《概率論與數理統計》中定理的聯系教學
——以獨立同分布的中心極限定理和樣本均值的抽樣分布定理為例

李 真

（廣東財經大學 統計與數學學院，廣東 廣州 510320）

1 引言

凡是在一定條件下斷定隨機變量之和的極限分布是正態分布的定理，在概率論中統稱為中心極限定理.中心極限定理是揭示產生正態分布的源泉，是應用正態分布來解決各種實際問題的理論基礎[5].該部分是《概率論與數理統計》課程中的一個非常重要內容，在概率論與數理統計的知識體系中起著承上啟下的作用[3].教學大綱要求學生理解獨立同分布的中心極限定理，并掌握該定理的應用.

樣本均值的抽樣分布定理同樣是《概率論與數理統計》中的一個重要定理.它是統計學的基礎理論之一，奠定了抽樣推斷的基礎.對樣本均值的抽樣分布定理的理解程度，決定了學生對整個抽樣推斷理論的理解程度[4].

然而，這兩個定理都非常抽象（尤其中心極限定理）.學生對定理的理解不到位，且不了解這兩個定理的聯系，大多數學生會以為結論多而煩，產生恐懼和抵觸心理，很難取得良好的學習效果.故本文探討獨立同分布的中心極限定理和樣本均值的抽樣分布定理的聯系與區別，進行類比教學[2].

2 獨立同分布的中心極限定理

2.1 定理內容

定理1（萊維—林德伯格定理） 設X1,X2,…是獨立同分布隨機變量序列，且 E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ2，則對任給 x∈(-∞,+∞)，均有

其中Φ(x)是標準正態分布N(0,1)的分布函數.

注：該定理又稱之為獨立同分布的中心極限定理.

2.2 定理的理解

定理1的條件明確要求隨機變量序列X1,X2,…要具備：獨立、同分布兩個條件，這正是該定理又稱為獨立同分布的中心極限定理的原因；同時，還需知道Xi的期望和方差，這兩個條件在定理的結論中要用到.除此之外，并不要求隨機變量序列滿足何種分布.

結合獨立性和同分布，

雖然定理1的結論涉及極限分布，但在實際中，應用獨立同分布的中心極限定理解決具體問題時，只要n充分大，我們就可以用中心極限定理做近似計算.因此，可將（1）式記為：當n充分大時，有

很多學生初學定理1，對該定理不甚理解.而它的記憶及應用，恰是以理解為基礎的.這是學生學習獨立同分布的中心極限定理的難點，也是教學過程中教師應講解的重點.

3 樣本均值的抽樣分布定理

3.1 定理內容

定理2 設X1,X2,…Xn為來自均值為μ，方差為σ2的總體的一組樣本，則當n充分大時，近似地有

3.2 定理的證明

分析：定理2中X1,X2,…Xn是一組樣本，具備有相互獨立，且與總體同分布的性質.因此，它是獨立同分布的隨機變量序列.定理2也告知了Xi的期望與方差，與定理1的條件唯一的區別是：定理2是有限個隨機變量，但在結論中提到了n充分大，與（2）式（見2.2）的前提是一致的.因此，可直接得到（2）式結論.再做進一步討論.

證 因為X1,X2,…Xn是一組樣本，所以X1,X2,…Xn獨立、同分布，當n充分大時，由獨立同分布的中心極限定理（定理1）知，

而此結論就是定理2的結論（3）式的標準化！

3.3 定理的意義

定理2說明，給定任意分布形態的總體（即使不知道總體的分布類型也無關緊要），其均值為μ，方差為σ2，從中抽出容量為n的樣本；只要樣本容量n足夠大，樣本均值的分布就近似服從均值為μ，方差為的正態分布.它指出了樣本均值與總體均值的關系，奠定了抽樣推斷的基礎.學生如果不能較好地理解樣本均值的抽樣定理，就不能進一步理解參數估計和假設檢驗這些統計推斷的原理.

4 兩個定理的聯系與區別

從3.2可以看出，樣本均值的抽樣分布定理（定理2）其實是獨立同分布的中心極限定理（定理1）的推論！這也說明，中心極限定理是數理統計中大樣本統計方法必不可少的理論基礎，體現了中心極限定理在概率論與數理統計知識體系中的承啟的作用.

但兩者的意義不同，在概率論與統計學中的地位也不盡相同.中心極限定理非常重要，而樣本均值的抽樣分布也有它的理論意義，是統計學的基礎理論之一（詳見3.3）.

5 總結

把獨立同分布的中心極限定理和樣本均值的抽樣分布定理進行聯系教學，旨在讓學生認識到這兩個抽象定理的聯系與區別.一方面，讓學生更加明確這兩個定理的理論意義和應用價值；另一方面，在解決實際問題時，可引導學生把這兩個定理視為同一個定理，減少結論的記憶量，消除學生對抽象定理的恐懼或抵觸心理，培養、提高學生應用定理解決具體問題的能力.