這組問題你能分清嗎

■山東省棗莊市第二中學(xué)　李 琳

(1)存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),求實數(shù)a的取值范圍;

(4)若對任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),求實數(shù)a的取值范圍;

(5)若對任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),求實數(shù)a的取值范圍;

(6)若對任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),求實數(shù)a的取值范圍;

(7)若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實數(shù)a的取值范圍;

(8)若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),求實數(shù)a的取值范圍;

(9)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實數(shù)a的取值范圍。

(2)解析:方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解等價于存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),故本題解法同(1)。

點評:根據(jù)方程有解求參數(shù)取值范圍,常采用分離參數(shù)法,但若給出方程解的個數(shù)求參數(shù)范圍,一般不宜用分離參數(shù)法。

(3)解析:據(jù)題意,若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),即h(x)＞a有解,故h(x)max＞a,由(1)知h(x)max=4-ln3,于是得a＜4-ln3。

點評:在求不等式中的參數(shù)范圍過程中,當(dāng)不等式中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的式子)能夠與其他變量完全分離出來并且分離后不等式其中一邊的函數(shù)的最值或值域可求時,常用分離參數(shù)法。另外要注意方程有解與不等式有解的區(qū)別,方程有解常通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題,而不等式有解常通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。

(4)解析:對任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),即x∈[0,2]時,h(x)＞a恒成立,即h(x)min＞a,由(1)可知h(x)min=0,所以a＜0。

點評:比較(3),(4)可知不等式恒成立和有解是有明顯區(qū)別的,切不可混為一談。另外,還要注意解決此類問題時參數(shù)能否取到端點值。對以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考,甄別差異:

①若f(x)值域為[m,n],則不等式f(x)≥a恒成立?a≤m,不等式f(x)≥a有解?a≤n。

②若f(x)值域為[m,n],則不等式f(x)＞a恒成立?a＜m;若f(x)值域為(m,n],則不等式f(x)＞a恒成立?a≤m。

(5)解析:由題中條件可得f(x)的值域Α=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a],若對任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),即f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

點評:(4)與(5)雖然都是不等式恒成立問題,但卻有很大的區(qū)別。(4)中不等式的左右兩端函數(shù)的自變量相同,而(5)中不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同,x1,x2的取值在[0,2]上具有任意性。

(6)解析:由(5)的解法可知對任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),即2f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

(7)解析:對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),即f(x)max＞g(x)max,由(4)可知即4＞ln3-a,所以a＞-4+ln3。

(8)解析:對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),則B?A,所以

點評:因為對f(x)值域內(nèi)的任一元素在定義域內(nèi)必存在自變量與其對應(yīng),所以對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)的充要條件是g(x2)在f(x)的值域內(nèi),因此,g(x)的值域是f(x)的值域的子集。

(9)解析:若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),則f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞ -4。

點評:請將(5)、(7)、(9)仔細(xì)對比,體味任意與存在的區(qū)別。另外,對于存在性與任意性的綜合問題可先把其中一個函數(shù)看作常數(shù),如(7)“若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2)”,可令g(x2)=M,問題轉(zhuǎn)化為“存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞M”,求出f(x)max=N,再根據(jù)“對任意x2∈[0,2],N＞g(x2)”進(jìn)行求解。