HPM視域下小學數學教學的意蘊

【摘 要】HPM研究從數學史的層面來研究數學教學的內容，是站在歷史的角度來看待數學知識的發生和發展過程，感受隱藏在數學知識背后的數學的思想和方法，領悟數學文化的豐富內涵。對于兒童來講，知識的歷史順序、邏輯順序與兒童的心理發生順序相融合，對于教師來講，HPM思想可以改變其數學知識觀與教學觀。HPM視域下的小學數學教學為研史明理，促進數學知識的深層次理解；與史相融，實現小學數學課堂重構；以史為鑒，讓小學數學學習注入文化意義。

【關鍵詞】HPM；小學數學；數學教學；數學文化

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）57-0038-03

【作者簡介】張平，江蘇省張家港市金港中心小學（江蘇張家港，215633）校長，高級教師，蘇州市名教師。

就小學數學課程而言，其目標的實現與否，離不開兩個關鍵因素，教什么和怎么教（對學生而言是學什么與怎么學），從一定意義上來說，教什么又決定了怎么教。教什么的核心是如何看待知識。對數學知識的功用分析可從多個層面進行，包括邏輯學、教育學、心理學等。在眾多的層面中，筆者認為切不可忽略數學史的層面。關于數學史的教育教學價值，學術界已達成廣泛共識。尤其是成立于1972年的HPM小組（International Study Group Oil the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教育關系的國際研究群），標志著數學史與數學的研究已經成為數學教育研究的重要內容。如何將數學史有效地融入數學教學之中，進而對于數學教學的改善和課程的建設提供幫助，是HPM研究學者的重要關切。

一、HPM視域下數學教學的本源探尋

“發生教學原理”是HPM視域下數學教學的主要理論依據。“歷史發生原理”起源于德國生物學家海克爾（E.Haeckel）所提出的生物發生基本定理：“個體發育重演種族發展”。第斯多惠（F.A.W.Diesterweg）最早提出“發生教學法”，在其名著《德國教師培養指南》中，他認為之所以需要采用“發生教學法”，是因為這是所教學科興起或進入人類意識的方式。許多數學家及數學教育家對“歷史發生原理”都非常重視。克萊因（M.Klein）認為：數學史是教學的指南。弗賴登塔爾（H.Freudenthal）更是認為，“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了”。

HPM思想在數學教育中之所以得到如此的重視，從某種意義上說它不僅揭示了數學知識產生和發展的歷程，也明示了數學學習應該如何才能真正地發生。而只有當學習真正發生時，學生對數學本質的理解、數學思維的發展等數學素養才有可能得以實現。因此，在核心素養課改背景下研究HPM視域下的小學數學教學有現實意義。

二、HPM視域下小學數學教學的價值追求

HPM研究的數學教育價值，國內外數學界及數學教育界有廣泛且深入的研究。其中比較有代表性的如Tzannaki和Arcavi等提出數學史可以幫助數學教學的五大原因：（1）幫助學生學習數學；（2）對數學的本質和數學活動的發展認識，提供了新的視角；（3）提升數學教師自身的數學素養；（4）讓教師更加熱愛數學；（5）將數學視為一項文化成果。華東師范大學汪曉勤教授將HPM研究的價值概括為“知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效”。

目前，國內HPM研究應用多在中學，小學數學教學領域相對較少，這里面有客觀原因。但就價值層面來說，HPM思想對小學數學教學有著獨特的價值。

（一）立足于兒童的數學學習

學習是兒童的本能，兒童學習數學的方式是由其年齡特點和認知方式決定的。符合兒童認知規律的數學教學才能激發他們的學習興趣、探索欲望，才能激發兒童的自主發現和創造，這正是HPM思想立足于小學數學教學的本質意蘊。概括地說，HPM思想能給兒童數學學習帶來真善美的發展。

1.兒童之真在于自然。

盧梭有句名言：“大自然希望兒童在成人之前就要像兒童的樣子。如果我們打亂了這個秩序，就會造成一些早熟的果實，它們長得既不豐滿也不甜美，而且很快會腐爛。”傳統的小學數學教學注重知識傳授的效率，為了確保這種效率，知識就必須濾去其產生時的復雜和反復的歷程，呈現出一種嚴謹的、間接性的邏輯結構。這種靜態化的知識結構與兒童自然的學習本能是不相匹配的。基于HPM的教學知識的展現是其自然真實的歷程，知識的歷史順序、邏輯順序與兒童的心理發生順序相互融合。

2.兒童之善在于創造。

弗賴登塔爾說過，學習數學唯一正確的方式就是再創造。兒童天生就是一個創造者，再創造的數學學習方式順應了兒童的這種天性。基于HPM的小學數學教學，為兒童在數學學習中實現再創造提供了可能。一是明了知識產生和發展的過程和關鍵步驟，為再創造指明方向。二是了解數學史可以為再創造搭好腳手架。正如弗賴登塔爾所說，沒有必要也沒有可能將數學教學變成歷史發展過程的機械重復，但確實可以從中獲得很好的借鑒。三是HPM視域下的教學要求教師盡可能地營造合適的再創造學習環境，以激發兒童的創造欲望。

3.兒童之美在于生長。

兒童內在的心智結構決定了兒童的發展具有可能性、創造性和獨特性。傳統的小學數學教學注重知識的傳授，不僅忽略了兒童生長的特性，也掩蓋了數學知識形成過程中不斷超越和創新的本質。HPM思想的核心不僅在于揭示知識是怎么發展的，還在于引領我們更好地順應知識的歷史邏輯，只有像數學家一樣憑借數學的直覺思維，做出各種猜想，然后再加以驗證的學習方式，經歷數學再創造，建構兒童自己的數學，才能給兒童的生長以啟蒙、營養和力量。

（二）立足于小學數學教育

張景中院士認為，小學數學教學很初等，很簡單，盡管簡單，卻蘊含深刻的數學思想。如何讓簡單的小學數學知識教得不簡單，學得有深度，HPM思想就是一個很好的視角。

1.HPM思想之于教師的知識觀。

長期以來，人們對數學的印象就是一種高度抽象、結構嚴謹的演繹體系，由此，數學教學往往就變成講解數學的定義、定理到應用定理、性質來解題的單一行為，其后果就是讓小學生失去興趣，甚至厭惡、害怕學習數學。HPM視域下的數學觀不僅關注知識本身，更關注知識內隱的過程和本質，其實質正像上面所講的，把數學當做一項人類的文化成果，數學的符號、思想、理性精神和內在的美都是數學文化的特征。文化視角中的數學知識，不僅符合數學本身發展的規律，更符合學生數學核心素養的發展規律。

2.HPM思想之于教師的教學觀。

弗賴登塔爾認為存在兩種數學，一種是現成的或已經完成的數學，另一種是活動的或創新的數學，完成的數學以演繹的面目出現，給予人們的是思維的結果。活動的數學則是數學家發現和創造數學的真實過程體現。HPM視域下的小學數學教學是一種在教師指導下的學生對數學知識“再創造”或“再發現”的過程，從數學學習角度來講，也是一種對數學文化的深刻領悟下的數學知識、數學思想的深層次建構過程。

三、HPM視域下小學數學教學的踐行

HPM視域下的小學數學教學，其主要遵循的是“歷史發生原理”，但其過程不能簡單地理解為歷史的還原，而是借鑒數學知識的發生發展，再現數學本原的思想方法，并在歷史與現實之間架起一座橋梁，通過這座橋梁讓學生感受到內蘊于知識深處的文化魅力。

（一）研史明理，深刻理解數學本質

在小學數學教學中，學生經常會對一些教學內容產生疑問，如x=1是方程嗎？學習了分數為什么還要學習小數？無法回答此類問題表明教師對數學本質的理解不深刻、不系統。例如：在教學“用字母表示數”時，M老師告訴學生，當一個數不知道數值時就用字母表示。M老師的理解是“在方程里字母表示未知數”，可見，脫離了字母表示數的歷史背景，就看不清它的來龍去脈，自然也就無從體會其本質。從算術到代數，人類經歷了三個歷史階段，即文辭代數、縮略代數和符號代數，而在這其中，用字母表示數的過程，不是用字母代替具體的數量，而是把具體的數量符號化、把特殊的關系一般化的過程。因此教學“用字母表示數”的關鍵在于讓學生理解已知的量為什么還要用字母表示，理解了這一點才能真正實現從算術思維走向代數思維。

（二）與史相融，重構小學數學課堂

數學史進入數學課堂，汪曉勤教授概括了四種方式，即附加式、復制式、順應式和重構式，前面三種方式是直接或間接應用數學史的相關內容進行教學，重構式是依據知識的歷史發生原理和學生的數學基礎為基礎，通過知識情境的重組讓學生真正經歷知識的產生和創造過程。重構式的教學不是簡單地把數學史拿來，而是從數學文化的視角來展現知識的發生和發展。如在“角的認識”教學中，很多學生對“角的大小為什么與邊長無關”這個問題不理解，因為教材沒有安排討論這個問題，所以很多教師也就一帶而過，或者教師自己也沒弄清楚，這就給學生理解角的本質內涵帶來很多局限。翻開數學史，我們發現角的精確測量是以線量角，即單位圓內角的大小與其對應的弧長相關。若以此為依據來重構“角的測量”，那就可以引導學生用線（畫圓弧）測量，而以線量角的關鍵是需要對兩個角截取相同的孤長（單位圓）。這樣不僅可以讓學生創造量角的方法，而且可以理解角的大小的真正含義。

（三）以史為鑒，讓數學學習彰顯文化價值

數學本質上是一個蘊含數學文化的知識體系，它以符號系統為載體，向人們傳遞其內在的意義。小學數學的教與學，不應是數字、符號的堆砌，而應是一種在數學文化整體觀照下的知識、思想及觀念的深層次理解和建構。

如小學階段關于測量的教學，這節教師們平時不太關注的教學內容，其實充滿了豐富的文化意義和價值。我國秦朝統一度量衡成為歷史的標志性事件，大大促進了當時政治、經濟、文化的發展。測量的產生和發展源于生產生活需要，在不同的社會文化背景下，其方式方法也不盡相同，這也體現了數學文化的多元性，但測量蘊含的數學思想及文化意義卻是一致的。測量教學要讓學生在豐富的數學活動中體會測量的需要、測量工具的形成、標準的建立、計量單位的形成及發展變化，在這一過程中給予學生多元文化的熏陶，由此讓學生深刻感悟測量的定量、公度的基本思想。從某種意義上說，測量的學習也是一種文化重建，即學生在豐富的社會文化背景下，通過對相關知識及其發展脈絡的深刻理解，在不斷生成、不斷創造的過程中，自然地感悟數學文化的意義。

【參考文獻】

[1]馮振舉，曲安京.HPM視野下的數學新課程內容構成[J].課程·教材·教法，2007（09）：38-42.

[2]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：北京科學出版社，2017.