沒有想象空間的操作活動是不完美的

葉翠萍

[摘 要]公因數是一個復合概念，要建立這個概念的清晰表象，必須借助直觀。為了讓學生感知公因數的產生必要和生成過程，教學時一般由“密鋪”操作引入，但是，此活動一旦拿捏不準，就會造成直觀過度，想象不足的弊病。以兩位教師的“認識公因數和最大公因數”的教學為例，探討不同的操作活動所帶來的教學效果。

[關鍵詞]操作活動；想象空間；公因數

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0017-02

在一次市級數學教研活動中，兩位教師對同一課題“認識公因數和最大公因數”進行了同課異構教學。在介紹“公因數”概念時，兩位教師都別具匠心，精心組織了操作活動——用“小正方形密鋪長方形”，從而引導學生總結出“正方形邊長必須同時是長方形的長和寬的因數才能完美密鋪”，進而正式給公因數下定義，但是不同的活動安排帶來了不同的教學效果。

【A教師教學片段】

師：音樂室地板是一個長30dm、寬20dm的矩形，由于地磚老化，現在要進行重裝，有邊長4dm和5dm兩種規格的正方形瓷磚備選，請問哪種正方形瓷磚合適？

生（齊）：選用邊長5dm的，因為5同時可以整除20和30。

師：請動手畫一畫，模擬鋪一鋪。

（學生動手操作，在用邊長4dm的方磚密鋪時感到為難；教師組織學生交流，討論沿長排列幾塊，沿寬排列幾塊）

師：為什么邊長5dm的方磚能正好密鋪，而邊長4dm的方磚則不行？

生1：主要是30dm那條邊不能被完美分割。換言之，4不能整除30，而5既可以整除20又可以整除30。

師：除了邊長5dm的方磚，還有哪種規格的方磚也可以密鋪？畫一畫，填一填。

師：為何邊長1dm、2dm、10dm的方磚也可以做到密鋪？

生2：1、2、10和5一樣，既是20的因數又是30的因數，是20和30的公因數。

（教師由此揭示“公因數”的概念）

【B教師教學片段】

師：分別用邊長9cm和4cm的正方形紙片密鋪一個長18cm、寬12cm的長方形，觀察實驗結果。

師：為什么不可以密鋪？

生1：邊的長度要是9或者4的倍數才可以。

師：請用數據說話。

生2：9是18的因數，但不是12的因數；4是12的因數而非18的因數。

師：密鋪對邊長有著嚴格的要求。

師：什么樣的條件才能做到密鋪？

生3：小正方形的邊長要同時是18和12的因數，可以是1cm、2cm、3cm、6cm。

師：先拿邊長6cm的正方形紙片做實驗。

生4：6是12和18的公約數。

（教師用其他數據分別做實驗，訓練學生規范地表達“幾是12和18 的公約數，所以可以完美密鋪”的句式）

兩位教師的教學都經歷了“操作—驗證—思考—交流”的程序，也體現了“數形結合”的思想——借助長和寬同時完美分割密鋪來導入“公因數”的概念。現對兩位教師的處理方法進行逐一分析。

一、操作簡約化，概念更深刻

A教師組織的密鋪活動“用邊長4dm和邊長5dm的方磚密鋪長30dm、寬20dm的音樂室地板”，共計需要用到方磚35或24塊，長度差距太大，操作耗時過長。同時，操作要求是“全覆蓋”，更加浪費時間。后續提問“沿長排列幾塊，沿寬排列幾塊？”也或多或少地對公因數概念的提出產生阻撓作用。學生初步形成“公因數”的概念雛形后的第二次操作活動“還有哪些規格的方磚可以密鋪？畫一畫，填一填。”中，由于邊長1dm和邊長2dm的方磚全覆蓋時數量太多，學生糾結于塊數，而淡化了邊長，削弱了“公因數”概念的準確性。

B教師組織的活動是“分別用邊長9cm和4cm的正方形紙片密鋪長18cm、寬12cm的矩形”，邊長9cm的方片只需2塊，邊長4cm的方片只需12塊。數量少，效率高。在鋪的過程中，學生能直觀地感知到“9”可以鋪滿“長度18”而不能鋪滿“寬度12”；“4”不能鋪滿“長度18”，卻可以鋪滿“寬度12”。前后反差，集中反映出“正好鋪滿”長方形的關鍵在于“正方形的邊長是否都是長與寬的因數”。顯然，靈活應用“數形結合”的思想，就能用直觀的幾何揭示抽象的數字性質。隨后教師在學生獨立思考問題“什么規格的正方形才能正好鋪滿這個長方形？”時，組織學生嘗試用邊長6cm的正方形驗證，學生通過操作證實了自己的設想。

二、想象和表達齊頭并進

A教師的教學是通過能否鋪滿來舉證是否是公約數，但是在用“邊長1dm”和“邊長2dm”的小方塊密鋪時，學生的主要精力和思維焦點集中在算塊數上，而一個需要300塊，一個需要150塊，這樣的“操作”嚴重阻礙學生思維，很是贅余。此處可以稍加改進，讓學生選擇想象或計算的方式，探究哪些方塊可以密鋪，這樣就簡單易行，更具含金量。

在B教師的教學中，學生經歷兩次操作后，已經基本理解“公因數”概念。教師可以適時布置想象推演活動：“邊長3cm的正方形能否密鋪？請想象圖景。”“邊長2cm或1cm的正方形能否密鋪？請你邊想象邊描述。”學生憑借操作經驗可以做到合理想象、清晰思考和準確描述。交流時，教師再“由扶到放”，不斷誘導牽引，就能使學生的認識從懵懂感覺到清晰表達，實現思維和語言表達能力的雙向提升。

綜上，A教師把“操作發現”看作“揭示規律”的唯一路徑，沒有發掘學生的主觀能動性，在學生表達不規范的地方并沒有因勢利導，而是生硬轉折。B教師則把準了學習起點，操作時，將長和寬分別密鋪，凸顯了“正好鋪滿”的充分條件，而“公因數”概念的導入也正好建立在長和寬同時能夠密鋪的前提下，可以說是相當完美的操作活動。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 帥鈴鈴.借助直觀，讓概念教學更深刻——以“因數和倍數”教學為例淺談概念教學[J].科學大眾（科學教育），2017（4）：55.

[2] 周敏.淺談如何進行小學數學因數與倍數的教學[J].學周刊，2012（29）：188-189.

（責編 金 鈴）