向量，解決問題的多面手

袁長林

什么樣的題目可以用向量解決？——向量融數、形于一體的“雙重身份”，使其廣泛應用于函數不等式、解析幾何、立體幾何等知識.我們利用向量這個工具，可以簡潔地解決數學中的許多問題，甚至物理中的一些問題.

一、解三角函數問題

平面向量與三角函數知識最容易聯系起來，特別是平面向量的加減運算、平面向量的數量積、圖形的平移等基本概念和運算，與三角函數的有關運算公式、三角函數圖象的性質有較強的聯系.

解析 本題可使用向量運算來處理.

分析 考慮到條件中的這三個角是π的七分之幾的關系，引入正七邊形，建立向量的幾何運算來處理.

解 如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進直角坐標系中，且OA→=（1，0），

二、解平面幾何問題

平面幾何中很多涉及長度、角度以及一些位置關系的問題都可以借助于“向量法”來解決.“向量法”的核心是借助于向量工具做有關運算，運算常常是代數方面的加減法、數乘、共線定理及坐標運算等.

例3 求證：直徑所對的圓周角為直角.

三、解物理問題

向量本身有著豐富的物理背景，有著精準的數學定義和運算，因此解決物理等學科中的問題也是很多的.

如，利用平行四邊形法則可以解決物理學中求合力的問題，一個拉緊的弓箭，受到兩個方向的力f₁，f₂，最終形成合力f，使箭向靶心飛行，嘗試解決以下問題：

（l）用平行四邊形法則作出弓箭所受兩個方向力f₁，f₂的合力f的示意圖；

（2）如果力f₁，f₂的大小為100N，它們的夾角為90°，它們的合力f的大小是多少？

又如，帆船是借助風帆推動船只在規定距離內競速的一項水上運動，帆船的最大動力來源是“伯努利效應”，如果一艘帆船所受“伯努利效應”產生力的效果可使船向北偏東30°，以速度20km/h行駛，而此時水的流向是正東，流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向.

研究向量在物理學中的應用時，用的是數學模型方法，就是把物理問題用數學語言加以抽象概括，再從數學角度來反映物理問題，得出關于物理問題的數學關系式，從而建立了相應的數學模型，它能清晰地反映相關物理量之間的數量關系，得出物理問題的解答.

本文僅是拋磚引玉，向量的威力很大，在我們學過的許多數學知識里都有應用，有興趣的同學可以閱讀本期的其他文章，相信還會有更多的收獲.