巧妙應用滑動摩擦力與支持力的合力方向不變解題

肖秋芳

摘 要：在高中物理力學的解題過程中，經常會遇到這樣的問題：一個物體同時受到滑動摩擦力、支持力等多力（三個力以上）作用時，在第三個力作用下，改變支持力與滑動摩擦力的大小，當第三個力滿足一定大小和方向，這時第三個力出現了最小的極值問題。求解這個問題典型的做法是用三角函數求極值，而用三角函數知識解題比較繁雜，但如果巧妙應用滑動摩擦力與支持力的合力方向不變，就可以使問題簡單化，提高了解題的速度，起到事半功倍的效果。

關鍵詞：滑動摩擦力;支持力;合力方向不變;極值

滑動摩擦力Ff與接觸面的壓力FN之間的數量關系為Ff=μFN.得μ=Ff、/FN，如果把滑動摩擦力與支持力（壓力的的反作用力）合成，由于滑動摩擦力與支持力是垂直的所以他們合力必然在是以這兩個力為鄰邊的矩形的對角線上，而且合力方向不隨著滑動摩擦力

與支持力的改變而改變（如圖1），合力與支持力夾角為θ，tanθ=Ff /FN=μ，由于摩擦系數μ只取決于相互接觸的兩物體表面的材料性質及表面狀況，因而θ與摩擦力和接觸面的壓力無關。也就說當滑動摩擦力與支持力都變化了，滑動摩擦力與支持力的合力方向卻不變。這個結論在高中物理解題應用可以帶來很大的方便。

1 滑動摩擦力與支持力的合力方向不變應用在四個力的極值問題

在一個接觸面上物體同時受到了滑動摩擦力和支持力等三個力以上時，滑動摩擦力與支持力隨著第三個力的改變而改變，當第三個力滿足一定條件時求極值問題的應用[ 1 ]。

【例題1】如圖2所示，水平地面上靜止放有一質量為m的物體，物體與水平地面間的動摩擦因數為μ，用一恒力F作用在物體上使其在水平面上勻速運動的最小恒力F為多大，與水平方向夾角如何？

分析：用常規的解法，受力分析如圖2，設F與水平夾角為θ， 把F力分解為水平方向與豎直方向。

根據平衡條件有

Fsinθ+FN=mg ①

Fcosθ=Ff ②

Ff=μFN ③

聯立①、②、③式得

F=

由三角函數可得，當tanθ=μ時，F=

以上用三角函數得出結論，對學生的數學知識要求高，而且計算過程比較繁。下面用滑動摩擦力與支持力的合力方向不變求解。物體受力分析如圖3，重力，拉力F，摩擦力，支持力。先把物體受到支持力與摩擦力合成為F1。θ為支持力與合力F1的夾角，tanθ=Ff/FN，μ=Ff/FN 即μ=tanθ，摩擦力與支持力的合力F1方向是確定的，當F作用下支持力與摩擦力也隨之改變，但合力F1方向不改變。這樣原來物體受到了四個力平衡的求最小值，轉化為三個力平衡：已知一個力——重力的大小方向不變，另一個力的方向即摩擦力與支持力的合力F1方向已知，求出F最小值和方向。三個力共點力的平衡，其中F與合力F1的合力必然與G的大小相等，方向相反。F的最小值就是如圖3中，從G'點作已知F1方向垂線段。如圖即F=Gsinθ。

摩擦力與支持力的合力方向是確定的我們可省了大量的計算，給解題帶來方便。不僅應用在水平上，也可應用在斜面上。

【例題2】如圖4，質量為m的物塊在斜面上做向下勻速運動，斜面的傾角為θ=300，現在物塊上施加一個力F，圖中未畫出，使物體向上勻速運動則最小拉力及方向？

分析：一種用常規的方法設F與斜面的夾角為？滓然后根據三角函數關系求得F及夾角。計算過程復雜這里不介紹了。這里利用滑動摩擦與支持力的合力方向不變求解。首先分析在沒有受到推力作用下物塊m的平衡方程為：

FN -Gcosθ=0，

Ff -Gsinθ=0.

又Ff=μFN，解得μ=tanθ=

現在施加一個力，物體則受到是四個力，重力、支持力、滑動摩擦力、F（方向大小未知）。首先把支持力與滑動摩擦力先合成合力為F1，如圖5，根據μ=tanθ=Ff /FN，雖然滑動

動摩擦力與支持力大小都因F的改變而改變，但他們的合力為F1方向卻是定的。這樣物體就受到三個力即：重力（大小、方向確定）、F1（方向已知）、F（大小、方向未知），三力平衡由矢量三角形幾何關系可以得F是垂直于F1的垂線F方向與豎直方向夾角300向上，圖中未畫出。

當然，我們在解題過程中，經常會遇到物體受到五個力（其中兩個力是滑動摩擦力、支持力）時，求滿足一定條件的極值問題也可以應用

2 ?滑動摩擦力與支持力的合力方向不變應用在五個力極值問題

【例題3】如圖6所示，傾角為60°，高為h的粗糙絕緣斜面體ABC固定在水平地面上，一個帶負電的小球（可視為點電荷）固定在BC邊上距B點h/3高處的D點，可視為質點的帶正電的小物塊Q（質量為m）靜止于斜面底端的A點，此時小物塊Q恰好不接觸地面且與斜面間的摩擦力為0。已知小物塊Q與斜面間的動摩擦因數=，小物塊Q所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，若要拉動小物體Q，使之沿斜面向上運動，則拉力的最小值為多少？

分析：小物塊Q靜止于A點時，恰好不接觸地面與斜面的摩擦力為0，對小物塊Q受力分析且由幾何關系可知，小物塊Q所受庫侖引力F與水平面夾角為300，則沿斜面方向對小物塊Q由平衡條件得

mgsin60°=Fcos30°，解得F=mg。

小物塊Q運動時，除拉力外的受力如圖6所示，還受到四個力的作用：庫侖力，重力，支持力，滑動摩擦力。庫侖力F與重力G大小相等，且二者夾角為1200，故庫倉力與重力的合力大小為F2=mg，合力方向在重力與庫侖力的角平分線上且與重力方向夾角為60°，也與斜面垂直，所以FN大小等于F2，把小物塊Q的支持力FN與滑動摩擦力Ff合成為合力F1的方向沿水平方向而且不隨著F拉拉力的改變而改變，這樣物體受到是五個力變成了三個力即：F與G的合力F2，（大小方向是確定的），支持力與摩擦力的合力F1（方向是確定的），還有就是拉力。拉力最小值即還是處于平衡狀態，的如圖7所示，由圖解法可得，滿足拉力與F1方向垂直時，拉力最小，最小值為mgsin30°=mg。

通過上面的幾個例子，不難發現在滑動摩擦力與支持力的合力方向不變的運用，是把這兩個力化成一個方向不變的力，從而化多力（三力以上）為三個力的。也是對滑動摩擦力計算公式的理解與運用，我們課堂中要善于引導學生進行歸納總結，既可以節約時間，又提高了解題效率。培養了學生的分析、理解、概括、應用的能力。

參考文獻：

[1]張子云.一類動力極值問題的幾何解法[J].物理教師，2018.（6）