運用函數(shù)思想，妙解數(shù)列難題

曹 燁 （江蘇平潮高級中學(xué)）

數(shù)列的知識點是高中數(shù)學(xué)中較為重要的一個部分，它與高中數(shù)學(xué)中其他方面的知識點連接得十分緊密，尤其是與函數(shù)存在著相關(guān)性，在分析數(shù)列的時候，往往可以從函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像方面來研究數(shù)列的一些問題，為高中數(shù)列問題插上函數(shù)思想的翅膀，往往能夠運用函數(shù)的思想來巧妙地解決數(shù)學(xué)中遇到的一些難題。

一、演繹歸納，探究最值問題

在解決蘇教版高中數(shù)學(xué)中一些數(shù)列問題的時候，運用函數(shù)的一些性質(zhì)和特點等，就可以在解決數(shù)列難點問題時，根據(jù)函數(shù)將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，歸納演繹為進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和演算中就可以來探究數(shù)列的最值問題。

涉及數(shù)列最值問題時，我給同學(xué)們構(gòu)思了這樣的教學(xué)設(shè)計，題目是這樣說的：已知數(shù)列{an}，它的通項公式an=n2-5n-8（n∈N+），求an的最小值是多少？同學(xué)們在剛剛分析這種類型題目的時候，往往很難將數(shù)列與函數(shù)問題聯(lián)系到一起，因此在講解的過程中首先要給同學(xué)們指出的是數(shù)列an=n2-5n-8可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）=x2-5n-8，分析二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以得到二次函數(shù)（fx）=x2-5n-8在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，數(shù)列與函數(shù)的不同之處在于數(shù)列的取值范圍只取正整數(shù)，即，這樣就可以通過二次函數(shù)巧妙地將數(shù)列的最小值求出來了，即（an）min={a2，a3}=-14。通過這道題目的分析，同學(xué)們就可以了解到數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，從圖像上來直觀地看，數(shù)列就是函數(shù)上所分布的一些孤立的點。

二、比較特征，突破單調(diào)瓶頸

通過聯(lián)想和比較數(shù)列與函數(shù)的一些特性，就可以將數(shù)列的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題，運用這種手段能夠輕松地突破數(shù)列在研究單調(diào)問題時所遇到的瓶頸問題。函數(shù)的性質(zhì)是同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)列前早已熟稔于心的數(shù)學(xué)知識，在學(xué)習(xí)數(shù)列或者做數(shù)列的相關(guān)練習(xí)題的時候，教師不斷地引導(dǎo)同學(xué)們將新知識與所學(xué)過的知識進(jìn)行比較和聯(lián)想，在舊知識的基礎(chǔ)上不斷地進(jìn)行對于新知識的引申和發(fā)展，就能夠鍛煉同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力，然后遇到數(shù)列中所涉及的關(guān)于單調(diào)性的難題就可以迎刃而解了。

關(guān)于數(shù)列單調(diào)性問題，我在教學(xué)設(shè)計中出了這樣的一道題目：已知數(shù)列的通項公式an=n2+λn，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍是什么？在看到這道題目的時候大部分同學(xué)的反應(yīng)是懵著的狀態(tài)，在引導(dǎo)學(xué)生處理這道題目的時候可以從函數(shù)單調(diào)性中的對稱軸方面的思路進(jìn)行解答，也可以在研究單調(diào)性后從拐點方面解答。由已知條件{an}為遞增數(shù)列，化解式子 an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ＞0，因為對于所有的正整數(shù)都成立，所以對于λ＞-2n-1這個式子恒成立，只需要得到λ＞（-2n-1）max，然后我請同學(xué)們解這個不等式，得到λ＞-3。對于這種題目的解法就是將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化函數(shù)問題，根據(jù)二次函數(shù)在上[1，+∞）的單調(diào)性問題，然后結(jié)合不等式以及解不等式就可以求解出所求的未知數(shù)的取值范圍。這樣，利用二次函數(shù)的知識就可以巧妙地突破數(shù)列單調(diào)的瓶頸問題。

三、多元轉(zhuǎn)化，尋覓周期規(guī)律

數(shù)列其實就是一種特殊的函數(shù)，因此在研究數(shù)列問題的時候，比如涉及數(shù)列周期問題的時候，教師就可以不斷地引導(dǎo)同學(xué)們運用函數(shù)的觀點來解決問題，很多函數(shù)都是具有周期性的。通過函數(shù)的觀點來指導(dǎo)數(shù)列，不僅可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識到在高中數(shù)學(xué)中所學(xué)到的數(shù)列的本質(zhì)問題，還能在解決數(shù)學(xué)周期問題時借助函數(shù)思想和觀點來解決數(shù)列問題，這是高考命題中著力立意的主要思想，將數(shù)列涉及到周期性的問題進(jìn)行多元的轉(zhuǎn)化，就可以尋覓函數(shù)周期規(guī)律作為切入口解決問題。

在幫助同學(xué)們解決數(shù)列周期性問題的時候，我將其與函數(shù)問題做了相關(guān)的多元轉(zhuǎn)化，其中我?guī)椭瑢W(xué)們設(shè)計了這樣一道題目：數(shù)列{an}的通項公式，它的前項和n為Sn:，請學(xué)生們回答S2014:等于多少？要想解決這道題目的話，需要逐步地引導(dǎo)同學(xué)們先將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，根據(jù)數(shù)列的通項公式可以得到函數(shù)的解析式，然后可以判斷根據(jù)數(shù)列轉(zhuǎn)化的函數(shù)屬于三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的周期性，可以得到周期T=4，這樣的話可以得到：S2014:=4×503+1=2013。對于這種類型的題目，我們可以從題目中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項能夠轉(zhuǎn)化為有關(guān)的函數(shù)，這樣在構(gòu)造了函數(shù)以后，可以根據(jù)函數(shù)的周期性來解決在數(shù)列中遇到的難點問題。教師在解決這類型的題目的時候，可以不斷地引導(dǎo)學(xué)生架起數(shù)列和函數(shù)的橋梁。