跨越認知沖突 理解數學本質

黃榮德

摘要：在小學數學教學中，教師應給予學生充分經歷認知沖突的空間，通過同化或順應兩種方式幫助學生達到認知平衡，運用“障礙式”跨越、“階梯式”跨越、“爬桿式”跨越的教學策略，引導學生跨越認知沖突，真正理解數學的本質并建構自己的知識體系。

關鍵詞：認知沖突；數學本質；形式模仿

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）07B-0064-04

當學生原有的認知結構一時不能同化、接納眼前的新知時，或新的信息與其原認知結構不相符合時，或動用、調集了全部已有的知識經驗、方法后仍不能解決面臨的問題時，他們便在心理上生成一種強烈的矛盾沖突，即認知沖突。在數學課堂上，時常有教師預設不到學生的認知沖突點，或為趕教學進度，采用回避掩蓋的方式，將學生的思維強拉到“教”的軌道，不留給學生經歷認知沖突的機會，以至于學生的“學”進入不了深度的思考狀態，流于形式地“掌握”知識點。

心理學家皮亞杰認為：“個體的認知發展是在認知不平衡時通過同化或順應兩種方式來達到認識平衡的，認知不平衡有助于學生建構自己的知識體系。”[1]因此在數學教學中，教師應給予學生充分經歷認知沖突的空間，引導學生經歷和跨越認知沖突，實現從“形式模仿”到“本質理解”的教學目的。

一、“障礙式”跨越

學生在面對一個新的數學問題時，通常會根據認知經驗來解決問題。但是學生此時的經驗是較為形式化的，當新的問題與原有經驗之間既有聯系又有著質的不同時，學生往往只會形式模仿，而忽略了問題的本質所在。

以教學蘇教版五年級上冊“小數乘整數”為例：

（1）夏天西瓜每千克0.8元，買3千克需要多少元？

（2）冬天西瓜每千克2.35元，買3千克需要多少元？

解答列式分別為：0.8×3，2.35×3。面對“0.8×3=？”這樣新的數學問題，學生根據已有的小數加減法和整數乘法的運算經驗，自然地會將0.8元轉化成8角進行計算，有的則用3個0.8相加進行計算。但當學生嘗試用豎式計算時，經驗同化的同時，形式模仿也隨之產生。

圖1是一個典型的形式模仿的例子。學生首先想到小數加法在列豎式時需要將小數點對齊，于是先將整數3添上小數點改寫成一位小數3.0，形式上完全模仿3+0.8的豎式。接下來又轉換經驗，模仿整數乘法的方法，按照整數乘法8×3算出積24，然后再回到小數加法的經驗，將計算結果的小數點和豎式中的小數點對齊，于是得到2.4。

在教學中，由于這一課時涉及的都是小數乘整數，教師往往會忽略學生的這個認知沖突點，按部就班地解釋算理：0.8是8個十分之一，8個十分之一乘3得24個十分之一，所以積是2.4。在經過了類似的一些小數乘整數的例子后，讓學生觀察乘數中的小數位數和積的小數位數，“順利”地總結出小數乘整數的計算方法：先按整數乘法的方法算出積，然后看小數乘數的位數是幾位小數，那么積就有幾位小數。至此，教師誤以為學生已經理解算理并掌握了算法。而事實上一節課下來，學生形成的錯誤經驗是：“不必這么麻煩，小數乘整數和小數加法一樣，只要對齊乘數和積的小數點就可以了”，正如圖2中學生看到的那樣，積的小數點只要和乘數的小數點對齊，那就是正確的結果，無一例外。不言而喻，看似本節課學生掌握得很好，而事實上，學生只是對原有認知的形式模仿，形成的是不完善的新認知結構。

上例中，當學生利用原有經驗對新的問題進行同化并進行形式模仿時，往往不能察覺其中的異質因素，需要教師設置一些障礙，讓學生明顯感受到原有認知結構的不完善，需要進行調整和更新，于是主動設法在新舊知識之間架起一座橋梁，從而真正理解和獲取新知，發展思維。

如圖1、圖2中，因為都是小數乘以一個一位數的整數，所以學生根據小數加減法和整數乘法的經驗進行形式模仿時沒有遇到任何障礙。而一旦將算式中的數變化一下，讓學生計算一個小數乘一個兩位數的整數，那么學生經驗中的不完善之處就暴露出來了。于是，教師在此處設置“障礙”，讓學生嘗試計算2.15×13（如圖3、圖4所示）。

顯然圖3中，學生依然是模仿小數加減法列豎式的方法，將乘數中的小數點對齊，然后將整數部分相乘，小數部分相加。而圖4中，經過老師的引導，學生已經在列豎式時將乘數的末位對齊了，也遷移了整數乘法的經驗進行計算，但是在小數點的處理上又回到了原有加法的經驗，結果中的小數點要和乘數中的小數點對齊。

在以上的嘗試計算過程中，學生的思維正經歷著一種想往前跨越的趨勢，但是因為在例題（1）中形成的不完善的認知，導致在這個變式的嘗試練習中，學生明顯感到困惑，一邊計算一邊懷疑算法的正確性。抓住這個關鍵時機，教師只要讓學生從小數的意義的角度再深入一步地討論：如果把2.15×13看作整數乘法，那是多少乘多少？215×13應該怎樣計算？三位數乘兩位數的整數乘法在計算的時候是怎樣計算的？最后再討論：得到的整數積應怎樣處理就可以得到正確的結果了呢？

一方面由于學生已有小數乘一位數的算理經驗，明確了思辨的方向；另一方面由于變式練習題比例題復雜，沒有例題中0.8×3、2.15×3與加法計算的“巧合”，此時學生確信地得出“對于小數乘整數，先按照整數乘整數的方法算出積，然后看乘數中的小數是幾位小數，得到的積就是幾位小數，最后點上小數點”的結論。

二、“階梯式”跨越

學生在對經驗進行同化和遷移的過程中，有時會遇到一些很難一步跨越的沖突點。在學生經驗的斷層處，教師需要順著學生思維行走的軌跡設計合理的階梯，讓學生在經歷沖突的過程中“拾級而上”。

如學習蘇教版三年級下冊“兩位數乘兩位數”時，學生的認知基礎是兩位數乘整十數的口算和兩三位數乘一位數的豎式計算的相關方法與經驗。面對24×12，結合情境圖（如圖5所示），學生很容易掌握口算的方法和算理。先算10箱南瓜的個數：24×10=240，再算2箱南瓜的個數：24×2=48，然后把兩部分加起來算出24箱南瓜一共的個數：240+48=288。但是在接下來的嘗試豎式計算時，有相當多的一部分學生的算法是將個位上的數字4和2相乘得8，將十位上的數字2和1相乘得2，合起來是28（如圖6所示）。在這個錯誤的計算過程中，學生直接將兩位數加兩位數的方法遷移到乘法中來，進行形式上的模仿：數位對齊，將個位和十位上的數字分別相乘，所得結果與口算結果明顯不符。

學生為什么不將口算乘法的算理和算法遷移到豎式計算中來呢？原來在這個算法中，學生思維的干擾點主要在于豎式的結構從“一層樓”到“兩層樓”的跨越：即原來兩三位數乘一位數，豎式是單層的，只要用一位數分別和兩三位數上每一位上的數相乘，而兩位數乘兩位數的豎式結構要建立兩層。對此，學生“沖突”之一是分不清兩兩相乘的順序，“沖突”之二是不知道如何將兩次相乘的結果合在一起。此時，教師需要搭建階梯，逐步引導學生在經歷從“形式模仿”到“本質理解”的過程中化解和跨越“認知沖突”。

上例中，學生根據情境圖直觀地用口算的思路和方法計算出24×12的結果，那么學生需要的階梯是將口算中的三個步驟分別轉化成豎式（如圖7所示），然后再拾級而上，將三個豎式合并成功后，再將豎式簡化（如圖8所示）。

這樣，有了圖7的這層“階梯”，學生就厘清了解題思路，然后將分解的豎式合并成圖8，順利地從“一層樓”的豎式跨越到“二層樓”的豎式（見圖9）。

顯然，當學生憑著已有的認知經驗無法直接跨越認知沖突時，通過教師搭建的階梯，能夠清晰地看到自己需要跨越的“沖突點”，進而在理解知識點本質的基礎上實現經驗的更新。

三、“爬桿式”跨越

在學生的認知結構中，對數學概念的認知往往有一種自我建構的“特有路線”。在學習一個新的數學概念時，學生常常會沿著對已有概念的認知“順桿而爬”，而在這過程中，學生也會經歷“認知沖突”。如果教師預設的“桿”符合學生的“特有路線”，那么學生的思維就能夠自然地跨越“沖突”，順“桿”而上。

如學習蘇教版三年級上冊“分數的初步認識”時，學生需要順著已有的“整數概念的認知體系”這根“桿”往上生長，即數是表示物體個數的，是“整”的，可以表示具體的量的多少。然而在實際教材中，更多的是從“部分與整體的關系”這個角度初步建立分數的概念的（如圖10所示）。

顯然，在這個新、舊知的轉折口，學生會產生比較強烈的認知沖突：把一個蛋糕平均分成2份，每份是半個，這“半個”是這個蛋糕的。學生介于這“半個”蛋糕和“這個蛋糕的”之間而認識一個跳出整數范圍的新知——分數，在接下來的教學模式中也是沿著“把一個物體平均分成若干份，其中的一份就是它的幾分之一”的思路建立對于分數的初步認識。在教學結束時，筆者向學生提問本課的收獲時，得到的最多回答是“我學會了怎樣把各種物體平均分。任何物體都是可以平均分的，平均分后都可以用分數表示”。從中可以看出，學生對于“分數與整數一樣，都是一種數，也可以表示量的多少”的認識不夠。原因在于，教師在提出分數的概念時，沒有讓學生順著原有的“認知體系桿”往上“爬”。在這樣的新知導入中，學生建立的分數概念的“胚芽”是不完善的，這樣的“胚芽”也不利于學生今后對于分數概念的進一步學習。

為此，教師需要厘清學生認知體系的“桿”：將一個蛋糕平均分成2份，每份是這個蛋糕的“一半”，是“半個”。“一半”和“半個”是學生的生活經驗，也是學生從整數體系跨越到分數體系的重要鏈接。因此，在教學一開始，教師可以順著學生頭腦中的“半個”而引出分數。從學生熟悉的整數入手，將4個月餅平均分成兩份，每份是2個，把2個月餅平均分成兩份，每份是1個，把1個月餅平均分成兩份，每份是“半個”，從整數到不能用整數表示，引出“半個”也可以用一個新的數來表示，即個（如圖11所示）。接下來，讓學生繼續自己舉例，從半個（個）繼續認識塊、根、 袋……這樣從“分數也是數，也可以表示具體量的多少”這個角度，讓學生的思維自然順著原有的認知體系的“桿”繼續往上生長，從而也自然地跨越了學生在初次接觸分數概念時的認知沖突。

教學過程本應是包容學生認知沖突不斷的過程，引導學生經歷和跨越沖突既是教學的靈魂和精髓，也是提高學生思維能力的原動力。[2]在以學生的自主探索為主旋律的數學課堂上，教師應更多地關注學生思維參與的深度，注重學生知識獲取的過程，在引導學生深度經歷認知沖突的過程中讓其自然地跨越沖突，從而使其自主完善原有認知并建立新的認知體系。

參考文獻：

[1]趙緒昌.引發學生認知沖突的教學策略[J].中學數學研究，2014（12）.

[2]陳貽勝.斷磚可為玉 點石能成金——例談數學教學中形成認知沖突的策略[J].教育實踐與研究（A）， 2011（6）.

責任編輯：李韋

Abstract： In primary school mathematics teaching， teachers should offer students enough space to go through cognitive conflicts， and by adopting the ways of assimilation and accommodation help them strike the balance of cognition. Meanwhile， teachers may employ the teaching strategies of crossing obstacles， ladders and pole-climbing to guide students to cross cognitive conflicts so that they can truly understand the essence of mathematics and construct their own system of knowledge.

Key words： cognitive conflict； mathematical essence； form imitation