基于萊溫伯格-馬夸特的TDOA測向算法研究

侯東升,崔遜學

(陸軍炮兵防空兵學院 a.研究生管理大隊; b.六系,合肥 230031)

0 概述

近年來,隨著傳感器與通信領域的發展,基于到達時差(Time Difference of Arrival,TDOA)的聲陣列定位算法引起了廣泛關注。當輻射源距離陣列很遠時,人們難以直接通過TDOA雙曲線交叉方法精確估計輻射源坐標。但如果在不同位置分散部署多個陣列,便可以利用各陣列所接收到的信號平面波之間的時差來估計波達方向(Direction of Arrival,DOA)[1-2]。該過程計算量小、易于實現,且只要求傳感器之間滿足嚴格時間同步,因此,便于在實際中操作與應用[3]。

文獻[4]較早提出基于時差的輻射源方向問題,其設計一種線性最小二乘(Linear Least Squares,LLS)測向算法,由3個分量構成的DOA矢量估計可計算出輻射源的方位角和俯仰角。LLS算法具有簡捷、易操作的特點,且其提供的解方案是閉式的。

基于時差的測向問題最近得到較多關注,特別是在槍聲定位等公眾安全領域。如果測向陣列是固定結構,則可通過聯合建立若干個TDOA測量方程并利用三角函數關系來求解三維空間中輻射源的方位角和俯仰角[5]。當陣列結構屬于不規則拓撲形狀時,可采用文獻[4]提出的LLS算法來獲得DOA估計的閉式解。但 LLS算法的不足之處在于當TDOA測量噪聲較大時,會干擾DOA的估計結果,使算法性能下降。

如果知道輻射源現場傳播信號的速度參量,例如對于聲信號而言,通過測量現場的氣象參數,則可計算出實際聲速的估計值[6],再結合LLS算法的DOA估計結果,即通過采用一些優化方法可以直接獲得輻射源方位角和俯仰角這2個變量的估計值。文獻[7]提出采用智能優化方法來搜索得到這2個參變量的估計值,但需人工設置較多參數,不利于工程實現。

有研究結果表明,由多個到達時差測量值構成的測量方程具有非線性的特點,通常需要將其轉換為線性方程組后再進行求解。文獻[8]提出的泰勒級數展開法(以下簡稱Taylor算法)對處理非線性方程組十分有效,且操作步驟較易設計,文獻[9-10]即提供了Taylor算法的具體過程和步驟。但由文獻[11]可知,Taylor算法為局部收斂迭代算法,對初始值要求較高,迭代初始值必須接近于真實值,否則會發生局部最小化現象或者不能保證結果收斂[12]。

針對上述方法存在的問題,本文以聲音在空氣中傳播的測向問題作為應用背景,提出一種基于萊溫伯格-馬夸特(Levenberg-Marquardt,LM)[13]的測向算法。用LLS算法求出的閉式解作為LM算法的初始方位估計,通過LM算法直接求得輻射源的方位,以進行對聲源方位的高精度估計。在實驗環節將LLS算法、Taylor算法和本文提出的LM算法進行性能比較,以驗證本文LM算法的定位性能。

1 基于時差測向模型

三維空間測向問題示意圖如圖1所示。

圖1 三維空間輻射源測向示意圖

(1)

其中,3個分量kx、ky、kz分別為輻射源DOA在3個坐標軸上的單位投影。在本文中,符號上方有“^”的值為估計值或測量值,否則為真實值。

通常假定第0個傳感器為TDOA的測量基準,其位于坐標系原點,則存在如式(2)所示的TDOA測量方程。

(2)

則式(2)變為如下矩陣形式:

cτ=SK

(3)

由于真實TDOA值無法獲得,實際測量結果均存在測量誤差,用Δτ表示TDOA的測量誤差矢量,則:

(4)

傳統的LLS算法通過對式(3)進行求解,得到如下的估計結果[4]:

(5)

(6)

根據DOA在三維空間的三角函數關系,方位角和俯仰角的估計值可分別表示為:

(7)

2 LM測向算法

本文LM算法對初值的要求較低。將LLS算法的估計結果作為LM算法的初值,完全可以滿足要求。在此基礎上進行迭代運算,可以提高方位估計的精度。

將式(2)變換為:

(8)

則目標函數定義為:

(9)

(10)

將式(10)右邊取最小化,則:

(11)

為避免計算海森函數的二階信息,將式(11)化簡,結果為:

(12)

(13)

λk=λk-1/1+α

阻尼因數更新后,根據式(12)更新增長矢量,然后根據式(13)更新方位估計,循環運行該過程,直至方位估計增加矢量足夠小。

總結上述過程,可將LM算法的步驟表示為:

算法1LM測向算法

輸入傳感器數目及其坐標、TDOA測量值、迭代精度EPS

3 誤差分析

3.1 克拉姆-拉奧下界

由式(8)可得測量方程為:

(14)

(15)

通過一些數學處理可以得出費歇爾信息矩陣:

(16)

其中:

則克拉姆-拉奧下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)為:

CRLB=FIM-1(γ)=((F)TW-1(F))-1

(17)

3.2 均方差估計

命題LM算法估計結果的均方差為:

MSE(Δγ)=((h(γ)))-1

(18)

(19)

由式(17)可得:

(20)

cov(Δγ)=(h(γ))-1

(21)

將式(21)與克拉姆-拉奧下界進行比對:

cov(Δγ)= (h(γ))-1=

(c(F)T(c2W)-1(c(F)))-1=

4 實驗驗證

4.1 累積分布函數

4.1.1 參數設置

本次實驗的性能評估指標是測向誤差的累積分布函數(Cumulative Distribution Function,CDF)。CDF描述實數隨機變量的概率分布情況,其值越大,表示算法性能越好。輻射源測向誤差為輻射源的估計方向與真實方向之間的差值。模擬實驗以聲源測向為背景,具體參數設置如下:

1)采用Matlab工具,每輪蒙特卡洛模擬均運行10 000次實驗,LM算法和Taylor算法的迭代精度閾值為10-5。

2)傳感器的位置隨機部署,其x軸和y軸坐標在15 m半徑的圓形內,z軸坐標在 [-5 m,5 m]的范圍內。這與通常的聲探測野外部署條件相似,且DOA估計結果位于合理范圍內。

3)輻射源方位角與俯仰角的取值范圍均為[30°,60°]。

4)考慮傳感器數目變化,實驗分2種情形:傳感器數目較少,在[4,8]范圍內隨機選取;傳感器數目較多,在[8,12]范圍內隨機選取。

5)TDOA測量誤差服從高斯分布,不考慮測量的系統偏差問題。標準偏差在[0,20]范圍內隨機選取(單位為ms)。

6)由于LM算法和Taylor算法需要聲音的速度參量,模擬現場測量的氣象條件為:氣溫20 ℃,風速10 m/s,風向為π/3 。野外環境下氣象參數通常會隨著時間而改變,假定氣溫變化范圍為±5°,風速變化范圍為±6 m/s,風向變化范圍為±π/8 。實驗中根據文獻[6]方法計算現場聲速的估計值。

7)如果迭代后輸出的結果中包含如下情況:方位角超出其周期2π的整數倍或俯仰角超出其周期π的整數倍,則相應加上或減去若干個各自的周期值,使得估計結果位于合理的角度范圍內。否則,在統計測向誤差和精度時會產生很大的不合理偏差。

4.1.2 實驗結果

傳感器數目在[4,8]范圍內隨機選取時實驗結果如圖2所示,傳感器數目在[8,12]范圍內隨機選取時實驗結果如圖3所示。由圖2、圖3可以看出,LM算法具有最佳的性能,Taylor算法次之,LLS算法性能表現最差。另外,當傳感器數目較多時,3種算法對方位角的估計性能幾乎相同,原因是傳感器的x軸和y軸坐標均在半徑為15 m的圓內取值,較多的傳感器數目使得各算法的方位角估計性能接近一致。

圖2 傳感器數目較少時算法DOA估計誤差的CDF值

圖3 傳感器數目較多時算法DOA估計誤差的CDF值

4.2 迭代算法性能分析

本次實驗對Taylor算法和本文LM算法的不收斂率與平均迭代次數進行統計,以比較算法的性能。

傳感器數目較少時的實驗結果如表1所示,傳感器數目較多時的實驗結果如表2所示。由表1、表2可以看出,相對Taylor算法,LM算法在不收斂率及平均迭代次數上性能優越且穩定。另外,在實驗中測得傳感器數目為6時,Taylor算法不收斂率很高,主要原因是傳感器數目少,LLS算法的DOA估計結果與真實值并不很接近,而Taylor算法對初值有很高的要求,當LLS算法的DOA估計結果作為Taylor算法迭代的初值時,必然會導致Taylor算法的不收斂率增高。

表1 傳感器數目較少時算法性能比較

表2 傳感器數目較多時算法性能比較

4.3 均方根誤差

4.3.1 參數設置

本次實驗以測向的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)作為性能評估指標。RMSE描述方位估計偏差[16],能夠反映測向的精度。實驗主要參數設置如下:

1)TDOA測量誤差服從高斯分布,不考慮測量的系統偏差問題。標準偏差取值范圍為[10,20](單位為ms)。

2)傳感器數目固定為8個,當第一個傳感器坐標平移后設置為坐標原點時,一組隨機生成的陣列坐標如下:(0,0,0),(0.63,1.70,-3.45),(6.56,9.85,-6.38),(1.60,15.33,0.45),(7.66,5.28,1.55),(18.22,8.28,-5.55),(-1.96,24.40,-3.21),(14.37,11.49,1.54) (單位為m)。

3)輻射源方位角與俯仰角取值均為45°。

4.3.2 實驗結果

各算法RMSE實驗結果如圖4所示,其中,CRLB線為克拉姆-拉奧下界曲線。由圖4可以看出,在測量噪聲較高時,LM算法的性能能夠達到測向誤差的CRLB,表明其具有較高的有效性和魯棒性。

圖4 不同算法DOA估計的RMSE值

5 結束語

本文研究聲源測向問題,提出一種基于萊溫伯格-馬夸特的測向算法LM。該算法能夠較好地解決TDOA測量噪聲干擾測向精度的問題,并且避免Taylor算法對初值要求較高及結果不收斂的現象。實驗結果表明,相對LLS算法、Taylor算法,該算法性能優越,能夠達到克拉姆-拉奧下界。但在某些環境下,若聲速偏差較大會嚴重干擾本文算法的測向精度,解決該問題將是今后的研究重點。