數學理解：課堂教學的價值追求

【摘 要】數學理解的意義清晰可見。首先只有被學生理解了的數學，才能真正成為支撐學生今后發展的資源，也只有理解了數學的學生，才是從根本上享有了主體地位的學生；其次，教師在理念上確立了關注學生的理解，教學才能真正成為支撐學生的數學理解不斷發展的支點。可以通過目標制定要聚焦本質，內容呈現要凸顯聯系，情境創設要關注兒童，學習方式要講究多元來實現數學理解。

【關鍵詞】數學理解；課堂教學；價值追求

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）41-0028-03

【作者簡介】包靜娟，江蘇省江陰市教師發展中心（江蘇江陰，214400）小學研訓室副主任，高級教師，江蘇省數學特級教師，教育部“國培計劃”種子教師培訓專家。

一、緣起：由一道題目引發的思考

某次五年級數學期末調研中有這樣一道題目：

在給定的正方形點子圖上，找一點D（D在格點上），使四邊形ABCD是一個梯形。那么符合條件的D點的位置有（ ）個。

調研結果顯示，該題正確率僅為21.6%。高錯誤率情況的出現引發教師的熱議。追根溯源，學生平時練習的都是根據底和高求梯形面積的題目，長期的題型模仿、類型強化、技能操練僵化了學生的思維。面對陌生的問題情境，許多學生根本想不到根據梯形特征（只有一組對邊平行）分類枚舉加以解決。

審視傳統的課堂，教學內容的淺表化、學生思維的惰性化、知識結構的碎片化等現象大量存在，使學生所掌握的知識是固化的、不能遷移與缺乏彈性的，導致不能靈活地應用所學知識解決真實問題。通過“改課”推進“課改”，確立學生的主體地位，使教學真正成為支撐學生數學理解不斷發展的支點，成了數學課堂教學的必然選擇。

二、追問：數學理解之內涵意蘊

數學理解的目標指向具有雙重內涵：一是“對數學對象的理解”，理解數學的知識內容、方法技巧、思想策略等；二是“從數學的角度去理解現實”，這是一種學生內心深處更深層次的數學觀念的轉變與形成。它培養學生“用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維分析現實世界、用數學的語言表達現實世界”。數學理解性學習是一個具有目標指向，不斷建構復雜心理聯系且具有靈活遷移性的學習過程。它以數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系為本質，以生成性和發展性為特征，以重新組織為形成機制，以自主活動為形成條件。

理解性學習的層級特征顯示，理解的生成并非一蹴而就，而是一種不斷發展的層級躍遷過程。最低層級為經驗性理解，隨著學生對自身經驗性知識中的各種刺激進行整理、組織、概括與重新表征，而通達深刻的本質化認識時，此時學生的理解就達到了原理性理解的層級。理解性學習的最高層級是文化性理解，這是指對知識背后所賴以依存的人類文化的深度領悟。在《追求理解的教學設計》一書中，格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提出了數學理解的六維度理論。他認為，真正的理解可概括為以下六個方面：科學性解釋、個體性詮釋、具有洞察力、情境性應用、自我反思、移情性體驗。多維度分析啟迪我們，真正的理解是通過多個側面表現出來的。我們根據這個理論建構了數學理解性學習的層級發展過程模型，見圖1。

三、篤行：數學理解之實踐策略

教學是一個系統工程，建設數學理解性學習的課堂，需要教師從課堂教學的各要素入手，進行教學變革和改造。

1.目標——聚焦“本質”。

理解即思考。數學課堂教學要促進學生思考力的發展。課標把“數學思考”列為義務教育數學課程四大目標之一。讓學生學會思考，特別是學會獨立思考，是培養學生創新能力的核心，而學會思考的重要方面是學會數學抽象，學會邏輯推理，學會數學建模。

（1）架構思考時空。個性化的學習思考需要有充分的時間和機會。若不提供給學生思考的時間和機會，那就是鼓勵迅速的但卻是倉促且淺薄的習慣，深度的理解不可能發生。為此，在教什么的問題上要追求“更少”，聚焦數學核心知識和關鍵環節，整合小步子的教學，設計有空間的大問題，讓學生進行更深入的探究，避免在非核心知識處徘徊。“更少”須由“更高”保證。教學要關注知識的內涵本質、數學思想方法和數學學科的核心素養，激發思考的動力，學習思考的策略，提升思考的能力。

（2）培養質疑精神。反思我們的課堂，教材內容的絕對性和封閉性，教學方法的機械性和被動性，師生關系的“權威-依存”性，導致學生的問題意識、質疑精神的缺失。要促進學生思考，必須提倡對話、互動的教學方法，營造開放、民主、自由、活潑的課堂氣氛，增加課程內容的不確定性和生成性，重建學生的質疑精神和批判性思維的能力。

2.內容——凸顯“聯系”。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學教學要讓學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系”。建立聯系的目的是從不同角度審視知識，賦予知識以現實背景，使得知識節點具有“繁殖力”，最終產生一種關聯性的、內聚的知識整合力量。

（1）縱向知識的長程設計。所謂縱向知識結構關聯，就是將不同年級知識縱向聯系起來，進行長程的整體設計。例如，低年級的長度概念、長度度量單位的教學，中年級的面積概念、面積度量單位的教學，以及高年級的體積概念、體積度量單位的教學，這些知識屬于一類課，體現的是線、面、體三維空間概念和度量單位，可以進行關聯思考和整體設計。教學設計時要思考前面的課蘊伏的經驗方法，今天的課如何很好地遷移，又應該為后面的課做哪些方面的準備與滲透。這樣螺旋上升的遞進設計，能起到以少勝多的效果，更好地促進學生的理解。

（2）橫向知識的比較對照。所謂橫向知識的結構關聯，就是圍繞某一知識點用系統、整體的眼光，聯結已有概念，聯結幾何直觀，聯結生活實踐，聯結其他學科所進行的整體設計，它能促進數學理解的深度、廣度、寬度和厚度的發展。如蘇教版四下《三角形的認識》一課，認識三角形的高，可聯系學生量“身高”的生活經驗，先引出三角形水平方向的高，在此基礎上，旋轉三角形，最終抽象出三角形高的概念。畫三角形的高，可聯系學生畫點到直線的垂線段的知識。三角形穩定性的教學，可與四邊形易變形的特點進行比較。讓學生用三根固定的小棒圍三角形，發現大小形狀唯一，讓學生用四根小棒圍四邊形，大小形狀不唯一，在比較對照中，實現對知識的深度理解。

3.情境——關注“兒童”。

情境是知識的載體。最有效的學習途徑是通過最直接、最真實的經歷引發其對知識的渴求。促進數學理解的情境要貼近學生的已有經驗，瞄準學生的認知需求，體現知識的生長。

（1）制造認知沖突。哈佛大學一項追蹤數十年的案例研究表明，影響成功的最重要的因素不是認知能力的高低，而是強烈的好奇心和持續不斷的努力。學生在學習的過程中有許多真實的問題（包括數學迷思與誤解、學習困難與疑問等），教學的推進，應減少教師的“鋪路搭橋”。要抓住學生認知的困惑點、疑難處，敢于放大，有意曲折，制造認知沖突，讓學生經歷“引出、挑戰、轉換”一系列過程，讓學生見識科學概念更具解釋力和有效性，從內心真正接受并理解。

（2）促進個性化表達。一方面教師要創設開放的問題情境，為學生主動探究、深入思考，展現個性思維、發揮創造力提供舞臺。在教學蘇教版四下《確定位置》一課時，教師讓學生擔任小船長打海盜船，在“怎樣確定海盜船的位置？”這一大問題情境的引領下，學生自主探究，通過畫一畫、量一量、寫一寫的方式進行個性化表達：僅畫出一條線來確定位置，利用縮小范圍的方法，利用點與邊線的距離找交點，構建“方格圖”，利用方向角度和距離確定位置等。在全班學生的交流分享、智慧碰撞中，學生感悟到平面上點的位置用二維量化有序表達的必要性。

另一方面，課堂的常用語和常用教學行為要促進學生的思考。教師要非常清晰地對學生表明，在課堂上，學習就是要你勇敢地、自信地表明自己的不懂，主動地提出問題。可以追問：“這樣說我還不太懂，你可以再說一遍嗎？”可以探問：“我還有一個問題……”可以質疑：“答案真的是這樣嗎？”通過可視化、討論、樣例、激勵、評價等方式，鼓勵學生提出問題，建立聯系，進行個性化表達。

4.方式——講究“多元”。

兒童的學習是他們全身心地投入探索情境，在個性化的問題解決過程中廣泛聯系各種資源，形成自身獨特認知的一種“身體、認知、情感、元認知”的整合實踐。數學理解性學習的課堂學習方式講究“多元”，認真聽講、動手實踐、合作交流、自主探究……要重建教學關系，課堂教學要在師生之間，生生之間建立互動關系。問題可以來自學生，知識學生自主整理，交流可以學生自行組織……

當然，學習也不僅僅發生在課堂。教材早已不是學生的整個世界，整個世界都可以成為學生的教材。教師要具備課程意識，超越課堂的精雕細刻，拓展教育的邊界。以課程超越課堂，意味著教育價值的重塑。從關注知識與技能目標的達成，轉向關注學生的數學素養，關注學生的生命體驗。讓數學步道、數學游戲課程、數學實驗課程、數學繪本課程等拓展型課程，進一步豐富學生的數學學習，促進學生數學理解的生長。

從理念到行動，從素養到課堂，我們還有很長的路要走。重學業成績的短期功效與綜合素養長期發展的矛盾依然存在。現行的學業成績的評價方式依然制約著課堂改革的發展。課堂是每一位教師的領地，是自然的教學實驗室。想讓學生成為什么樣的人？想給學生一種怎樣的學習經歷？與每一位教師息息相關。建設數學理解性學習的課堂，教師首先要理解數學、理解學生、理解教學。多一些哲學思辨，關注自己的教學直覺，有意識地進行教學實踐，同時不斷豐厚自己的專業素養，提升自己的教學品質，在為理解而設計的道路上不斷前行！

【參考文獻】

[1]鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[2]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計[M].上海：華東師范大學出版社，2013.