多角度去解一道求最值的問題

河南師范大學附屬中學 趙昱辰

題目：已知實數a、b、c滿足a+b+c=0，且a2+b2+c2=1，求a的最大值。

一、基本不等式的角度

解法1：由a+b+c=0得a=-（b+c），將該式子兩邊同時平方得：b2+c2+2bc=a2①，將①式代入a2+b2+c2=1中得：2bc=2a2-1，對于實數b、c，滿足b2+c2≥2bc，即1-a2≥2bc=2a2-1，解得

解 法2： 將a+b+c=0平 方 得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0，由a2+b2+c2=1得：1+2ab+2bc+2ac=0， 將c=-（b+a） 代 入 整理并化簡消元 得：2a2-1=-2b（a+b）， 由 于 -2b（a+b）=2[-b當a=-2b=-2c時，等號成立），即2a2故a的最大值為

二、方程的角度

解法3：由a+b+c=0可知c=-（b+a），代入a2+b2+c2=1，整理化簡消去c得方程：2b2+2ab+2a2-1=0，該方程可以看作是關于b的一元二次方程，該方程有根，由判別式解得

解法4：由a+b+c=0，移項得：b+c=-a，代入a2+b2+c2=1得：，繼續變形整理為：，由韋達定理知，有兩根，滿足判別式故a的最大值為

三、三角函數的角度

解法5：由a2+b2+c2=1變形得：b2+c2=1-a2，由同名三角函數關系式可知，

四、向量的角度

解法6：對a+b+c=0變形得：b+c=-a，設向量根據向量的運算性質

五、幾何的角度

解法7：用x、y取代b、c，即x+y+a=0，x2+y2=1-a2，可知點（x,y）既在直線x+y+a=0上，又在圓x2+y2=1-a2上，可以說明，直線和圓有公共點，從直線與圓的位置關系來看，直線與圓相切或相交，即圓心O到直線的距離d不大于圓的半徑，所以d≤r。因此故a的最大值

【心得體會】

1.以上幾種解法各有千秋，該題題干短小，但其中蘊涵的知識卻可以進行多角度、多層級的挖掘，筆者最大的感悟是對題目進行不同的轉化和巧妙的變形是解決此題的關鍵，這7種解題方法近乎涵蓋了高中數學大部分的解題思想，其中，函數與方程的思想運用其中，使得思維的層次性和深刻性更勝一籌，而后幾種方法是通過將純代數問題過渡到了幾何問題中來，是把抽象思維與形象思維有機地聯系起來，使思路與解法順理成章，水到渠成，清晰明了。此外，根據題設條件形式的特殊性，借花獻佛，將向量、解三角形、空間幾何等獨特思維方式引入其中，這種返璞歸真的處理方式值得我們借鑒學習。

2.該題雖然解題方法很多，但是每一種方法所采用的都是常規性知識點，從不同角度體現了數學的魅力所在，其中，基本不等式和向量起到了工具性的作用，值得提倡。此外，通過此題多角度求解，我們能從中學到轉換策略、函數與方程的精髓，從而得出一樣的結論，可以加深我們對教材和知識的理解,同時提高學習能力和學習興趣。

（指導老師：毋曉迪）

[1]劉永生．數學競賽與數學思維的發展[D]．華中師范大學，2004．