基于條件極值的四邊形直角化方法研究

馬鵬剛，王永紅，周群強(qiáng)，趙寶軍，張鵬巖

（1.國(guó)家測(cè)繪地理信息局第二地形測(cè)量隊(duì)，陜西 西安 710054；2.河南大學(xué) 環(huán)境與規(guī)劃學(xué)院，河南 開封 475004）

數(shù)字地形圖是“數(shù)字城市”、“數(shù)字地球”的重要組成部分，在城市建設(shè)和規(guī)劃中起著重要作用。在大比例尺地形圖（1∶500、1∶1 000、1∶2 000）中，特定地物、建筑物、停車位、院落等均為重要要素，其屬性的準(zhǔn)確性直接影響用戶的使用情況。航空攝影測(cè)量時(shí)，由于地形條件、投影變換、采集誤差等因素，使得本來(lái)為矩形的地物要素變?yōu)橐话愕乃倪呅危瑢?dǎo)致地圖失真，為了能準(zhǔn)確反映地物要素的實(shí)際情況，需要將四邊形修正為矩形。然而，單純?nèi)斯ば拚男屎蜏?zhǔn)確度都很低，因此本文采用條件極值法，以北京地區(qū)停車位信息采集為例，利用GIS的二次開發(fā)技術(shù)編寫了自動(dòng)直角化軟件。首先提取四邊形的中點(diǎn)，以平行于長(zhǎng)邊的平行線為中線；再將四邊形旋轉(zhuǎn)，相鄰兩邊互相垂直，中點(diǎn)不變，使其保持原來(lái)的中心位置。

1 四邊形的產(chǎn)生和表現(xiàn)形式

一般情況下，野外測(cè)量或內(nèi)業(yè)采集時(shí)得到的圖形為矩形，但在進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，由于測(cè)量誤差、投影轉(zhuǎn)換、加密控制等因素，將導(dǎo)致矢量圖形發(fā)生變形，甚至位移，使得矩形變成平行四邊形[1-3]，如圖1所示。

圖1 四邊形產(chǎn)生的原因與表現(xiàn)形式

2 直角化方法

偽矩形的存在，使得地圖表達(dá)與實(shí)際情況存在差異，直角化時(shí)必須保證中點(diǎn)位置不變。目前運(yùn)用最多的方法是最小二乘法[4]，其具有技術(shù)優(yōu)化、方便快捷的優(yōu)點(diǎn)，但只是將平行四邊形簡(jiǎn)單直角化，車位位置卻發(fā)生了偏移，不能滿足采集北京地區(qū)停車位的位置和面積信息的要求。經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，將條件極值法與最小二乘法相結(jié)合，利用GIS的二次開發(fā)功能，以編程的形式開發(fā)了直角化軟件。該方法確保了圖形中點(diǎn)固定不變，長(zhǎng)邊中點(diǎn)以一定的角度旋轉(zhuǎn)，直至四邊相互垂直。

2.1 條件極值模型

在約束條件下，函數(shù)z=f(x1, x2, x3, …, xn)的陣列數(shù)為[4-5]：

令 F(x1, x2, x3, …, xn)=f(x1, x2, x3, ..., xm)+∑∮iβi(x1,x2, x3,…, xn)k∈n, ∮i∈m,分別對(duì) x1, x2, x3, …, xn求偏導(dǎo)數(shù)。要使得函數(shù)z=f(x1, x2, x3,…, xn)存在極值，則其對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)為零。根據(jù)原始陣列和偏導(dǎo)數(shù)方程可求出z=f(x1, x2, x3, …, xn)極值時(shí)的x1, x2, x3, …, xn和∮1,∮2, …,∮m。

2.2 基于條件極值的中點(diǎn)固定模型

進(jìn)行四邊形直角化時(shí)，要確保其幾何中心不變，反將其中線圍繞中點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。這種算法類似一種近似值，即直角化后矩形的四角無(wú)限接近于90°，但不為90°，如圖2a所示。首先，將原來(lái)的四邊形（紅色邊線）沿長(zhǎng)軸以A方向旋轉(zhuǎn)[5-7]，使得長(zhǎng)軸的方位角無(wú)限接近于零，則四邊形的四角將無(wú)限接近于90°，由于條件極值的數(shù)學(xué)模型為陣列式，因此其永遠(yuǎn)不能到達(dá)設(shè)定值，即紅色長(zhǎng)軸與藍(lán)色長(zhǎng)軸近似重疊，但不重疊；然后，將紅色長(zhǎng)軸沿B方向旋轉(zhuǎn)至藍(lán)色長(zhǎng)軸，使得長(zhǎng)軸的方位角無(wú)限接近于零，則四邊形的四角將無(wú)限接近于90°，由于條件極值的數(shù)學(xué)模型為陣列式，因此其永遠(yuǎn)不能到達(dá)設(shè)定值，即紅色長(zhǎng)軸與藍(lán)色長(zhǎng)軸近似重疊，但不重疊。兩種方向所得結(jié)果一致，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，因此利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將A方向（即最短距離方向）設(shè)定為旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)軸。

圖2 旋轉(zhuǎn)順序與成果

對(duì)四邊形（紅色）進(jìn)行直角化后，其相鄰兩邊相互垂直，則直角對(duì)應(yīng)的限制條件為：

當(dāng)四邊形存在非直角以及兩個(gè)長(zhǎng)軸沒有重合時(shí)，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理，將式（1）進(jìn)行線性化處理可得到四角直角化后的參數(shù)。

2.3 基于GIS的程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程

GIS的二次開發(fā)是面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)（OPP），本文以前期作業(yè)區(qū)北京地區(qū)停車位信息采集矢量數(shù)據(jù)（.mdb）為例，基于GIS的ArcObject，以Microsoft Visual Studio 2010為開發(fā)環(huán)境，以Visual Basic為開發(fā)語(yǔ)言進(jìn)行程序開發(fā)。對(duì)象（Object）為停車位，類（Class）為四邊形，繼承（Inher）為可不旋轉(zhuǎn)圖形。

圖3 四邊形直角化實(shí)現(xiàn)過(guò)程

1）將四邊形的坐標(biāo)按順時(shí)針方向排序，以中點(diǎn)為基點(diǎn)，四角分別為A、B、C、D，如圖3所示。

2）為了避免單純旋轉(zhuǎn)得到如圖2b所示的結(jié)果，即只進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而未進(jìn)行垂直處理，需計(jì)算a角的度數(shù)，并將其與90°作減法，再按照得出的角度進(jìn)行有目的的旋轉(zhuǎn)，代碼為：

//Console.WriteLine("Stand:{0},L1:{1},L2:{2},L3:{3},L4:{4},LS-L1:{5},LS-L2:{6},LS-L3:{7},LS-L4:{8}", lStand.Angle, l1.Angle, l2.Angle, l3.Angle, l4.Angle,

//lStand.Angle-l1.Angle, lStand.Angle-l2.Angle,lStand.Angle-l3.Angle, lStand.Angle-l4.Angle);

double AngleDiff1= Math.Abs(lStand.Angle-l1.Angle);

double AngleDiff2= Math.Abs(lStand.Angle-l2.Angle);

double AngleDiff3= Math.Abs(lStand.Angle-l3.Angle);

double AngleDiff4= Math.Abs(lStand.Angle-l4.Angle);

double ad1= Math.Min(AngleDiff1, AngleDiff3);

double ad2= Math.Min(AngleDiff2, AngleDiff4);

‘和軸線平行

double ParallelLineLength= 0;

‘和軸線垂直

double VerticalLine= 0;

if (ad1 ＜ ad2)//1-2 或 3-4

{

ParallelLineLength= (l1.Length + l3.Length) / 2;

VerticalLine= (l2.Length + l4.Length) / 2;

else//2-3或4-1

{ParallelLineLength= (l2.Length + l4.Length) / 2;

VerticalLine= (l1.Length + l3.Length) / 2;}

double Angle= lStand.Angle;

double HalfPi= Math.PI / 2;

PointClass cp= new PointClass();

‘沿軸線前進(jìn)一半

cp.ConstructAngleDistance(pi.Centroid, Angle,ParallelLineLength / 2);

PointClass cp1= new PointClass();

PointClass cp2= new PointClass();

PointClass cp3= new PointClass();

PointClass cp4= new PointClass();

Angle += HalfPi;

cp1.ConstructAngleDistance(cp, Angle, VerticalLine / 2);

Angle += HalfPi;

cp2.ConstructAngleDistance(cp1, Angle, ParallelLineLength);

Angle += HalfPi;

cp3.ConstructAngleDistance(cp2, Angle, VerticalLine);

Angle += HalfPi;

cp4.ConstructAngleDistance(cp3, Angle, ParallelLineLength);

/Console.WriteLine("({0},{1})({2},{3})({4},{5})({6},{7})", cp1.X,cp1.Y,cp2.X,cp2.Y,cp3.X,cp3.Y,cp4.X,cp4.Y);

‘找到每組中心點(diǎn)距離最大的兩個(gè)點(diǎn)連成直線

‘考慮只有一個(gè)圖形的極端情況

List＜ParallelogramInfo＞ lstGroupParallelogramInfo=new List＜ParallelogramInfo＞();

List＜int＞ lstOID= new List＜int＞();

do

{

‘由于存在跳躍，每次都全部遍歷

for (int i= 0; i ＜ lstParallelogramInfo.Count; i++)

{

ParallelogramInfo pi= lstParallelogramInfo[i];

if (lstOID.Contains(pi.OID))

continue;

Console.WriteLine(string.Format("{0}/{1}", lstOID.Count, lstParallelogramInfo.Count));

‘只有一個(gè)的情況

if (lstGroupParallelogramInfo.Count== 1)

‘找到每組中心點(diǎn)距離最大的兩個(gè)點(diǎn)連成直線

‘考慮只有一個(gè)圖形的極端情況

// List＜ParallelogramInfo＞ lstGroupParallelogramInfo= new List＜ParallelogramInfo＞();

// List＜int＞ lstOID= new List＜int＞();

‘由于存在跳躍，每次都全部遍歷

/ for (int i= 0; i ＜ lstParallelogramInfo.Count; i++)

3）將原始四邊形的中點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)后的四邊形（此時(shí)由于還未作垂直處理，不能稱其為矩形）定位重合。

4）已計(jì)算得到a角的值，根據(jù)角度值作垂直處理，并設(shè)計(jì)界面，代碼為：

＜Window x:Class="Revise2Rect.FrmMain"

xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"

xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"

Title="圖形校正" Height="800" Width="800" Wi ndowStartupLocation="CenterScreen" Icon="default.ico"Closing="Window_Closing"＞

＜Window.Background＞

＜LinearGradientBrush EndPoint="1,1"StartPoint="0,0"＞

＜GradientStop Color="LightBlue" Offset="0" /＞

＜GradientStop Color="LightGreen" Offset="0.5" /＞

＜GradientStop Color="#FFBE5A5A" Offset="1" /＞

＜/LinearGradientBrush＞

＜/Window.Background＞

輸出結(jié)果如圖4所示。

圖4 輸出結(jié)果

3 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)證明，本文所提出的方法對(duì)于四邊形（多邊形還未實(shí)現(xiàn)）進(jìn)行直角化的效果明顯，最終成果已無(wú)限接近矩形，避免了部分軟件直角化時(shí)產(chǎn)生的四邊形失真或中心位移問題。對(duì)于四邊形四邊較小的圖形，其邊長(zhǎng)直接影響直角化效果，四邊越接近，直角化效果越明顯。本文設(shè)定的條件極值模型能快速、簡(jiǎn)單、精準(zhǔn)地進(jìn)行直角化處理，但目前還不適用于其他多邊形的直角化。四邊形以上的多邊形直角化算法相對(duì)復(fù)雜一些，后續(xù)可根據(jù)項(xiàng)目要求繼續(xù)探討。