基于響應面法的制動盤多目標及穩健性優化設計

谷 婷 婷

(泛亞汽車技術中心有限公司，上海 201201)

0 引 言

汽車制動過程中的制動噪音、制動熱抖動、制動熱衰退等會影響車輛的舒適性和行駛安全性。因此，在制動器開發設計過程中，尋找切實有效的措施控制制動噪音、熱抖動、提高抗熱衰退性能一直倍受關注。

復特征值模態耦合理論的分析結果與試驗測試結果具有較好的一致性，已有效用于制動器噪聲機理研究[1]。王登峰等[2]基于制動器總成的接觸摩擦耦合有限元模型，計算分析了可能產生制動尖叫的不穩定模態及其影響因素，并通過試驗驗證了有限元模型的可靠性，為控制制動尖叫提供了途徑。P. LIU 等[3]建立了制動器系統的有限元耦合模型，針對一系列幾何參數和材料特性參數，分別求解了制動器的復模態，提出了降低摩擦系數和修改制動片幾何形狀的優化方法，以減小不穩定模態的不穩定系數來達到控制制動噪聲的目的。

汽車在制動過程中，制動盤受到交變循環熱應力而產生變形，引起制動抖動。制動盤的熱變形、熱抖動等都是典型的熱機耦合問題。施一鳴[4]建立了盤式制動器熱-結構耦合有限元模型，計算了不同制動工況下制動盤的溫升以及應力場分布，并試驗驗證了制動熱效應引起的制動盤抖動。陳友飛等[5]建立了制動盤的熱分析有限差分模型，進行了單次制動和循環制動工況下的溫度場仿真分析，結果與有限元模型分析結果一致。張磊[6]在制動器熱-結構耦合有限元分析結果的基礎上，構建了表征制動器關鍵結構參數與制動力矩、最高溫度及應力關系的代理模型；以最高溫度及應力為約束條件，制動力矩最大化為目標，采用多島遺傳算法進行了優化設計，提高了制動器性能。

從現有研究工作看，制動器制動噪聲機理、熱機耦合分析已有較多研究，但相關的優化設計研究相對較少[7-8]。此外，制動噪聲還受到制動器材料、結構、運行工況等各種隨機因素的影響，因此，有必要從系統穩健性角度出發，合理進行參數設計，提高制動器噪聲的穩健性。P. KAPADNIS等[9]以摩擦因數等作為噪聲因素，以制動器系統復特征值實部最大化為目標，采用田口方法和正交試驗設計確定具有穩健性的參數組合方案。目前，針對制動器某一部件的關鍵設計參數等進行穩健性設計的研究仍很罕見[7]。

制動盤是制動器核心部件之一，工作時與制動塊直接接觸，產生摩擦作用。制動盤的模態耦合是制動噪聲的關鍵影響因素；制動盤的熱機耦合變形是制動熱抖動產生的重要原因，影響制動盤的使用壽命。

筆者從工程應用的實際出發，針對某制動盤設計要求，提出了一種基于響應面法的多目標優化/穩健性設計方法。筆者建立了制動盤多工況下的有限元模型，基于正交試驗構建了制動盤的Kriging響應面模型。為抑制制動盤模態耦合引起的制動噪聲、熱機耦合引起的熱抖動，采用多目標遺傳算法對制動盤進行結構參數優化設計；優化過程中，以結構參數公差作為噪聲因子，采用蒙特卡洛方法進行穩健性設計；有限元仿真和試驗驗證了優化結果的可靠性。

1 制動盤設計要求及優化設計流程

1.1 制動盤設計要求

為預防制動高頻噪聲和熱抖動等現象，制動盤必須滿足以下設計要求：

1)模態隔離值大于設定值。為預防制動高頻噪聲，制動盤面內壓縮模態和相鄰的軸向模態隔離值要大于設定值，降低因制動盤壓縮模態和軸向模態耦合產生制動高頻噪聲風險。按照工程開發要求，對第1階和第2階面向壓縮和相鄰軸向模態隔離值必須要大于300 Hz。

2)熱翹曲變形小于設定值。熱翹曲指制動盤在制動過程中因摩擦生熱，溫度升高，引起其工作面整體向某一方向偏斜，失去平面度而呈圓錐化的現象。為避免制動過程中出現因制動盤熱變形導致的熱抖動，要求制動盤的熱翹曲變形z2-z1小于某一設定值。筆者定義熱翹曲變形為距離制動盤外緣10 mm處與距離制動盤內緣10 mm處軸向的變形差值，如圖1。

圖1 制動盤熱翹曲示意Fig. 1 Schematic diagram of brake disc thermal coning

3)散熱能力良好。制動過程中約90%動能通過制動器的摩擦轉化為熱能，制動器過熱會導致熱衰退、抖動、噪聲以及異常磨損等問題。制動器通過熱傳導、熱對流以及熱輻射3種傳熱方式將摩擦轉為的熱能最終傳遞到外界環境中耗散掉。筆者用冷卻系數表征制動盤的散熱能力，冷卻系數越大，制動盤散熱能力越好。汽車在制動過程中產生的熱量可以表示為

Pin=Pstored+Pout

(1)

即制動過程產生的熱量Pin等于制動盤本身儲存的能量Pstored與制動盤散發的熱量Pout之和。假設所有熱量都由摩擦生成并散發，則式(1)可寫為

(2)

將式(2)轉換為

(3)

筆者根據通用汽車公司制動盤制動平衡溫度的要求，推導出滿足該車型制動平衡溫度的冷卻系數。計算得到制動盤的冷卻系數在50 km/h必須大于0.003 2才能滿足制動盤平衡溫度要求，如圖2。因通用保密規定，并未對制動平衡工況做特定說明。

圖2 冷卻系數與制動盤溫升關系Fig. 2 Relationship between cooling coefficient and temperaturerise of brake disc

4)單次制動溫升小于設定值。為減小制動過程中制動盤溫度升高引起的熱抖動，要求從100 km/h車速制動到停車時制動盤溫升不超過90 ℃。

5)滿足輕量化設計。制動盤在滿足各種設計要求的前提下，質量盡可能小。

1.2 制動盤優化設計流程

考慮制動盤設計要求，將試驗設計、響應面法近似建模、蒙特卡羅法與穩健性設計技術相結合，提出基于響應面法的制動盤多目標和穩健性設計相結合的優化設計方法。圖3為優化設計流程。

流程圖說明如下：

1)明確制動盤設計要求，確定制動盤結構形式，建立各工況有限元模型；

2)結構參數主效應分析，選擇設計變量，確認目標函數及約束條件；

3)設計正交試驗，構建滿足精度要求的Kriging響應面模型；

4)基于響應面模型，采用多目標遺傳算法對制動盤結構參數進行尋優；

5)多目標尋優過程中，考慮設計變量噪聲因子對目標函數的影響，應用蒙特卡洛方法對設計變量進一步進行穩健性尋優；

6)優化結果驗證。

圖3 制動盤結構多目標/穩健性優化設計流程Fig. 3 Flow chart of multi-objective and robust optimal designfor brake disc

2 制動盤多目標優化和穩健性設計

2.1 制動盤有限元模型

制動盤的盤頸結構、筋結構形式對其性能有著重要影響。筆者選擇的制動盤頸及筋的形式如圖4。基于UG三維建模軟件建立了制動盤的幾何模型，并在Hypermesh軟件中進行網格劃分。根據制動盤的設計要求，在Abaquas和Fluent軟件中建立了相應工況的制動盤有限元模型。圖5為制動盤的有限元網格模型。

圖4 制動盤盤頸結構、筋結構形式Fig. 4 The neck and vane of brake disc

圖5 制動盤有限元網格模型Fig. 5 Finite element model of brake disc

2.2 基于正交試驗的制動盤響應面模型

1)設計變量選取與設置

制動盤盤面及筋結構參數對制動盤的模態頻率、制動噪音、制動抖動以及熱變形等都有影響。以制動盤的模態隔離值、熱變形量、冷卻系數、單次制動溫升以及質量等指標作為響應函數，對這些結構參數進行主效應分析后，選取制動盤盤面高度、外面厚度、內面厚度、筋寬度、盤頸半徑、筋數目等為設計變量。設計變量示意如圖6，變量范圍設置見表1。

圖6 設計變量示意Fig. 6 Schematic diagram for design variables

表1 設計變量變化范圍及其水平Table 1 Range and levels of design variables

2)正交試驗設計

采用正交試驗設計方法在變量變化區間內選擇模態頻率、熱翹曲變形、冷卻系數、單次制動溫升等性能的樣本點，通過有限元試驗計算得到樣本點的響應值，為構建響應面模型提供原始數據。將每個設計變量分為5個水平，設計正交矩陣，共獲得25個樣本點。通過有限元計算，可以得到每個試驗樣本點對應的制動盤自由模態頻率隔離值、性能響應以及制動盤質量。試驗設計變量水平設置如表1，表2、表3為正交試驗的樣本設計方案及對應的試驗設計的部分結果。通過對正交試驗結果進行主效應分析可知，筋寬度、外面厚度、內面厚度對制動盤模態隔離值、冷卻系數和單次制動溫升影響較大，而內面厚度對制動熱翹曲影響較大。

表2 正交試驗樣本設計(部分)Table 2 Partial samples of orthogonal experimental design

表3 正交試驗設計結果(部分)Table 3 Partial results of orthogonal experimental design

3)Kriging響應面模型

根據正交試驗設計結果，用最小二乘法構造Kriging響應面模型[10]，定義如下：

(4)

(5)

式中：f(x)為以x為變量的多項式函數；k為設計變量的個數；β0、βi、βii、βij分別為常數項、一次項、二次項和交叉項待定系數；z(x)為服從正態隨機分布的函數。

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R([r(xi,xj)])

(6)

式中：σ2為z(x)的方差；R為相關矩陣；r(xi,xj)為相關函數。

高斯相關函數為

(7)

基于z(x)的無偏性和估計方差最小得出相關參數θl由最大可能估計給出，即在θ>0時使式(8)最大：

(8)

筆者對前述的正交試驗設計點分別進行有限元分析，借助ISIGHT多學科優化平臺進行Kriging響應面擬合。采用絕對系數R2、均方誤差RMSE對擬合面的精度進行評價，如表4。

表4 Kriging響應面精度檢驗Table 4 Check for the accuracy of Kriging RSM

由于所關注的制動盤性能指標較多，因此在擬合過程中設定絕對系數R2大于0.9時，即認為擬合的響應面模型達到精度要求。根據郭勤濤等[11]的研究可知，當響應面的RMSE達到0.04時，可認為模型精度達到要求。因此，擬合得到的響應面模型具有可信度，可以用于后續的多目標優化設計。

2.3 制動盤多目標和穩健性優化設計

選擇制動盤冷卻系數c最大、質量m最小為設計目標，其他性能要求為約束條件，建立多目標優化模型：

max：y1=c,y2=1/m

subject to：minfND-f1T≥300 Hz;

minfND-f2T≥300 Hz;

STC<0.25 mm;

TS<90 ℃

(9)

式中：fND為制動盤軸向模態頻率；f1T、f2T分別為第1、2階壓縮模態頻率；STC為熱翹曲變形量；TS為單次制動溫升。

基于制動盤的響應面模型，采用多目標遺傳算法進行制動盤結構參數的優化設計。考慮到制動盤的加工過程中，各個尺寸參數需控制在一定的公差范圍內；實際的制造公差表現出一定的隨機性，難以人為控制。因此，為提高優化設計的穩健性，將制動盤尺寸公差作為噪聲因子(見表5)，應用蒙特卡洛方法[12]對設計變量進行穩健性設計。具體地，首先進行多目標遺傳進化，執行遺傳算子后得到設計變量的更新值；設尺寸設計變量值在其公差范圍內滿足均勻分布，則將尺寸設計變量更新值在其公差范圍內均勻離散化，進一步進行最優搜索，獲得具有穩健性的設計變量更新值；將獲得的設計變量更新值作為新一代進化的父代，繼續執行多目標尋優，直到獲得具有穩健性的Pareto最優解。

表5 尺寸設計變量的公差水平Table 5 Tolerance level for dimension design variables mm

3 優化設計結果及驗證

根據前述的優化設計流程及方法對制動盤進行多目標穩健性優化設計，在獲得的Pareto解集中選取一組滿意的設計變量值對制動盤結構更新設計，并進行有限元仿真分析和驗證。優化前后的設計變量及性能參數值的對比如表6和表7。

表6 制動盤優化前后的設計變量值Table 6 Design variables of brake disc before and after optimization mm

表7 制動盤優化前后及有限元計算的性能參數Table 7 Brake disc performance index obtained by optimization andfinite element method

從表6可以看出，優化后盤面高度和筋寬度的變化較大，其他變量的改變值則較小。由表7可知，優化后冷卻系數增大約8.1%，制動盤質量減小約6.2%，符合優化預期；第6階軸向模態與第1階壓縮模態、第2階壓縮模態與第8階軸向模態的隔離值都大于300 Hz，已滿足設計要求；熱翹曲變形量減小，而單次制動溫升略有提高，但仍在可接受的范圍內。從3 σ穩健性優化設計結果可以看到，制動盤冷卻系數和制動盤模態隔離滿足3σ要求，熱翹曲和制動盤單腳溫升滿足6σ水平。通過穩健性優化設計后，不僅目標函數的響應波動減小而且響應分布的3σ水平落在約束界限范圍內，大大地提高了產品質量的穩定性。

為進一步驗證模態隔離值是否滿足要求，根據優化結果制造了制動盤樣品，進行了自由模態試驗，圖7為制動盤模態試驗現場，表8為制動盤有限元計算模態及試驗模態結果對比。

圖7 制動盤模態試驗現場Fig. 7 Modal test for brake disc

表8 制動盤有限元計算模態及實驗模態結果Table 8 Brake disc modes obtained by finite element method and modal testHz

從表8可以看出，優化后的制動盤模態有限元分析結果與試驗結果誤差在1%左右，在合理的誤差范圍內，這就進一步說明了優化結果的可靠性。

4 結 語

筆者將制動盤模態耦合理論、熱機耦合理論、多目標優化技術以及穩健性設計方法相結合，提出了基于響應面法的制動盤結構多目標和穩健性優化設計方法。從某制動盤的工程應用出發，明確了設計目標及優化流程，建立了以制動盤結構參數為變量，設計目標為響應的Kriging響應面模型，以此為基礎，將多目標優化算法和蒙特卡羅方法相結合，完成了某制動盤結構參數的多目標穩健性優化設計。結果表明，優化后的制動盤設計要求符合預期，性能有所提高，提出的優化設計方法可靠有效。