Copula方法在金融領域的應用

張文丑 張卓群

Copula模型是一種多元聯合分布建模工具。由于其構造靈活、能夠更好地捕捉真實經濟序列特性等優點，近年來被廣泛應用于經濟問題研究之中。具體到金融領域，Copula模型在市場相關性測度、投資組合風險度量、信用衍生品定價等方面具有突出優勢，已經成為學界和業界研究金融問題的重要定量方法。

金融時間序列特性及傳統分析困境

上個世紀八十年代之后，隨著發達國家金融市場規模不斷擴大、金融工具品種不斷創新，金融時間序列的量化研究進入新紀元。大量研究表明，金融時間序列與其他經濟序列具有顯著區別，主要表現出以下幾個特征：第一，尖峰厚尾；第二，異方差性和波動聚集。尖峰指的是金融資產收益率的實際分布相較于正態分布在中部具有更高的概率密度，厚尾指的是實際分布在左右尾部比正態分布要厚一些。發生這種現象的一個解釋是，資產收益率的變化相較于其他經濟序列數值差異過大。這種特性也表明金融市場中的交易容易獲得暴利，也容易遭受損失。異方差性指的是資產收益率的條件方差具有時變性。波動聚集指的是資產收益率出現較大波動時，通常會緊隨出現一系列較大波動；出現較小波動時，同樣可能緊隨出現一系列小波動。造成異方差性和波動聚集的一個解釋為金融時間序列存在短記性，并且受到市場景氣周期的影響。

金融時間序列的這些特性，為其分析預測帶來了困難。1982 年，Engle提出了ARCH模型，允許金融時間序列的方差在過去新息的基礎上，隨著時間變化而變化，也就是條件異方差的概念，該模型較好地解決了異方差性和波動聚集的問題。一系列衍生模型，如GARCH、EGARCH、IGARCH等相繼被創造出來，形成了GARCH族模型。Engle本人也憑借在金融時序分析領域做出的突出貢獻，與Granger共同獲得了2003年諾貝爾經濟學獎。此外，對于尖峰厚尾問題的研究成為了金融量化研究領域的熱點。顯然，依靠正態分布、t分布難以刻畫資產收益率的真實分布，也難以捕捉多個序列之間的相關關系，強行使用會產生謬誤。而基于Copula函數的建模方法為解決此類問題提供了一條可行路徑。

Copula模型的優勢

Copula的概念最早由Sklar于1959年提出，其本質上是一種連接函數，用于概率測度空間領域的相關研究之中。二十世紀七十年代，Schweizer將Copula方法逐步引入到了統計、計量領域，進一步拓展了Copula函數的研究范圍。不過由于Copula函數形式較為復雜，依靠人工計算的可行性較差，因此九十年代之前相關研究多停留在理論層面。隨著近二十年計算機的普及， Copula方法在經濟領域，特別是在金融領域的應用得到了蓬勃發展。與傳統的建模工具相比，Copula模型具有以下幾個優勢。

第一，兩步建模方法極大提升了模型的靈活性。在多元正態分布的建立過程中，首先假設每一個隨機變量的邊緣分布均服從正態分布，隨后使用相關系數矩陣刻畫相關性。顯然，這種假設既不具有靈活性，又與實際分布相差甚遠。Copula方法克服了這個缺陷。Copula模型的建立分為兩步：首先根據每個隨機變量的數據生成過程擬合邊緣分布，隨后選用適合的Copula函數將多個邊緣分布相連接，形成多元聯合分布。

第二，多種變量分布能夠較好地擬合真實時序。在第一步中，Copula模型對隨機變量的邊緣分布沒有硬性限制，可以使用正態、t、GED等多種參數分布擬合，也可以使用核密度估計等非參數方法擬合，甚至可以使用經驗分布擬合。對于金融時序來說，可以使用上述一種或多種方法組合刻畫邊緣分布，能夠較好地解決尖峰厚尾問題。在第二步中，Copula函數具有多種多樣的形式，如橢圓族Copula、阿基米德族Copula等。通過選取不同的Copula函數，可以刻畫隨機變量之間復雜的相關關系。將不同邊緣分布與不同Copula函數相組合，可以構建出多種多樣的聯合分布，能夠更有效地捕捉真實金融時序的特征。

第三，層次構建思想更為有利于拆分金融風險。兩步構建模型實際體現了層次建模思想。這種拆分使得單個資產的波動風險體現在了邊緣分布之中，資產之間相互聯動的相關性風險體現在了Copula函數之中，實現了風險的逐層分解。更有利于分析相關金融問題，有利于強化金融風險管控體系。

Copula方法在金融領域的主要應用

基于Copula模型的上述優點，目前該方法在金融領域的學術研究和實際應用方面取得了一批顯著的成果，以下將就主要的三個方向進行介紹。

第一，市場相關性測度。股市、外匯、期貨等金融市場之間存在普遍聯系，國家與國家之間的金融市場同樣相互依存。2008 年，由美國爆發的次貸危機在很短的時間內沿著資本流動路徑傳染至全球主要金融市場，引發國際金融危機。因此研究市場之間的相關性對于我國防控輸入性金融風險、保障國家金融安全具有重要意義。顯而易見，在金融市場關聯高度復雜化的今天，傳統的線性相關系數或者系數矩陣愈發趨于無效。Copula函數作為一種新的解決方案，它的一個顯著特性就是能夠捕捉隨機變量之間的非線性和非對稱相關關系。特別是能夠捕捉尾部相關關系，也就是能夠測度出當一個市場發生極端上漲或極端下跌時，其他關聯市場上漲或下跌的可能性，這對監測市場異動的發生具有重要作用。此外，近幾年一種基于二元Copula函數逐層疊加的圖模型——Vine Copula模型逐步興起。Vine Copula模型不但能夠捕捉多個市場之間的復雜關系，更能夠依據一定的路徑，刻畫市場之間相互影響的相關性結構，使得更為全面地認識市場之間的聯動成為可能。

第二，投資組合風險度量。Copula函數不但能夠測度市場間的相關性，同樣能夠測度不同資產間的相關性，這就引申出來該模型的另一重要應用——投資組合風險度量。對于機構投資者和個人投資者來說，風險度量和控制是投資過程中最重要的工作，目前國際通用的做法是計算投資組合的在險價值（VaR）。VaR指的是在一定置信水平下和一定持有期內，某一投資組合可能面臨的最大損失。目前計算VaR的主要方法有正態分布法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法等。Copula方法開辟了一條新的路徑，以兩種資產投資組合為例，其計算方法如下：首先，選取適當的邊緣分布和Copula函數對兩種資產的收益率構建最優Copula模型；其次，采用蒙特卡洛模擬技術根據選取的Copula 函數生成相關的二維隨機樣本；再次，根據各資產收益率的邊緣分布做逆概率變換，得到收益率，根據兩種資產的比重計算得到收益率樣本集；最后，根據置信水平，計算兩種資產組合收益率的樣本分位數，得到VaR。上述過程可以重復多次，直到VaR收斂為止。使用Copula函數計算資產投資組合VaR，既利用了蒙特卡洛模擬仿真的計算思想，又克服了正態分布法無法捕捉收益率尖峰厚尾特征的缺陷。在大多數投資組合VaR的度量研究中， Copula方法可以取得持平或者優于傳統方法的效果。

第三，信用衍生品定價。除了市場風險以外，金融機構面臨的另外一個重要風險是信用風險，Copula方法在此領域同樣具有用武之地。信用衍生品是上個世紀九十年代創造出來的新型信用風險管理工具，其具有分散信用風險、增強資產流動性、提升資本回報率、擴大金融市場規模、提高金融市場效率等幾方面的功效。信用衍生品的種類很多，以擔保債務憑證（CDO）為例，創始銀行取得擁有現金流的資產組合之后，將其轉移給特殊目的實體（SPE）進行分割和重新打包，以私募或公開的形式發行給投資人，進而實現信用風險的市場化配置。在CDO的定價過程中， 資產之間的違約相關性是影響CDO信用風險的主要因素。2000 年，Li提出使用Copula函數測度違約相關系數，這種方法一經提出，就得到了廣泛的應用。與傳統定價方法相比，Copula函數具有靈活易用、能夠較好刻畫資產復雜相關性等優點，保證其能夠達到同等或更為優良的定價效果。目前，基于Copula函數的信用衍生品定價在學界得到了極大的發展，出現了許多關聯研究； 在業界已經嵌入多種計量分析軟件，成為CDO定價的標準方法之一。

除了上述領域之外，Copula方法在以相關性為基礎的其他金融問題研究領域，如資產最優組合選擇、信用評級等方面，同樣具有廣闊的應用前景。值得注意的是，計量經濟模型是基于一定假設條件下對于經濟現象的高度提煉與濃縮，使用Copula方法對金融問題研究可以起到很好的量化效果，但最終利益相關者的決策不能完全依賴模型結果，需要就具體問題開展更為深入分析和研究。

（本研究得到中國社會科學院學科建設“登峰戰略”資助計劃項目“數量經濟學”資助）

（作者單位：中國社會科學院研究生院，中國社會科學院數量經濟與技術經濟研究所）