二次函數在生活中的應用

文 /鄧革周

二次函數在生活中的應用，主要涉及到商品利潤、幾何圖形的最值和判斷說理等方面.下面舉數例加以說明，供你學習時參考.

一、拋物線形問題

例1某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖1所示，以水平方向為x軸、噴水池中心為原點建立直角坐標系．

（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式；

（2）王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅必須站在離水池中心多少米以內？

（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度．

解：（1）設水柱所在拋物線（第一象限部分）的解析式為y=a（x-3）2+5（a≠0），

將（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得

圖1

25a+5＝0，

（2）當y=1.8時，有

解得x1=-1（舍去），x2=7，

∴王師傅必須站在離水池中心7米以內．

（3）當x=0時

∵ 該函數圖象過點（16，0），

解得b=3，

點評：利用二次函數解決拋物線形的噴泉、隧道、大橋和拱門等實際問題時，要把實際問題中的數據轉化為拋物線上的點，從而確定解析式，通過解析式去解決問題．

二、商品利潤問題

例2“揚州漆器”名揚天下，某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如圖2所示．

圖2

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）如果規定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？

圖3

（3）該網店店主熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍．

分析：（1）可用待定系數法確定y與x之間的函數關系式；

（2）根據“利潤＝銷售量×單件的利潤”，結合（1）中的函數關系式，求出利潤和銷售單價之間的關系式，根據函數性質來求最大利潤；

（3）建立利潤w與x的函數關系式，進而利用所獲利潤等于3600元時，求出對應x的值，根據增減性，求出x的取值范圍．

解：（1）設y=kx+b.

∴y=-10x+700.

（2）由題意，得

-10x+700≥240，

解得x≤46.

設利潤為w，則w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700），

w=-10x2+1000x-21 000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴當x＜50時，w隨x的增大而增大，

∴ 當x=46時，w最大=-10（46-50）2+4000=3840.

答：當銷售單價為46元時，每天的利潤最大，最大利潤是3840元.

（3）w-150=-10x2+1000x-21 000-150=3600，

-10（x-50）2=-250，

x-50=±5，

x1=55，x2=45，

如圖3所示，由圖象得

當45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元．

點評：在生產經營活動中，經常會遇到求最大利潤、最大銷量等問題．解此類題的關鍵是確定二次函數的解析式，根據函數性質確定其最大值.自變量x的取值要使實際問題有意義．如本題第（2）題，如果不注意自變量的取值范圍，將x=50代入求最值就錯了.

三、判斷說理問題

例3某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠墻（墻足夠長），已知建筑材料可建圍墻50m．設飼養室長為x（m），占地面積為y（m2）．

（1）如圖4，問飼養室長x為多少時，占地面積y最大？

（2）如圖5，現要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養室的占地面積最大.小敏說：“只要飼養室長比（1）中的長多2m就行了.”請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確．

圖4

圖5

解析：（1）∵飼養室長xm，

∴當x=25時，占地面積最大.

飼養室長為25m時，占地面積y最大.

（2）∵飼養室長xm，中間位置留2m寬的門，

∴當x=26時，占地面積最大.

飼養室長為26m時，占地面積y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的說法不正確．

點評：解一邊靠墻圍矩形場地的面積問題，用自變量表示矩形的長和寬，根據矩形的面積公式得出函數關系式是解題的關鍵.在幾何圖形中,二次函數問題常見的有：面積的最值、用料的最佳方案以及動態幾何中的最值.