折射率對微角度測量系統的影響分析

楊 波，章 駿，倪江利

安徽三聯學院基礎實驗教學中心，合肥,230601

角度測量廣泛應用于多個領域，如航空航天、光機電一體化、軍事、原子力顯微鏡成像等。隨著技術水平的不斷提高，國內外相繼研究出了各種角度測量儀器，使得角度測量水平和精度在不斷地提高。但是，早期的方法不利于實現自動化測量，測量精度受限。由于穩定的光電技術的發展，應用光學測角技術越來越廣泛，具有高靈敏度、高測量精度、高分辨率等多方面的優點。目前，常用的光學測角法主要有光學內反射法、自準直法、環形激光法和激光干涉法等[1-5]。其中，傳統雙光束干涉測角法通過測量干涉條紋的移動使得測量精度和分辨率變高，從而具有更廣泛的應用。

然而，傳統的雙光束干涉測角法有較大的體積、復雜的測量結構，難以實現準直等一系列不可避免的問題。因此，研究者選擇了體積更小、光路易準直、結構更緊湊的自混合干涉測角法代替傳統的雙光束干涉測角法[6-8]。目前，已有研究者對基于激光自混合干涉測角法進行了初步的研究[9,10]。其測量原理主要是利用旋轉平面鏡測量微小角度，在平面鏡旋轉過程中光程會發生改變，由平面鏡反射的光會重新進入激光器腔內，從而產生自混合干涉。當光程每改變半個波長時，輸出光功率就會改變一個條紋，通過條紋計數法即可獲得所測角度的大小。但是，這一方法也有難以避免的問題：當平面鏡旋轉時，入射到平面鏡上的光經反射后不會沿原路返回。當旋轉角度稍大時，返回到激光器腔內的光會減少甚至沒有光返回，從而會導致自混合干涉信號變弱甚至消失。

為了解決上述問題，本文選擇了用一個直角棱鏡代替平面鏡，通過旋轉直角棱鏡進行角度測量[11,12]。由于直角棱鏡的特性，在其旋轉的過程中，無論入射角度多大，從直角棱鏡折射的光束都會與入射進直角棱鏡的光束保持平行，從而保證了在合適的旋轉角度范圍內都有光束沿原路返回到激光器腔內，產生自混合干涉信號。相比較于旋轉平面鏡測量微角度的方法，本文利用旋轉直角棱鏡進行微角度測量的系統可以獲得更高的測量分辨率和更大的測量范圍。而對于該測角系統，還可以從多個方面進行優化，進一步提高其測量分辨率和測角范圍。在曾經的研究中已經對比分析了直角棱鏡的邊長對測量結果的影響，得出了邊長越長則測量分辨率越高的結論[13]。本文主要是針對直角棱鏡的折射率這一因素進行分析，對比了幾個不同折射率的直角棱鏡在進行微角度測量過程中的結果，從而得出了在合適的范圍內，如果選擇較大折射率的直角棱鏡進行旋轉角度的測量，可以獲得更高分辨率的結論。

1 測量原理

為了更加清楚地分析和優化微角度測量系統的分辨率，研究小組設計了如圖1所示的微角度測量系統。根據之前的理論及實驗分析結果，本文選擇能獲得較高分辨率的微片激光器作為光源，從激光器射出的光束經過一個分束器分成兩路光，其中一束光經放置于轉盤上的直角棱鏡的斜面入射，在棱鏡內部經直角面兩次反射后又從斜面，即原入射面射出。經過直角棱鏡的射出光和入射光束始終保持平行，因而射出光又經平面鏡反射后可沿原光路返回，重新進入激光器腔內，和腔內的光發生自混合干涉。干涉后的光束經信號處理單元前的光電二極管檢測，接著檢測到的信號由模數轉換器轉換成可被計算機處理的數字信號。最后，通過對采集到的數據和圖形進行對比分析，經條紋計數法可以獲得直角棱鏡旋轉時的角度值。接著在該裝置的基礎上，還可以通過改變激光器，或是更換不同邊長的直角棱鏡等方式進一步地提高微角度測量系統的測量分辨率及測量范圍。

圖1 基于直角棱鏡的微角度測量系統裝置圖

圖2所示為直角棱鏡在旋轉過程中的光路變化圖。圖2(a)為直角棱鏡初始時刻，即還未轉動時刻的光路，此時轉角θ=0°。圖2(b)為直角棱鏡旋轉角度為θ時入射光和射出光的光路變化情況。根據直角棱鏡的特性可知，無論入射到棱鏡斜面的角度多大，入射光進入棱鏡內經兩個直角面反射后，又從原入射的斜面再次射出的光路和入射光路會始終保持平行，對應于圖中的ME光路和FN光路。本文的微角度測量系統正是利用了直角棱鏡的這一特性，可以保證在合適的較小范圍內的棱鏡旋轉過程中，光路都可以沿原路返回到激光器腔內，從而產生自混合干涉，大大降低了由于只通過旋轉平面鏡導致光路不能沿原路返回產生的測量誤差。由圖2中顯示的幾何關系，經過數值計算，可以得出直角棱鏡在旋轉過程中產生的光程差，如下列幾個公式所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

圖2 直角棱鏡中光路變化圖

公式(1)表示的是圖2(b)中ME的光程，公式(2)表示的是圖2(b)中直角棱鏡內部EC加CD加DF的光程，公式(3)表示的是圖2(b)中FN的光程，公式(4)表示的是直角棱鏡旋轉θ角度時的光程差。其中a指的是直角棱鏡直角邊的邊長，h指的是轉盤圓心位置到平面鏡所在位置的垂直距離，θ指的是光束進入直角棱鏡斜面的入射角，γ指的是光束進入斜面的折射角，q1指的是棱鏡AC段長度，q2指的是棱鏡OC段長度。從公式(4)中可看出，光程差的大小受直角棱鏡邊長a和折射率n的影響，其與邊長成正比關系。在優化微角度測量系統時，可以通過選擇較大邊長的直角棱鏡進一步提高測量角度的分辨率。根據已有的分析結論，研究小組選擇了直角邊邊長等于5 cm的棱鏡進行研究，但是公式中光程差與棱鏡折射率的關系無法直接看出，通過數值模擬以及選擇一定范圍內的折射率，可以獲得折射率與對應光程差的關系。

2 模擬分析

圖3中體現了棱鏡折射率與所對應光程差之間的關系。從圖中可以很明顯地看出，光程差隨著折射率的增大而逐漸增大，從而說明了利用旋轉直角棱鏡測量微角度的系統中選擇合適材料的重要性。通過光程差與條紋數之間的關系可知，光程差越大，則條紋數越多。因而折射率較大的直角棱鏡會對應較大的光程差，即對于相同的測量角度，折射率越大的直角棱鏡，在測量過程中就會出現越多的條紋數，條紋之間的間隔就越小，從而使角度測量分辨率提高。因而，在優化微角度測量系統的過程中，可以通過選擇合適的折射率較大的直角棱鏡來增加光程差，從而進一步提高系統的測量分辨率。

圖3 折射率和光程差關系圖

為了更加清楚地反應折射率對所測量角度的影響，研究小組繪制了對應于不同折射率的角度和光程差的關系圖，如圖4所示。從圖4可以看出，隨著直角棱鏡的旋轉，角度逐漸增大，光程差也隨之增大。研究中選擇了折射率分別為1.54、1.52和1.50的三種直角棱鏡進行對比分析。圖4中從上到下對應的曲線分別為折射率等于1.54、1.52和1.5的直角棱鏡在旋轉過程中角度和光程差之間的關系。對于相同的測量角度時，折射率越大的直角棱鏡，所獲得的光程差也越大。由圖4可知，隨著角度的逐漸增大，三條曲線的間距也是越來越大。說明隨著所測角度的增大，折射率越大的直角棱鏡對應的光程差增大地越快，即對應的條紋數更多、更密集。

圖4 不同折射率對于測角系統中光程差的影響

為了驗證這一結論，研究小組模擬分析了測量角度和條紋數之間的關系，結果如圖5所示。

圖5 不同折射率下的測角系統模擬信號圖

圖5為采用微片激光器作為光源的微角度測量系統的模擬信號圖。隨著直角棱鏡的旋轉，角度逐漸增大，對應的條紋數逐漸增多，通過條紋計數法，可以獲得不同條紋數對應的旋轉角度。圖5中從上到下分別是選擇折射率等于1.50、1.52和1.54的直角棱鏡在旋轉測角過程中獲得的條紋圖。從圖5中可以看出，隨著角度的增大，條紋越來越密集。并且對應于相同的測量角度時，折射率越大的直角棱鏡旋轉過程中出現的條紋數越多。例如，當測量角度為18 mrad時，折射率為1.54的圖中出現了16.5個條紋，折射率為1.52的圖5中出現了 16個條紋，而折射率為1.50的圖中只出現了15個條紋。只觀察第一個條紋的峰值所對應的測量角度可以發現，折射率為1.54的直角棱鏡對應的測量角度最小，約為3.19 mrad，而折射率為1.50的直角棱鏡所對應的角度最大，約為3.38 mrad。因此，對于折射率較大的直角棱鏡，相同的測量角度對應的條紋數更多、更密集，反之，相同的條紋數對應的測量角度卻更小，這些都說明了用折射率較大的直角棱鏡測量旋轉角度時可以獲得更大的測量分辨率。

為了更好地反映不同折射率的直角棱鏡對微角度測量系統的分辨率的影響，研究小組繪制了如圖6所示的待測角度和條紋數之間的關系圖。

圖6 待測角度和條紋數之間的關系

本文主要采用的是條紋計數法來計算直角棱鏡旋轉的角度，由于外腔長每改變半個波長，激光自混合干涉條紋就會移動一條，而光程差的改變量是外腔長變化的2倍。為了減小誤差，可以令公式(4)等于半波長的倍數，即每隔半個條紋計數一次，因此圖6橫坐標表示的是0，0.5，1，1.5…10條條紋數，縱坐標為不同條紋數對應的所測角度。此時依然選擇折射率分別為1.50、1.52和1.54三種直角棱鏡進行模擬研究，圖6中的三條曲線從上到下分別是折射率為1.50、1.52和1.54的直角棱鏡測量結果，分別對應于空心方形的點、實心圓形的點和空心三角形的點。為了更加清楚地看出這三種不同折射率的直角棱鏡對測量結果的影響，研究小組同時繪制了細節圖，如圖6左上角所示。通過放大條紋數從0.75到1.25之間三種直角棱鏡的所測結果，可以明顯地看出，從一開始折射率較小的直角棱鏡測量結果就高于折射率較大的直角棱鏡。從圖6右下角的細節圖可以看出，折射率為1.50的直角棱鏡始終最高，同時與整個圖以及左上角的細節圖進行對比可以，發現三條曲線之間的間隔隨著條紋數的增多，即所測旋轉角度的增大而逐漸增大。從細節圖中觀察可以得出，當出現的條紋數為10條時，折射率為1.50的直角棱鏡所測角度約為15.03 mrad，折射率為1.52的直角棱鏡所測角度約為14.82 mrad，而折射率為1.54的直角棱鏡所測角度約為14.64 mrad。當出現條紋數一致時，所測角度越小，就說明條紋越密集，從而說明當所測角度一致時，折射率越大的直角棱鏡對應出現的條紋數越多，條紋之間的間隔越小，分辨率也越高，這一結論與圖5保持一致。因而在優化微角度測量系統時，可以通過更換合適的更大折射率的直角棱鏡，從而進一步提高測角系統的測量分辨率。

3 結 語

本文針對基于自混合干涉的旋轉直角棱鏡測量微角度的系統，提出了進一步優化測角系統的方法。文中選定微片激光器作為光源，選擇直角邊邊長為5 cm的棱鏡作為測量旋轉微角度的關鍵元件，分析了直角棱鏡的折射率對于測量分辨率的影響。通過更換折射率分別為1.50、1.52和1.54三種不同折射率的直角棱鏡進一步對比分析了其對所測量角度的影響。當所測量角度均為18 mrad時，這三種直角棱鏡所出現的條紋數分別為15、16和16.5條。當測量角度相同時，條紋數越多，說明條紋間隔越小，分辨率越高。同時，理論模擬了出現條紋數均為10條時，三種直角棱鏡所對應的測量角度值分別為15.03 mrad、14.82 mrad和14.64 mrad，當條紋數相同時，測量角度值越小，說明條紋越密集，即測量分辨率越高。因而得出了在合適的范圍內選擇較大折射率的直角棱鏡進行微角度測量，可以獲得更大分辨率的結論。通過對折射率的影響分析，可以為接下來的微角度測量系統的研究和優化提供更好的理論基礎，同時對基于自混合干涉的其他物理量的測量與研究也有著十分重要的意義。