數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)：了解“是什么”

劉開(kāi)來(lái)

似乎從懂事起，數(shù)學(xué)就伴隨在我們的左右.雖然，很多人不太喜歡數(shù)學(xué)，只覺(jué)得它抽象難懂、枯燥乏味，但是，不論大家再怎么不喜歡，它都會(huì)一直忠心地陪伴我們成長(zhǎng).在學(xué)校里，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間最多，并且如果課上講的內(nèi)容理解不夠，課后還得花大量時(shí)間去苦思冥想、艱難探索；回到家里，家長(zhǎng)關(guān)心我們時(shí)也總會(huì)問(wèn)“老師講的數(shù)學(xué)理解嗎？”“理解數(shù)學(xué)”成為我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首要任務(wù).筆者作為一名高三學(xué)生，正經(jīng)歷著高考的一輪復(fù)習(xí)，深感核心概念的理解的重要性：我們要理解數(shù)學(xué)，首先要了解其中核心概念“是什么”.本文擬以《解三角形》《數(shù)列》中三組核心概念為例，分別探索其本質(zhì).

一、正弦定理和余弦定理的本質(zhì)

新課時(shí)，我們先通過(guò)對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的歸納，得出直角三角形邊長(zhǎng)與角度的一種關(guān)系，進(jìn)而經(jīng)歷探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理；通過(guò)向量的數(shù)量積將向量等式化為數(shù)量等式，得到余弦定理.

老師這樣處理促進(jìn)了我們對(duì)正弦定理和余弦定理的“數(shù)學(xué)理解”，有利于提升我們的歸納、猜想能力，體會(huì)向量方法在解三角形中的作用，學(xué)習(xí)完這部分內(nèi)容后，我們對(duì)這兩個(gè)定理的本質(zhì)還可以認(rèn)識(shí)得更深刻些：

兩個(gè)定理均是關(guān)于邊角的等式.

本題其實(shí)還是一類典型問(wèn)題：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)？

例2 已知a，b，A，試討論△ABC解的個(gè)數(shù).

思路1 判斷三角形解的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵在于判斷“角B”的個(gè)數(shù).我們可以先通過(guò)下圖來(lái)理解所有的可能.

思路2 如果用“正弦定理”結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”定理在實(shí)際解題時(shí)，操作會(huì)簡(jiǎn)單些.以A為銳角為例：根據(jù)sin B=b/asin A，求出： sin B的值.（1）如果sin B>l，三角形解的個(gè)數(shù)為0個(gè)；（2）如果sin B=l，三角形解的個(gè)數(shù)為1個(gè)（直角三角形）；（3）如果sin B

二、等差數(shù)列和等比數(shù)列的本質(zhì)

理解“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”這兩個(gè)高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，首先要理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念“是什么”.以等差數(shù)列為例，我們可以分別從定義、通項(xiàng)公式a_n、前n項(xiàng)和S_n