小學數學“深度實驗”教學探索

解玲蘭

【摘要】“深度”是數學實驗的一種追求。數學實驗的深度是一種理解的深度、體驗的深度、創新的深度。有深度的數學實驗，要從問題原點出發、從學生具體學情出發、從學生的體驗出發。數學實驗教學呼喚著教師的深度探索。

【關鍵詞】數學教學 深度實驗 實驗探索

“數學實驗”是近年來廣受師生歡迎的學習方式，這種方式融學生觀察、操作、思考于一體，屬于一種具身認知活動。美籍匈牙利數學家波利亞精辟指出：“數學既是一門系統性的演繹科學，又是一種實驗性的歸納科學。”毋庸諱言，數學實驗確實能讓學生“做學玩一體”“學思創共生”。但在教學實踐中，筆者發現，一些實驗往往是蜻蜓點水、浮光掠影，學生的數學實驗呈現出一種淺層化、虛浮化、被動化狀態。數學實驗教學呼喚著一種深度探索。

一、深度實驗：基于“興趣”的追問

小學數學教師或許有這樣的類似經歷：低年級學生進入“數學實驗室”往往興趣很高，隨著年級的升高，學生對數學實驗沒有了原先的驚奇、驚異，沒有了原初的激情、欲望，他們往往對數學實驗無動于衷。很多學生感受不到數學實驗帶給他們的樂趣，他們只會在教師指引下被動、按部就班地做著各種實驗。這樣的數學實驗不能培育學生的主動探索與創造精神。

思考一：我們對實驗功能是否理解到位？

數學實驗不同于數學操作，數學操作是學生動手能力的表征與確證，而數學實驗卻不僅僅是學生的動手能力，更為重要的是學生的動腦思維能力。從這個意義上說，數學實驗是一種“具身認知”。但在數學實驗教學中，許多教師對數學實驗的認知和數學實驗的行為走入了誤區，他們將“數學實驗”等同于“數學操作”，于是乎，學生在數學實驗的過程中，常常淪落為一個機械的“操作工”。比如，一位教師執教《圓錐的體積》，讓學生用等底等高的圓柱和圓錐做實驗。學生在教師的要求下，將圓錐灌滿水，倒入等底等高的圓柱中，結果發現倒了3次。于是，教師總結數學結論：等底等高的圓柱是圓錐體積的3倍。請問，這樣的數學操作能夠看成是數學實驗嗎？學生在操作中只是一個木偶，他們只是機械地執行著教師的指令。比如，許多學生就納悶：為什么就要選擇等底等高的圓柱和圓錐，怎么就想到要用等底等高的圓柱圓錐來操作的呢？如果說操作是實驗的外顯形式，那么思想就是數學實驗的靈魂。只有讓學生在數學實驗過程中不僅“知其然”，而且“知其所以然”，才能引發學生真正的數學實驗探究。

思考二：我們是否給予學生充足的實驗時空？

數學實驗應當是學生自主探究數學知識的過程。但在數學教學中，許多教師為了追求實驗結果和實驗效率，置學生實驗探究、實驗過程于不顧，匆忙推進實驗進程，草草結束實驗。其結果是教師對實驗過程過度預設，甚至對實驗過程前置告知。比如，一位教師教學《圓的周長》，讓學生通過“滾圓法”“繞圓法”測量出圓的周長，然后計算圓的周長和直徑的比值。許多學生推導出圓周率是“二點九幾”或“三點二幾”，很少有接近“π”的。為此，教師只一句“你們剛才的實驗有誤差”，就將學生彼此間的實驗差異抹殺。這不能不說教師扼殺了學生的實驗興趣，導致學生在以后的數學實驗中，為了正確的結果而偽造數據。由于教師沒有賦予學生數學實驗的時空，讓學生數學實驗成為一種“走過場”。

思考三：我們的實驗到底應讓學生獲得什么？

數學實驗不應追求一步到位，不應只是讓學生獲得膚淺的操作經驗，更應讓學生積淀數學基本活動經驗，形成數學思想方法。在一些教師的心中，數學實驗只是獲取數學知識的載體，只是獲得數學知識的一種手段。其實，這樣的數學實驗觀是片面的、膚淺的。數學實驗應當讓學生經歷數學家當年研究的歷程，應當讓學生重蹈人類探索的關鍵步子，應當讓學生重溫蘊藏其中的數學背景、數學思想等。從這個意義上說，數學實驗有著獨特的育人價值。學生通過數學實驗，不僅僅能夠探究數學知識，更為重要的是能夠形成豐富的探究經歷、探究感受和探究體驗。如果一位學生在數學實驗過程中，能產生豁然開朗、怦然心動、柳暗花明的思考頓悟，能夠獲得思考的快樂、思維的提升，那么學生的數學實驗就是豐實的、有效的。

因此，筆者認為，在數學實驗過程中，教師要充分發掘數學實驗的功能，發揮數學實驗的功用，讓學生的數學觀察與數學操作共存、數學思考與數學操作交織，讓學生群策群力。如此，就能讓數學實驗真正成為學生數學學習最重要的工具載體、價值載體。

二、深度實驗：基于“意蘊”的考量

將數學實驗放置到深度教學中思考，將數學實驗放置到核心素養背景下來考量，將數學實驗放置到高階思維培育視角來審視，我們就會對數學實驗產生深度追求。也就是數學實驗應當是學生數學思想與實踐的對接，是學生數學歸納與演繹的圓融，是學生數學思維與創造的共生。

意蘊一：數學實驗深度是一種理解的深度

數學實驗深度不僅僅是一種操作深度，即賦予學生充分的實驗時空，更為重要的是數學實驗是學生理解的深度，亦即思維的深度。傳統的數學實驗，往往注重外顯的形式。筆者認為，深度實驗更應關注學生數學認知結構的改善，數學思維方式的提升。數學是一門理性的學科，思維、理解是學生數學學習的關鍵詞，數學實驗只是學生諸多數學探究方式中的一種。在數學實驗過程中，教師要自始至終關注學生的思維狀態，主動跟進學生的思維、調整學生的思維。比如，教學《間隔排列》，教師在引導學生通過觀察間隔排列現象、操作間隔排列學具后，要引導學生深度思考：為什么兩端物體會比中間物體多一個？兩端物體比中間物體多一個，多的是哪一個？如果兩端物體不相同呢？如果物體以間隔排列的方式排成一個封閉圖形呢？只有學生能夠從數學現象過渡到數學知識的本質，學生的數學實驗才是一種真正的數學實驗，是一種有深度的數學實驗。只有當學生獲得了對數學知識的本質理解，學生在數學實驗中才能游刃有余。否則，我們在數學實驗中就會只獲得數學實驗的“形”，而沒有獲得數學實驗的“神”。

意蘊二：數學實驗深度是一種體驗的深度

如上所述，學生的數學實驗深度不僅僅是一種操作深度，更是一種理解深度。筆者認為，數學深度還是學生的一種感受深度、體驗深度。在數學實驗過程中，筆者經常發現一些學生的數學實驗很膚淺，僅僅是囫圇吞棗、浮光掠影，沒有獲得對數學實驗的感受、體驗。進一步說，對于學生而言，數學實驗不僅僅是掌握知識、獲得思想方法，更為重要的是養成學生良好的思維品質，形成學生良好的心理品質，讓學生愛上數學實驗、樂于數學探究。數學實驗是發展學生人格的不可或缺的載體。有時候，學校的數學實驗只是將學生引入數學研究的大門，導引學生在課余、課后進一步展開深度研究。著名數學教育家玻利亞說：“在教一個科學的分支（或一個理論、一個概念）時，我們應讓孩子重蹈人類思想發展中那些最關鍵的步子。當然我們不應該讓他們重蹈過去的無數個錯誤，而僅僅是重蹈關鍵性步子。”作為一名數學教師，要清楚地指示學生數學實驗的關鍵步子在哪里。比如，教學《圓的面積》，一位教師首先讓學生用數方格的方法探究圓和外切正方形的關系，在初步得出圓的面積是半徑的平方的三倍多一些后，教師引導學生展開深度探究。學生先是將圓平均分割成8份，拼成一個近似的平行四邊形；然后將圓平均分割成16份，拼成一個近似的平行四邊形，不過這時的平行四邊形已經比原先的平行四邊形更“像”了；接著，教師又讓學生將圓平均分割成32份、64份等。最后，教師借助多媒體課件，向學生直觀展示“化圓為矩”的過程，學生深刻地感受、體驗到“極限”思想。不僅如此，教師導引學生課后進一步探究：將圓轉化成已經學習過的三角形、梯形等。讓學生借助微信、QQ群進行交流。整個實驗過程豐富、飽滿，學生獲得深刻的數學實驗體驗。

意蘊三：數學實驗深度是一種創新的深度

數學實驗是孕育學生數學創造的孵化器，學生的一個個“微創”就在深度實驗中誕生。在數學深度實驗過程中，學生會主動提出數學猜想，主動進行觀察、思維、想象、推理，主動進行畫圖、測量、剪拼，不斷形成新的思路。從這個意義上說，數學實驗深度是一種創新的深度。比如教學《梯形的面積》，學生受三角形面積公式推導的啟發，形成了多向思路。有學生在實驗過程中將梯形轉化成三角形，有學生將梯形轉化成長方形，還有學生將梯形轉化成平行四邊形，等等。不同學生運用不同方法，推導出梯形面積，這是學生基于不同視角、不同經驗形成的各具特色的探究。在這個過程中，學生是探究的主體，教師是引導的主體。師生之間互促、互進。教師在教的過程中關注學生的學，學生在學的過程中關注教師的教，只有教師和學生積極互動，才能讓學生的數學實驗形成創新思路。

三、深度實驗：基于“過程”的實施

深度實驗不僅體現為數學深度，更體現為學生深度。基于“過程”的實施，數學深度實驗從原點開始，從學生出發，從體驗落腳。顯然，深度實驗不同于淺層次實驗，淺層實驗是一種機械的學習方式，深度實驗是學生能批判學習新事實、新思想，能主動進行遷移、決策和解決問題的實驗。

1.深度實驗，從思考的原點開始

著名物理學家楊振寧在接受記者采訪時，曾將他的治學經驗歸結為一句話：站在問題開始的地方，而不要淹沒在文獻的海洋中。其實，數學實驗何嘗不是如此呢？傳統的數學教學，教師往往參閱眾家的實驗設計，然后將各家的實驗設計糅合，其結果是，照搬過來的實驗設計不能激發學生數學學習的主動性，不能適應學生。其實，教師在進行實驗設計時，更多的應該站在問題的源泉處，站在學生的具體學情處，只有這樣，教師設計的數學實驗才是有效的。

教學《分數乘分數》，許多教師根據“分數乘整數”“整數乘分數”的學習經驗，直接讓學生猜測“分數乘分數”的意義。學生也能夠猜出“分數乘分數”表示“幾分之幾的幾分之幾是多少”，但在這里，學生更多的是一種模仿。

數學實驗，應當將活生生的數學學習問題展示出來，讓學生經歷活生生的數學實驗過程。在這個過程中，學生能夠感悟到數學實驗的創造性研究方法和獨特的研究風格。學生的學習體驗淋漓盡致。這種直面問題本身的數學實驗，對學生而言，其意義是深遠的。

2.深度實驗，從學習的體驗出發

體驗是學生數學學習的一種常態，更是學生數學實驗的一種常態。可以這樣說，沒有學生的體驗，數學實驗教學就是外在于學生的。只有學生真正經歷了、感受了、體驗了，數學實驗才能達至一定的深度。只有經過學生的體驗，所有外在的學習因素才能真正發揮作用，否則實驗對學生而言就是虛幻的、沒有生命力的。深度實驗，必須從學生的體驗出發。

因此，數學實驗就必須讓學生充分地經歷，充分地感受，而不能為了教學效率讓實驗“行色匆匆”。有時候，一堂課的時間，學生實驗體驗不充分，教師就必須果斷地延長，在下一節課繼續探究。千萬不能讓數學實驗快餐化、程式化。比如，教學《長方形的面積》，有教師在教學中只是簡單地讓學生用單位面積的小正方形學具去擺，當學生擺滿后，教師就引導學生觀察長方形的長、寬與小正方形個數的關系，進而直接歸納出長方形的面積計算公式。這樣的數學實驗，看似學生操作了、經歷了，其實學生獲得的數學體驗非常膚淺，他們的數學認知因此也是過眼煙云。筆者在教學中，將這一實驗分為三個層次：第一個層次，讓學生用單位面積的小正方形去擺長方形，這個時候能夠擺滿，學生通過數，能夠得出長方形的面積公式，初步讓學生體驗到長方形的面積就是長方形里面包含的單位小正方形學具的個數；第二個層次，筆者給出一個大一點的長方形，這個時候，單位面積的小正方形已經不夠鋪了，怎么辦呢？這個環節對學生的觸動是巨大的，學生經過交流，認為只要沿著長方形的長、寬鋪，就可以推算出長方形內一共能鋪多少個小正方形；第三個層次，出示一個空白的巨大的長方形，這個時候，小正方形已經不夠鋪長方形的長了，于是，學生就自然地建構出長方形的長、寬、面積與小正方形的個數之間的關系，想象出鋪的畫面，抽象出長方形的面積計算。這樣的實驗過程，學生的體驗是深刻的。經過這樣的深刻體驗，學生建構長方形面積公式也就水到渠成。

數學深度實驗源自學生的深度體驗。在數學實驗過程中，不論數學實驗內容是什么，數學實驗材料是怎樣的，數學實驗的外部刺激是什么，只要引發了學生的深度體驗，數學實驗就是有效的。否則，即使實驗素材再豐富、實驗設計再精致，也是水中花、鏡中月。

3.深度實驗，從自主的創新出發

著名教育心理學家奧蘇貝爾說，“影響學習的唯一最重要的因素就是學生已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學。”數學深度實驗，必須從學生的具體學情出發。在數學教學中，筆者發現，許多教師也研究學生，但他們研究的學生是“抽象的學生”，因而數學實驗缺乏針對性、實效性。筆者認為，數學實驗應當從學生的具體學情出發，研究具體學生、傾聽具體學生、對話具體學生。只有這樣，教師才能順應學生的學情，引導學生的數學發現。

教學蘇教版四年級下冊《三角形的內角和》，對于不同的學生，教師要提出不同的實驗要求。三角形內角和的探究，最為簡單的是讓學生直接測量，這一實驗探究方式可以針對后進生；對于操作能力比較強的學生，教師要放手讓他們折角，將三角形三個內角折在一起，形成一個平角；對于推理能力較強的學生，教師可以引導他們作輔助線，運用平行線、同位角、內錯角等關系推導三角形的內角和，等等。甚至，教師可以啟發、引導學生展開“帕斯卡三角形內角和”的推理：任意兩個完全相同的直角三角形都可以拼成長方形，長方形的內角和是180°，所以任意一個直角三角形的內角和是180°；任意一個銳角三角形、鈍角三角形都可以過其中的一個頂點作垂線，分成兩個直角三角形，所以任意一個銳角三角形和鈍角三角形內角和是180°。這樣的數學實驗，充分兼顧到不同認知水平、認知狀態的學生，讓每一個學生都能以自己的方式進行自主探究。

基于“學生立場”設計數學實驗，要改變教師主導的設計思維方式，真正從學生出發，基于學生視角去思考教學演繹、教學行走方式。在數學實驗過程中，教師要瞄準學生的具體學情，基于學生的數學實驗現實水平，基于學生的數學學習體驗。只有這樣，數學實驗教學才能事半功倍，才能更好地為學生的數學學習服務。

深度實驗不僅指向學生學習的深度，更指向教師教學的深度。數學實驗同時建構師生的知識經驗、思維方式、思維習慣、情感投入等諸多因素。在數學教學中，當教師深入解讀教材，直面研究課題、直面具體學生時，當教師意識到他應該基于學生立場，從學生出發進行實驗設計時，當學生的認知結構通過實驗發生改變時，數學深度實驗過程才真正發生。

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