在解題后的反思中塑造創新能力

陳志山

摘 要 解題后的反思是一種高層次的數學創新活動，是數學活動的動力。在教學中教師有必要引導學生養成解題后的反思習慣，以便于解題能力和思維品質在更深和更高層次得到有效提高和升華，提高學習效率，塑造創新能力。為此本文擬就從反思解題的結果、反思解題方法、反思解題規律、反思解題的推廣等主要方面由表及里逐一加以闡述，充分揭示其中的指導方法和重要意義。關鍵詞 結果；方法；規律；推廣中圖分類號：B025.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）10-0214-02 數學家、教育家弗賴登塔爾說過：“反思是數學創造性思維的重要表現，它是一種高層次的數學創新活動，是數學活動的動力。”然而教學過程中經常發現，大多數學生對一道題目求得答案后就自認為大功告成，很少有學生會再對題目本身的命題及其他方面進行解題后的反思，以致于解題能力和思維品質未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。因此在教學中教師有必要對學生進行解題后反思方面的指導，讓學生養成反思的習慣，通過反思，加深對解題過程和結論的認識，積累經驗，提高學習效率，塑造創新能力，形成良好的學習方法。一、在解題結果反思中，完善思維品質在解題時不少同學只滿足于一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出。這種錯誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴重蛀蝕著學生的思維品質，影響學生解題能力的提高。因此，教師應不失時機引導學生反思結果是否符合題意、結果是否全面。提高辨析解題錯誤的能力，努力克服在做題中的不足之處和不良習慣，熟練掌握解題技巧。例1：先化簡： 再選取一個適當的x值代入求值。學生解答如下：原式= = 選x=1時，原式= 適時引導學生反思結果是否符合題意，學生觀察、討論，發現錯誤原因：x=1使分式的分母為0。進而得到正確的答案。通過對結果的反思，一方面可以確保答案準確無誤，另一方面可以發現個人知識和思維方法上的薄弱環節，從而提高思維的嚴謹性。二、在解題方法反思中，拓展創新能力很多數學試題有多種解法，解題后要從多角度，分析、思考是否還有其他解法，可以開拓思路，防止思維定勢，從而使思路更具創造性。例2：如圖1，BC是半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，AB（⌒）=AF（⌒），BF和AD交于點E，求證：AE=BE。證法1：連結AB、AC（如圖2）∵BC是半圓O的直徑∴∠2+∠CAD=90°而∠C+∠CAD=90°∴∠2=∠C又AB（⌒）=AF（⌒）∴∠1=∠C∴∠1=∠2∴AE=BE解完后，讓學生反思：還有其他解法嗎？學生通過觀察、分析、討論，發現：證法2：連結AB、AF、FC（如圖3）則有AB=AF，∠BFC=∠ADC=90°，于是∠DEF=180°-∠C，而∠BAF=180°-∠C∴∠BAF=∠DEF，又∠BAF=∠2+∠EAF，∠DEF=∠3+∠EAF，∴∠2=∠3又∵AB（⌒）=AF（⌒）∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，故AE=BE，證法3：若聯想到垂徑定理，就可補畫出整個⊙O。連結AB，延長AD交⊙O于M（如圖4）可得AB（⌒）=AF（⌒）=BM（⌒），易證∠1=∠A，就得AE=BE通過對解題方法的反思，引導學生對于同一問題，從不同角度去觀察、思考、聯想，可得到解題的不同途徑，從而拓寬學生的眼界，溝通知識之間的縱橫聯系，發揮學生自身的潛能，培養學生思維的靈活性、廣闊性。三、在解題規律反思中，培養建構能力解完題后反思其中的解題規律，可使學生觸類旁通、舉一反三，達到事半功倍的效果，更可增強思維深刻性、培養知識重組能力。例3：如圖5，點C是AB為直徑的圓外一點，CA、CB交⊙O于D、E，若DE= ，AB= ，試求∠C的度數。解：連結AE∵ABED是圓內接四邊形∴∠CDE=∠B又∵∠C=∠C∴△CDE∽△CBA∴ ∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=∠AEC=90°∴ 從而∠C=60°然后讓學生思考如下問題：（1）如圖6，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AC、BD交于點P，若CD=5，AB=13，求cos∠BPC的值。（2）如圖7，在⊙O中，AB是直徑，P在BA的延長線上，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，已知PA=5，PC=10，試求：tg∠ACD的值。如果只讓學生解這兩題便失去編擬的意義，教師應引導學生反思這一組題的解題規律，充分讓學生討論、總結得出規律：對某個角的三角函數的求解，可通過尋找直角三角形，轉化為線段比，再利用相似三角形來實現。在教學時，也可以先解一題，然后讓學生反思并舉出與之解法相同但形式不同的題目，從而掌握一類題的規律。四、在解題后的推廣反思中，加強探究能力當一個問題解決后，引導學生從多個側面、多個角度進行合理的發散反思，學生必然會感到別開生面，思路將被開闊起來，創新意識也將得到培養。例4：如圖8，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12 cm，高AD=8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？解題之后可引導學生反思，觀察、分析題目作一步的變化：變式1：如圖9，若把銳角三角形ABC改為直角三角形ABC，邊BC=12 cm，AC=8 cm。把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？變式2：如圖9，一塊材料的形狀是直角三角形ABC，邊BC=12 cm，AC=8 cm。把它加工成正方形零件，如何加工可使正方形零件的面積最大？變式3：如圖10，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12 cm，高AD=8 cm。四邊形MNQP是三角形的內接矩形，矩形的邊PQ：MP=2：1，求這個矩形的邊長？變式4：如圖10，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12 cm，高AD=8 cm。四邊形MNQP是三角形的內接矩形，設PQ長為 cm，求矩形面積 關于 的函數關系式，并求矩形面積的最大值，此時點P在何處。根據題目的內容和學生的認知水平，對原題中的已知條件和結論進行多方位、多角度演變、拓展、延伸，將知識靈活的輻射出去，做到以點帶線，形成題網。這樣不僅可以溝通知識間的相互聯系，而且更重要的是可培養學生良好的思維品質，促進其創新能力的發展。孔子云：“學而不思則罔，思而不學則殆。”養成解題后的反思習慣，一方面能使學生學會審題，學會檢查，學會多角度思考，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性、創造性，從而大大提高創新能力；另一方面，也可以為學生獲得終身受用的基礎能力和創造才能奠定基礎。參考文獻：[1]郭浩潮.在“圓的有關性質”中培養學生的探索精神.中小學數學（初中），2004（1、2）.