經驗為鑰，打開思維通透的鎖

白晶

【摘要】學習的過程就是學生生活和數學基本活動經驗的生長和改造，學生從經驗中產生問題，因問題而激發他們去探索，從而產生新的思想。本文結合《加、減法的意義和各部分間關系》的課例來探討如何有效幫助學生積累或獲取數學活動經驗，追溯始末，理性剖析，探尋行之有效的教學智慧。

【關鍵詞】數學基本活動經驗 經歷 數學化過程

【研究的問題】

《加、減法的意義和各部分間關系》的教學是一堂半新不舊的概念課。說它“舊”，學生從一年級開始就學習了加、減法，對加、減法的認識積累了豐富的感性經驗。說它“新”，對認識加、減法意義的本質，學生還存在著很大的距離。常態課堂上大家都十分納悶，學生都會算，怎么就是說不清楚？一節看似簡單的數運算概念課，四年級的學生卻不樂意運用加、減法意義去分析問題。

本案例旨在通過研究，大量地嘗試讓學生去說，給學生去試，引學生去想，放手讓學生去概括，去辨析。在充分暴露學生數學前概念的“原初思維”的基礎上，順勢從他們已有的經驗出發，將錯誤的經驗撥亂反正，將片面的經驗趨向完整，將缺失的經驗逐步充盈，從而主動構建起屬于學生自己的數學。在這節概念課里，如何調動學生頭腦中數學活動經驗的“生長力量”，內化概念，重組與建構新知，讓學生的思維“遇見”通透之境？

【關鍵環節研究實踐描述】

一、課前調研，明其跡

達克沃斯在《精彩觀念的誕生》一書中說，任何年齡階段、任何發展水平的任何學生，都是帶著自己的觀念進入教學過程的，因此，教學的首要任務是傾聽學生自己的觀念。暴露是為了更好地從學生已有觀念入手，在學生認知的矛盾處用力，讓思維通透順暢，走向深處。對此，我們對兩所實驗校的四年級學生進行了抽樣訪談。（以下A類學生為城區學校的學生，B類為城鄉交接地段學校的學生）

（一）看“數”聯想，調研A類學生

師：給你三個數，你們能發現它們之間有什么聯系嗎？請你選擇其中兩個數，編一道數學問題，并說說已知什么，求什么。（教師出示：5、2和7）

師：具體說說已知了什么？要求什么？

從A類同學的訪談中發現，學生們能發現數與數之間的聯系，能根據“數的分合”來認識加法和減法。但在根據數據編題環節，學生們大多是結合生活情境去設計加減法問題，思考路徑主要是順向關聯。如“已知還剩部分和用去部分，求總數”“已知總數和剩下部分，求用去部分”等這類逆向思維的加、減法問題卻很少有學生提出。

（二）猜“數”游戲，調研B類學生

師：老師這里有兩張數卡（背面朝上），告訴你們卡片上的兩個數相加，和是36，你能知道卡片正面到底是數幾嗎？

B類學生們雖然不能像A類學生那樣積極調動原有對加、減法的認知經驗去靈活處理問題，但他們對加、減法之間的聯系有一定的理解和把握，會根據具體的數學情境去選擇加或減法來解決實際問題。

通過對兩類同學的訪談，可大體把握四年級現有學生對加、減法認識的水平，學生們對有關加、減法認識有一定的基礎，以往學習的“數的分合”“一圖四式”等數學經驗能正遷移引導學生探究加、減法各部分之間的關系。學生頭腦中具備根據具體問題情境對“為什么用加法（減法）算？”的說理能力，但要鼓勵學生從一般問題中去比較、概括加、減法的意義。因此，充分的課前調研讓我們基本確定了教學路徑：首先尊重學生對加、減法知識最樸實的認知狀態，讓學生用自己的語言嘗試描述他們頭腦中對加法或減法的認識，追溯原生態的認知起點；再為學生提供有關加、減法知識產生的真實生活背景，激活思維，打通學習內容與已有知識和經驗的聯系，通過環環相扣的問題活動，逐步幫助學生擺脫對象的直觀和具體內容，用數學的思維方式將豐富的“生活原料”由博返約，找到知識間的關聯，經歷數學化的比較與概括，從而內化概念，直追本質。

二、教材加工，暢其徑

人教版教材選用“青藏鐵路”這個享譽世界的偉大工程來引出本課教學，不僅開闊了學生的數學文化視野，而且還考慮到數據雖大卻不涉及“進位加”和“退位減”，排除學生計算障礙，引發學生更好地由“加”遷移到“減”，從而凸顯加減法之間的聯系，展開說理。其良苦用心真是可見一斑。

但這個數學素材對于學生而言，還是十分陌生。如何用好、用足教學素材，服務于數學概念的理解和掌握，是我們致力精專的事情。對此，我們大量瀏覽與收集有關“青藏鐵路”的資料，從中提取有效信息激活學生的“前概念”經驗，對教材進行了如下加工：

1.增加介紹青藏鐵路的微視頻，簡要介紹青藏鐵路的修建背景、工程意義等，讓學生了解其社會價值，為后續新課的展開埋好伏筆。

2.調整例題編排，給更多學生自主探究的空間。

在原有教材例題編排基礎上，讓學生自己嘗試畫線段圖去分析數量之間的關系；三道例題作“只列式計算，不作答”要求，讓學生更好地去關注式與式的比較，突出加、減法算式間的關聯。

3.將學生一起總結歸納加、減法各部分間的關系，調整為獨立嘗試歸納概括，學生可依據以往“一圖三式”或“一圖四式”的學習經驗去遷移探究，極大發揮學生自主學習的能動性。

4.將有關青藏鐵路的多元化信息編入習題中，一是進一步豐富學生對青藏鐵路這個偉大工程的了解，二是巧妙地將現實題材信息轉化為與本節學習內容匹配的數學知識，不僅讓學生充分體會數學在生活中的應用價值，同時給學生進一步的深度學習提供了更多的可能。

三、精研創設，活其思

杜威說：“如果我們知道問題是什么，困難在哪里，那么有效的思維就比較容易進行了?！币虼嗽诒竟澱n的教學設計中，精心創設問題情境，打通學生經驗與學理的通道，從而構建出與經驗高效對接的數學課堂。

（一）問題情境一：自主探究，概括加法意義

1.情境引入

出示短片視頻，借助課件描述，展現青藏鐵路建設的背景與發展，突出青藏鐵路是由“西寧至格爾木”和“格爾木至拉薩”的兩段路程組成。讓學生在了解我國鐵路建設發展的同時由此現實情境引入例題第（1）題的學習。

2.審題明義

引導審題：根據短片中的信息編出的這道題，已知什么？要求什么？（根據學生回答，課件同步顯示線段圖明確題目已知信息和問題）

3.獨立解題，自主概括

（1）思考：這道題該用什么方法解答？為什么用加法？

學生課堂回答：要求西寧到拉薩的距離就是把“西寧到格爾木”的鐵路和“格爾木到拉薩”的鐵路加起來；或把這兩段鐵路合起來。（此時，教師根據學生回答課件動態凸顯線段圖中兩段鐵路，并動態顯示兩段合起來為西寧至拉薩的全程。順勢明確“兩段鐵路合起來”即為“合并”，從而揭示“合并”概念）

（2）解題，反饋。根據學生回答板書：814+1142=1956

（3）舉例：你們能舉幾個用加法來解決的例子嗎？（結合學生列舉的實例，引導思考“在他的例子中是把哪兩個數合并？合并成多少？”）

（4）概括：舉了這些實例，你們認為什么樣的運算叫作加法？

學生回答：加法就是把兩個部分合起來；或者加法就是把兩個數合起來。教師此時順勢規范學生的表述，揭示加法意義。

（5）應用概念說理，強化與應用概念：根據加法的意義描述“814+1142=1956”是把哪兩個數合并？合并成誰？

4.對應概念回顧加法各部分名稱

結合加法意義回顧：在加法意義中所說的相加的兩個數，我們也把它們叫作什么？（加數）合并成的這個數叫什么？（和）這就是加法各部分的名稱。（對應加法算式逐一注明加法各部分名稱）

[設計意圖]放手讓學生解決“西寧到拉薩的鐵路長多少千米？”這個問題，以“為什么要用加法計算”來引導學生思考“加法是什么樣的運算”。讓學生經歷“由把814與1142合并成一個數，用加法計算→舉多個加法實例，明確把兩個數合并成一個數要用加法算→自主概括出加法意義→運用其意義概念描述加法算式，理解加法各部分名稱”的過程。這個過程，充分憑借學生對加法已有認知基礎，借力打力地將舊知自然遷移，自主構建新知。既讓學生經歷從加法的感性認識上升理性概念的全過程，又充分培養了學生抽象概括的能力。

（二）問題情境二：逐層對比，揭示減法意義

1.獨立解答，逐步感悟減法意義。

（1）審題解答：將這道加法問題稍作改變，（課件出示例2、例3）編成這兩道題，該用什么方法解答？請學生獨立完成。

（2）逐一反饋，板書列式。

（3）質疑引導：這兩道題目有哪些同學是筆算的？你們為什么不用筆算，你是怎么算的？教師點明可以根據前面的加法來推算這兩道減法的得數。

2.逐層對比，嘗試概括減法意義

（1）設問：第（2）、（3）題都用了減法，為什么用減法？結合學生回答教師明確：這兩題都是已知總長和其中一段，求另一段的長度，所以都用了減法。

（2）第一次對比：觀察對比第（2）、（3）題與第（1）題已知信息與問題，感受第（2）、（3）題與第（1）題的已知與未知的變化。

（3）第二次對比：觀察對比三題的算式，發現第（1）題是已知兩個加數，求它們的和；第（2）、（3）題是反過來，已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數。

（4）小結：通過對比我們發現，第（2）、（3）題都是已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數，所以都用了減法。

（5）嘗試概括：你覺得什么樣的運算叫減法呢？（根據學生回答教師順勢揭示減法意義）

3.對應概念回顧減法各部分名稱

結合減法意義回顧：為了表述方便，在減法中，我們把這個已知的和叫什么數？（被減數）其中一個加數叫什么？（減數）另一個加數呢？（差）這就是減法各部分的名稱。（對應減法算式逐一注明減法各部分名稱）

4.回應開課談話，再次分享交流

設問：在上課一開始我們就交流了對加法和減法的認識，現在對照今天學習的加法、減法的意義，同學們是不是有了更進一步的理解？談談你們的感想。

[設計意圖]概念不能植入學生的頭腦，要引導學生將概念內化，將原有經驗通過調整重組，逐步豐盈起來，實現經驗與概念的對接。在突破減法意義這個難點教學中，教師先放后導的教學策略，全面激活學生已有認知經驗的觸點，比如“為什么不用筆算”“為什么兩題都用減法算”等問題觸發學生去思考題目間的內在聯系。隨即分層次的對比觀察，從具體情境中感受“已知與未知的變化”，再到脫離情境純數式的觀察比較，為學生概括減法的意義提供有力抓手。

（三）問題情境三：討論交流，發現加減法關系

1.提問

我們發現減法可從加法引出，那么加法和減法之間有什么樣的關系呢？組織學生分4人小組交流討論。教師巡視參與小組討論。

2.匯報交流，對話溝通

預設學生反饋：

（1）兩個數的和1956，就是減法里的被減數，加數814或者1142，就是減法里的減數或差。或者說，減法里的被減數1956在加法里就是和，減法里的減數或差在加法里就是兩個加數。

（2）根據加法想減法時，我們可以用這個和減去其中一個加數，就得另一個加數。

3.歸納小結

在學生討論交流的基礎上，教師強調：加法是將兩個數合并成一個數，而減法，就是將一個數，分成兩個數，求其中的一個數，數學中，我們就稱減法是加法的逆運算。（板書：逆運算）

4.聯系舊知，揭示加、減法間關系的數學運用

設問：有關“減法是加法的逆運算”，這個知識我們在以往的學習中其實就曾運用過。大家還記得嗎？（鼓勵學生說到驗算）

課件出示圖1。

設問：這道筆算減法，是怎么用加法驗算的？

出示圖2。

明確：（ ）+9=12；我們可以根據12-（ ）=9來推想未知數是多少。

小結：在我們的數學中，往往就有這么多的“似曾相識”！我們掌握好加法和減法的這個關系，就能更好地解決相關的數學問題。

[設計意圖]“逆運算”是數學中的一個重要概念，這里是學生第一次接觸。學生經歷前面“由加法很快想到減法得數”的鋪墊，和兩次對比引出減法意義等學習環節，已經積累了豐富的數學思維的活動經驗，在此組織學生合作交流，生生對話，相互啟發，由加、減法中各數的對應關系得到減法是加法逆運算的結論，促使學生自主構建“逆運算”概念，隨后，引導學生回顧這個關系在以往學習中的運用，一句“數學中的似曾相識”，一語道破概念在具體學習中的運用原理，讓學生的數學思維從理解走向了深刻。

四、反思+啟示，匯其果

早在10多年前，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》在基本理念中就明確指出，數學學習要使學生“獲得廣泛的數學活動經驗”。這是我國第一次將經驗的認知納入數學教學和學習之中?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》出臺后，進一步將“數學活動經驗”作為課程標準的“四基”之一，其指出，使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識，基本技能，基本思想，基本活動經驗”。這遞進式的變化，使我們認識到“經驗”對學生的學習，尤其對學生數學水平的提升和數學能力的發展十分重要。

著名哲學家、教育家約翰·杜威在《民主主義與教育》一書中寫道：“教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力?！痹跀祵W教育中，數學基本活動經驗可以是使人受益終生的、深深銘刻在頭腦中的學數學的精神、數學思考方法，也可以是學數學過程中所遇到的挫折、面對的困難，甚至可以是經歷數學活動過程中的發現與感悟。那么，學習的過程就是這些經驗的生長和改造，是在經驗中，由于經驗或為著經驗而發展的一個過程，學生從經驗中產生問題，因問題而激發他們去探索，從而產生新的思想。因此，在數學學習中，要使學生真正理解數學知識，感悟數學的理性精神，形成創新能力，就應該讓學生積累豐富而有效的數學活動經驗。

那么，如何有效幫助學生積累或獲取數學活動經驗？通過本案例的研究，我們通過反思，得到的啟示有三：

1.以“先前概念”為起點，激活經驗

運算教學往往因機械化訓練而麻痹學生的數學知覺，在數運算概念課的教學中想激活學生封存已久的知覺，就需要教師細細尋覓學生頭腦深藏的那些經驗，再順藤摸瓜去導學。在進入課堂之前，我們要搞清楚學生已擁有的概念結構，不管是促進還是阻礙，都要認真分析，合理利用；以其為源頭，引導學生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使得數學概念變得“熟悉”而“簡單”。

2.以“以生為本”為追求，提升認識

由于學生的文化環境，自身思維方式等不同，他們的經驗往往具有個性差異，膚淺、片面、零散甚至錯誤的經驗或多或少地存在著，因此，要立足學生，尊重他們原有的認知經驗，不過于強調對數學概念文本的表面理解?？梢韵裙膭顚W生用自己原生態的，甚至有些粗糙的語言詮釋對數學意義的理解，再引導他們將自己的理解與概念表述進行比對，打通知識間的聯結，讓他們經歷“數學化”過程后，自然修正或是重組經驗，提升認識，實現數學形式化表達，感悟數學概念的本質。

3.以“深度理解”為本源，發展學力

經驗的激活與調整過程，是感性認知到理性思考的升華。當學生建立廣泛而牢固的知識聯系，形成具有穩定性和清晰性的知識結構之后，可以設計多維度的現實問題情境，讓學生將數學概念加以靈活運用，內化對概念的理解，逐步推進淺層學習向深度理解的進程，促進新經驗提升，實現思維的“再創造”，最終達到發展學生的學習能力。

數學課堂理應靈動、智慧，學生數學學習過程應當是富有個性的且發展終身的。課堂教學教師要重視引導學生通過經歷、內化、概括、遷移等活動不斷地獲取和積累各種經驗，分析和理解經驗、反思和提升經驗，最終達到內化，形成學生可持續發展的能力。如張奠宙教授所說，讓這些基本活動經驗對學生在整個數學學習過程產生“正遷移”的影響，幫助學生在以后的數學學習、日常生活中養成數學思維習慣，即有一顆“數學的頭腦”，從而構建出經驗對接的主體課堂，成就學生心中“有趣而熟悉的數學”。