探究數學抽象概念活動經驗的累積
——以蘇教版二下《有余數的除法》的教學為例

江蘇省常州市金壇區華城實驗小學 賀 偉

探究是以問題為導向的學習過程，也是一項重要的學習技能。2011版新課標指出：“數學活動經驗的是在‘做’的過程中累積出來的”。獲得數學活動經驗不僅要重視“做”，也要重視“累積”，不僅僅是“做”的累積，也是在“做”的過程中不斷“思考”的累積。因此，在具體教學中，加強探究活動的設計，不但要為學生創造動手體驗的操作空間，也要創設引導學生總結歸納的思維空間，讓學生經歷數學模型構建的全過程。下面以蘇教版二年級下冊《有余數的除法》的教學為例，談談自己的一些實踐和思考。

【片段1】創設問題情境，在行為操作中獲取直觀經驗

1.提出問題，構建探究基礎

2.歸納分類，建立數學概念

3.引導遷移，形成數學思維

課堂初始引導階段，教師結合學生的生活創設情境——平均分文具，學生會根據自己的生活經驗，在頭腦中涌現出怎么給大家平均分的具體操作方法。學生能夠自由地調用已有的數學知識和生活經驗將10支鉛筆平均分一分。緊接著，教師又組織學生嘗試解決新問題“10支鉛筆，如果每人分3支、4支、5支，分別分給幾人呢？”學生在動手操作中發現，每人分3支、每人分4支，都有“多余”，有的“還剩1支”，有的“還剩2支”，從而隊余數獲得初步的感性認識和直接體驗。學生在自己的實際操作和互相爭論交流中，讓“余數”這個概念逐漸成為一個看得見、摸得著、數得清的東西，初步建立起余數概念，“有余數的除法”的含義也在平均分的知識基礎上悄然萌芽。

接著，老師鼓勵他們嘗試用除法算式來表示“像這樣分了有剩余”的除法，學生自由想出了四種書寫方式來表示“有剩余”的除法算式：第一種是10÷3=3（人），或10÷3=1（人）；第二種是9÷3=3（人）；第三種是10÷3=3（人）（剩1支）；第四種是10÷3=3……1。盡管學生書寫的格式和方法有的是錯誤的，但是教師并沒有簡單地予以否定或不理睬，而是組織學生充分交流自己的想法和觀點，充分暴露每個學生的原始思維狀態。不僅幫助學生建立了正確直觀經驗，也讓學生感知和體驗了經驗不斷完善的過程。在這個過程中，學生的行為操作和思維操作相輔相成，缺一不可。

【片段2】融入抽象概念，在思維操作中形成數學經驗

1.操作觀察，感知數學經驗

課件出示表格：

學生分小組擺放，進行全班交流。并根據學生交流填寫好表格。

2.推理猜想，形成數學經驗

3.操作驗證，鞏固數學經驗

大家拿出小棒自己驗證一下，可以擺放任意一個圖形，看看是不是這個結果。

學生操作。交流（你擺的什么圖形，每個圖形用了幾根小棒，剩下的不能超過幾根）

師總結：余數要比除數小。余數不能等于除數，等于除數就能再除1次。當然余數更不能大于除數。

蘇聯教育家阿莫納什維利指出：“兒童單靠動腦，只能理解和掌握知識，如果加上動手，他會明白知識的實際意義，如果再加上心靈的力量——認識的所有大門都將在他的面前敞開，知識將成為他能動地改造和創造的工具。”低年級學生的思維主要是以形象為主，需要借助直觀的操作觀察、直接的實踐體驗才能建立更豐富、更深刻的概念。課中教師組織學生動手操作探索：“用4根小棒擺1個正方形，8根小棒可以擺幾個正方形？”“像這樣用12、13、14、15或16根小棒擺正方形，結果會怎樣？”學生的思維在操作中獲得直觀的經驗支撐，認識在比較中趨于正確和深刻。接著通過比較分析綜合概括，得出“剩下小棒的根數是1根、2根、3根”的結論。學生根據經由具體操作活動得到的清晰表象展開聯想，有了“余數都不可能超過3”的結論，從而逐步抽象出“余數要比除數小”的概念。這樣的數學活動經驗是具體的、豐富的，抽象思維是整體的、深刻的。

學生經歷了多次的操作、觀察、比較、分析，逐步抽象概括，得出有余數除法的本質特征“余數要比除數小”。然后再通過五邊形，六邊形這樣的猜想和驗證，加深和鞏固這種數學經驗，同時也幫助學生形成數學概念是需要猜想、驗證的數學思維方式。不僅在數學知識體系構建上達到較好的效果，也給學生傳遞了一種學習的態度和方法。

【片段3】鞏固拓展延伸，在解決問題中運用數學經驗

出示思考題：

1.有一堆月餅，平均分成了若干盒，還剩4塊。可能分成了多少盒？你又是怎么想的？

指出：用月餅總數除以盒子數。余數是4塊，余數要比除數小，除數必須大于余數，所以每盒可以裝5，6，7，8，比4大的都可以。

2.有一堆月餅，平均分成了若干盒，還剩4塊。每盒可能裝了多少塊？你是怎么想的？

指出：用月餅總數除以盒子數，得到的商是每盒多少塊。但是商和余數沒有關系。因此可以是任何塊數。

從教學目的來看，本課主要是讓學生認識余數，理解有余數的除法，難點主要是讓學生能夠突破余數要比除數小這樣一個抽象的數學概念，從具體問題入手，引導學生進行具體的操作，讓學生從操作進行猜想，再通過操作進行驗證，這樣一個認知過程，逐漸將學生的操作從行為層面過渡到思維層面，又從思維層面回歸操作層面，把抽象概念的形成，具體到一個個操作的生成中，并不斷通過操作鞏固印象，讓探究經驗不斷累積，逐漸內化，完成直觀經驗向數學經驗的轉變。