關(guān)于兩類雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計(jì)

敖 恩

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示所有在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)解析且具有形式

的函數(shù)族.記S表示A內(nèi)在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)單葉解析函數(shù)的全體.用P表示在U內(nèi)解析且形如同時(shí)滿足Re{p(z)}＞0的函數(shù)全體,稱其為正實(shí)部函數(shù).另外，用 N 表示 P 內(nèi)滿足條件 ?(0)=0,?'(0)＞0和 ?(U)為關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的區(qū)域，且形如的函數(shù)的全體.

在文獻(xiàn)[1]中，Koebe-1/4定理[1]得到了如下結(jié)論：對(duì)于每一個(gè)函數(shù)f∈S必存在一個(gè)逆函數(shù)f-1,滿足

和

若f∈A和其逆函數(shù)f-1在單位圓盤U內(nèi)都是單葉，則稱函數(shù)f∈A在U是雙單葉解析函數(shù).用σ表示在U內(nèi)雙單葉解析函數(shù)全體.若f-1(ω),則

在文獻(xiàn)[2]中,Robertson引進(jìn)了擬從屬的概念.設(shè)函數(shù)f(z),h(z)在單位圓盤U內(nèi)解析,如果存在解析函數(shù)φ(z),使函數(shù)在 U 內(nèi)解析且 |φ(z)|＜1 和 ω(0)=0,|ω(z)|＜1 滿足

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)擬從屬于h(z),記為f(z)?qh(z).特別地,當(dāng)φ(z)=1時(shí),f(z)=h(ω(z)),z∈U,稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)從屬于函數(shù) h(z),記為 f(z)?h(z);當(dāng) ω(z)=z時(shí),f(z)=φ(z)h(z),z∈U.稱函數(shù) f(z)在U內(nèi)優(yōu)于函數(shù)h(z),記為f(z)?h(z).顯然，“從屬關(guān)系”和“優(yōu)化關(guān)系”是擬從屬關(guān)系的特殊情況.

在文獻(xiàn)[3]中,Lewin首次引入雙單葉函數(shù)族σ,得到了如下結(jié)論：若函數(shù) f(z)∈σ,則 |a2|≤1.51.在文獻(xiàn)[4]和[5]中,對(duì)于函數(shù)f(z)∈σ先后得到了.最近幾年,一些研究者利用擬從屬關(guān)系定義與雙單葉函數(shù)相關(guān)的一些重要子類,并研究相應(yīng)函數(shù)類的起始兩項(xiàng)的系數(shù)估計(jì)問題[6-9].受以上研究工作啟發(fā)，本文利用擬從屬關(guān)系引入了下面的兩類雙單葉函數(shù):

則稱f(z)∈Sqσ(γ,λ;?),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，?∈N,g(ω)=f-1(ω).

定義2若函數(shù)滿足條件

則稱f(z)Kqσ(γ,λ;?),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，?∈N,g(ω)=f-1(ω).

在本文中,利用復(fù)分析的一些方法和正實(shí)部解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)和分析技巧,研究了上述兩函數(shù)類中函數(shù)的起始項(xiàng)a2和a3的邊界估計(jì)，得到了全新的結(jié)果.

為了得到本文主要結(jié)果，引進(jìn)關(guān)于正實(shí)部函數(shù)解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì).

引理[10]設(shè)

2 主要結(jié)果

除特別聲明,本文規(guī)定

在U內(nèi)定義函數(shù)p1(z),p2(ω)為

則函數(shù)p1(z),p2(ω)在U內(nèi)解析，且p1(0)=p2(0)=1.簡(jiǎn)單計(jì)算可得

由解析函數(shù) u,v:U→U 可得,函數(shù) p1(z)，p2(ω)∈P.由(2.1)-(2.5)，計(jì)算可得

和

定理1設(shè),則

和

證明由于則根據(jù)定義 1 和擬從屬關(guān)系可知

和

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(z)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.10)式和(2.11)式左側(cè),通過簡(jiǎn)單計(jì)算可得

和

把(2.6)和(2.12)代入到(2.10),比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

若在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得(2.8)式中的|a2|的上界估計(jì).

接下來，我們?cè)儆懻搢a3|的上界估計(jì).把(2.17)代入到(2.15)可得

再把(2.18)和(2.19)代入到(2.20)式,可得

和

利用引理，并結(jié)合(2.20)和(2.21)，可得出關(guān)于|a3|的估計(jì)式(2.9).定理1證畢.

定理2設(shè),則

和

證明由于則根據(jù)定義 2 和擬從屬關(guān)系可知和

和

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.25)式和(2.26)式左側(cè),通過簡(jiǎn)單計(jì)算可得

和

把(2.6)和(2.27)代入到(2.25),比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

接下來證明過程同定理1類似，可得(2.23)式和(2.24)式成立.定理2證畢.