學習完畢后，推理的核心變為如何根據網絡結構及已知參數學習結果P(S|Ω)，求解2m-1個條件概率分布P(S|T={XT})。這里利用條件概率分解來進行計算，下面給出相應定理及具體證明。

也就是說，關鍵的條件概率可以通過以下步驟完成：

（1）從訓練數據中篩選出滿足對應變量屬性T={XT}的所有歷史數據；

（2）根據篩選出的數據確定集合Ω-T的所有可能取值組合；

（3）對于集合Ω-T每一種可能的取值組合，通過統計方法計算P(Ω-T={XΩ-T}|T={XT})；

（4）根據推論1計算P(S|T={XT})。

以圖4中的網絡為例，設H為觀測到的故障變量節點，若要計算P(H|F=f)，則傳統的BN推理需要對整個網絡中除H及F之外的節點求和，即：

而本文的方法在計算相同的條件概率時，無需考慮網絡中故障變量H的非父節點A、B、C、D，此時：

顯然，這樣的計算在網絡總變量節點數，即數據屬性數大量增加時，能夠實現有效優化計算復雜度的目的。

3.4 二分法數值估計

在根據條件概率分解得到2m-1個條件概率分布P(S|T={XT})后，還需要進一步根據所求解的條件概率分布估計故障節點S在2m-1種不同父節點取值下的最大可能取值xS。此處假設數據服從高斯分布，則訓練得到的網絡結構為一個高斯BN，其中網絡參數是一個子節點具有連續父節點的線性高斯模型。即當Ω={Y1,Y2,…,Ym} 時，成立：

亦即P(S|Ω)服從均值為β0+β1Y1+β2Y2+…+βmYm，方差為σ2的高斯分布。

在此情況下，可知所求得的2m-2個條件概率分布P(S|T):P(S|Y1),P(S|Y2),…,P(S|Y1,Y2),…,P(S|Y2,Y3,…,Ym)均具有以下形式：

式（7）中各fi=P(S|Y1,Y2,…,Ym)～N(β0+β1Y1+β2Y2+…+βmYm;σ2)；pi為一個概率值，滿足0≤pi≤ 1。

目標是通過最大化每個條件概率P(S|T={XT})來計算2m-1個S的最大可能取值xS。這樣的最大可能取值意味著當將觀測數據X中的真實值賦給T中變量時，這些父節點最有可能導致子節點S=xS。

自然地，對P進行求導，得到：

然而，通過置P′=0卻無法得到x的數值解析解。考慮到ci>0且，可以利用二分思想來求解P′=0的近似解x。顯然，這樣的x必定大于其中某些μi，而小于另一些μi，因為只有在這樣的情況下才會有P′=0成立。使用二分法近似估計S最大可能值xs的具體過程如下：

（1）計算所有μi，令a=μimin，b=μimax，則P′(a)和P′(b)必定異號，這意味著存在x∈(a,b)，使得P′(x)=0 。

（2）不失一般性，若P′(a)＜0，P′(b)>0 ，則計算。如果，則停止計算并輸出；如果，則將區間縮小至，繼續二分查找；否則在區間中繼續二分查找。

（3）重復步驟（2），直到得到滿足相應近似精度的x，輸出xS=x。

3.5 比較與追溯

將節點S的2m-1個最大可能值與觀測數據中的真實值進行對比是整個推理過程的最后一步。由于在2m-1個估計值中，每一種條件父節點取值均模擬了與該條數據記錄相同的條件狀態。因此，在確定了與真實值最接近的估計值后，可以認為該估計值所對應的條件父節點組合T*即為導致節點S發生故障的最大可能原因。

基于上述思想，當T*中的節點仍然存在父節點時，該過程將通過設置這些節點為新的故障節點S來繼續迭代，直到尋找到的原因集合中僅存在根節點。至此，基于根源故障將得到所需的一條或多條最大可能故障路徑。

4 實驗及分析

為驗證所提出算法的有效性，選擇電力供熱機組數據集與水泥生料磨設備數據集兩組真實工業數據集進行了實驗，并結合專業領域知識對故障路徑追溯結果進行了分析。

4.1 電力供熱機組數據集

電力供熱機組數據集包含7臺不同的電力供熱機組數據，其中各機組均含50萬條以分鐘為間隔的記錄，包括供熱流量、主蒸汽流量、主蒸汽溫度和主缸壓力等50至60維連續型屬性。

首先對數據進行預處理，剔除相應噪聲，即機器啟動階段的異常零值。然后使用Huang等人[21]提出的連續型稀疏方法訓練網絡結構，并按式（6）進行網絡參數學習。圖5展示了一個所訓練BN網絡結構的示例，從直觀上看，這樣的網絡結構是較為復雜的。

BN建模完成后，使用基于貝葉斯后驗的異常值檢測方法[22]對供熱數據中的關鍵屬性——供熱流量進行異常檢測。若檢驗為異常，則認為該分鐘的記錄數據為一條故障數據，并將供熱流量作為起始故障變量S，使用所提出的算法進行故障路徑追溯。

圖6展示了某機組數據由異常供熱流量出發所追溯到的所有故障路徑。可以看到：供熱流量1受網絡中編號為2的另一個供熱流量直接影響，而供熱流量2又受供熱二級減壓閥后壓力及冷再熱蒸汽母管溫度影響。具體可以得到以下4條故障路徑：

（1）機組功率→計算給水流量→過熱器減溫水總流量→四抽汽溫度→再熱氣溫→八抽B抽汽溫度→供熱二級減壓閥后壓力2→供熱流量2→供熱流量1。

（2）機組功率→鍋爐給水進口壓力→四抽至B小機蒸汽流量→凝結水流量3→凝結水流量1→供熱二級減壓閥后壓力2→供熱流量2→供熱流量1。

（3）機組功率→鍋爐給水進口壓力→四抽至B小機蒸汽流量→凝結水流量3→凝結水流量1→冷再熱蒸汽母管溫度→供熱流量2→供熱流量1。

（4）機組功率→鍋爐給水進口壓力→四抽至B小機蒸汽流量→凝結水流量3→凝結水流量2→主蒸汽流量→凝補水流量→冷再熱蒸汽母管溫度→供熱流量2→供熱流量1。

其中，A→B代表A為導致B發生的原因。

Fig.5 Sample of learned BN structure in heating units圖5 某電力供熱機組BN結構

Fig.6 Sample of fault paths in heating units圖6 某電力供熱機組故障路徑

模型驗證工作采用專業人員甄別完成。經專業人員分析判斷，在以上所追溯出的故障路徑中，各前后變量之間的確存在因果影響關系，這說明此種故障追溯方法是具有較高的診斷準確性的。另外，由于在建立BN后，所提出的方法僅10 s內即能給出故障診斷的結果，因而它能夠快速地適應技術人員進行實時監控調整屬性的工業需求。

4.2 水泥生料磨設備數據集

在水泥粉磨設備數據集上的實驗用以進一步證實算法的有效性。該數據集包含4臺不同水泥生料磨設備運行過程中的參數記錄，其中各設備均以小時為間隔，對包括臺時、輥壓機電流、選粉機電流等24至27維的連續型屬性進行了為期3個月的記錄。

同樣地，對該數據集進行預處理，然后建立BN，并對該數據集中的關鍵屬性——臺時產量進行異常值檢測。在檢測完成后，使用所提出的算法追溯異常數據中可能存在的故障路徑。

圖7展示了某生料磨數據由異常臺時產量出發所追溯到的故障路徑結果。可以看到，在該條數據記錄中，所得故障路徑僅有一條：臺時產量受選粉機電流直接影響，進而受入庫提升機電流1、2及窯尾袋收塵出口氣體溫度的影響，而窯尾袋收塵出口氣體負壓是導致該異常的最根本原因。由于該數據集維度低于電力供熱機組數據集，訓練到的BN網絡結構更為稀疏，因而在進行路徑追溯時，得到的可能故障路徑數也明顯減小。

Fig.7 Sample of fault paths in cement raw mill圖7 某水泥生料磨設備故障路徑

對于該數據集，在專業人員的參數調整記錄中發現：當選粉機電流調大或調小時，輥壓機做功會隨之上升或下降，從而導致臺時產量變大或變小。這說明臺時產量確實受到選粉機電流的直接影響。而窯尾袋收塵出口氣體負壓、窯尾袋收塵出口氣體溫度、入庫提升機電流、選粉機電流之間也存在著前后因果關系：窯尾袋收塵出口氣體的壓力影響此處溫度；當氣體溫度過高或過低時，入庫提升機電流需要進行調節來保證設備的正常運轉；只有選粉機電流與入庫提升機電流相適配，才能保證原材料粉塵全部進入設備。這些因果性進一步證實了所提出算法的故障路徑診斷準確性，同時也說明對于連續的工業時間序列數據，本文的算法表現出了較強的實用性和一定的通用性。

5 總結與展望

本文提出了一種考慮父節點影響的貝葉斯網絡故障路徑追溯算法。故障一旦發生并被標記為異常，便被設置為初始故障子節點。然后，所提出的故障診斷算法通過估計和比較，從該子節點的父節點集合中搜索出具有最大影響的真子集作為導致該故障發生的直接原因，并將真子集中的非根父節點作為新的子節點重復逐層追溯，以實現得到一條或多條最大可能故障傳播路徑的目的。因為方法中的估計不僅采用故障變量真實值來進行比較，還采用父節點變量真實值來計算不同條件概率，所以在更大程度上利用了數據中的先驗信息。另外，由于利用了貝葉斯網絡的局部馬爾可夫性質，在聯合概率求解時，將變量數由網絡節點總數減少到了父子局部總數，這大大降低了計算復雜度。

電力供熱機組數據的實驗證明了該方法的有效性和可用性。然而，對于連續型數據，在進行相應概率統計時，事先的離散化仍然是非常必要的，這無疑會導致一定程度上的信息丟失和不準確。因此，如何在不離散連續屬性的情況下進行概率求解，使算法中的條件概率分解能夠真正適用于連續型數據，仍有待進一步研究。