高考數列解答題回眸與展望

王佩其

2018年高考的硝煙漸漸散去，2019年高考的烽火已經點燃.。常言道：知己知彼，百戰(zhàn)不殆.以史為鑒看高考！數列，作為新課標高考的重要考點之一，它在2018年的高考解答題中是如何考查的？明年的高考命題，數列解答題將會出現(xiàn)哪些基本題型？

一、2018年高考真題回眸

1. 高考真題

（2018年理科II卷第17題）記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1=-7，S3=-15.

（1）求{an}的通項公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

分析：（1）先用基本量法求公差d，再寫出等差數列{an}通項公式；也可利用等差數列性質，由S3=-15求出a2，從而求出公差d，再寫出等差數列{an}的通項公式.

（2）依據等差數列求和公式，轉化為二次函數的最值問題；也可根據通項公式所確定的項的正負，來求Sn的最小值.

解析：（1）法1：設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2.

所以{an}的通項公式為an=a1+（n-1）d=-7+（n-1）×2，即an=2n-9.

法2：設{an}的公差為d，因為{an}為等差數列，所以S3=a1+a2+a3=3a2=-15，

故a2=-5，于是d=a2-a1=-5-（-7）=2，

所以{an}的通項公式為an=a1+（n-1）d=-7+（n-1）×2，即an=2n-9.

（2）法1：由（1）知an=2n-9，故Sn=n·（-7）+ ×2=n2-8n=（n-4）2-16.

所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為-16.

法2：由（1）知an=2n-9，當n=1，2，3，4時an<0，當n≥5（n∈N？鄢）時an>0，

故當n=4時，Sn取得最小值，最小值為a1+a2+a3+a4=（-7）+（-5）+（-3）+（-1）=-16.

點評：數列是函數的延續(xù).高考對函數的考查要求較高，往往將函數與導數綜合題作為壓軸題，而對數列的考查要求有所降低，尤其是當它處于高考解答題的第一題的位置，難度不大.本題就是例證.本題主要考查等差數列通項公式的求法和等差數列求和中的最值問題，對于大多數考生來說，是一個“不折不扣”的送分題.

2. 題根尋蹤

高考題的命制，一般都源于課本，而又高于課本. 2018年理科Ⅱ卷第17題的題根來自人教A高中數學必修5第51頁的例4：

已知等差數列5，4 ，3 ，…的前n項和為Sn，求使得Sn最大的序號n的值.

3. 考點回顧

在新課標（II）卷中，當對數列的考題形式為解答題時，一般出現(xiàn)在第17小題，即解答題部分的第一小題，主要考查等差數列與等比數列定義、性質及通項公式，考查利用構造法、疊加法、疊乘法及第n項與前n項和公式法求數列通項公式方法，主要考查分組求和法、拆項法、錯位相減法、并項法等求和方法，考查運算求解能力、轉化與化歸思想，難度為中檔難度，分值為12分.

二、2019年命題方向展望

眾所周知，每年高考考題不會重復，但考點卻依然如故.今年考了等差數列，明年或許考等比數列，但考查的知識點與方法不會超越考綱.依據2018年的高考真題與最新考綱，不難預測在以后的高考中，數列解答題的命題將依然秉著考查基礎知識和基本運算的原則命題，以數列知識內部的綜合為主，有時也會考查數列與不等式的綜合，試題難度不變或難度向上微調，以下幾個極易考查的命題方向應引起大家的關注.

考向1. 等差數列、等比數列的定義、通項公式、性質、前n項和公式

對等差數列、等比數列基本量問題，利用等差數列、等比數列通項公式、性質、前n項和公式列出關于首項、公差（公比）的方程組，解出首項、公差（公比）即可解決問題.

例1.（河南省鄭州市2018年二質檢）各項均為正數的等比數列{an}中，a1=8，且2a1，a3，3a2成等差數列.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）數列{bn}，已知bn= ，求bn的前n項和Sn.

分析：（1）根據題意得到2q2-3q-2=0，解得q=2或q=- ，舍去負值，故得到數列的通項；（2）根據第一問得到bn= （ - ），裂項求和即可.

解析：（Ⅰ）∵2a1，a3，3a2 成等差數列，2a3=2a1+3a2即：2a1q2=2a1+3a1q，

∴2q2-3q-2=0解得： q=2或q=- （舍）. ∴an=8·2n-1=2n+2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn= = = （ - ），

Sn= b1+b2+b3+……+ bn = （1- + - + - +…+ - ） = （1+ - - ） = - （ + ） = - .

點評：本題考查等比數列通項公式的求法以及利用裂項相消法數列求和，難度不大.

考向2. 已知遞推公式求數列的通項公式

解決這類問題必須具體問題具體分析，一般涉及以下五種方法：（1）觀察法；（2）累加法；（3）累積法：（4）構造法：（5）利用前n項和Sn與第n項an關系求通項.

例2.（人大附中2018屆10月考）已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2= ，n∈N*，bn=an+1-an.

（1）求b1，b2的值；（2）證明：{bn}是等比數列；（3）求{an}的通項公式.

分析：（1）第（1）問，直接根據遞推關系求出b1，b2的值.（2）第（2）問，一般利用等比數列的定義證明.（3）第（3）問，先利用第（2）的結論求出bn，再利用累加法求{an}的通項公式.

解析：（1）由題意知：b1=a2-a1=2-1=1，b2=a3-a2= -a2=- .

（2）由（Ⅰ）可知，b1=1，

當n≥2時，bn=an+1-an= -an=- （an-an-1）=- bn-1，

所以{bn}是以1為首項，- 為公比的等比數列.

綜上所述，命題得證.

（3）由（Ⅱ）知：bn=an+1-an=（- ）n-1，

當n≥2時，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+1+（- ）+…+（- ）n-2=1+ =1+ [1-（- ）n-2]= - （- ）n-1.

當n=1時， - （- ）1-1=1=a1，所以an= - （- ）n-1（n∈N*）.

綜上所述，{an}的通項公式為an= - （- ）n-1（n∈N*）.

點評：本題主要考查等比數列的證明方法和累加法在求數列通項中的應用，難度一般. 利用遞推關系求數列通項公式時，一定要對首項驗證，從而確定通項公式是否需寫出分段形式.

考向3. 數列求和

數列求和的主要方法：（1）公式法；（2）分組求和；（3）拆項相消法；（4）倒序相加法；（5）錯位相減法；（6）并項求和法.

例3.（安徽省宿州市2018屆一質檢）在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+（n+1）·2n.

（Ⅰ）設bn= ，求數列{bn}的通項公式；

（Ⅱ）求數列{an}的前n項和Sn.

分析：（1）利用構造法和累加法求出數列{bn}的通項公式；（2）先求出數列{an}的通項公式，再根據通項公式特點，確定求和方法.

解析：（I）由已知有 = +2n，∴bn+1=bn+2n，∴bn-bn-1=2n-1（n≥2），

∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b3-b2）+（b2-b1）+b1

=2n-1+2n-2+…+22+2+1= =2n-1（n≥2）.

又當n=1時，b1=a1=1，滿足上式，∴bn=2n-1（n∈N*）.

（II）由（I）知an=n·2n-n，

∴Sn=（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）-（1+2+3+…+n）.

而1+2+3+…+n= n（n+1），

令Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n …… ①

∴2Tn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1 …… ②

①-②，得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= n·2n+1=-2+（1-n）·2n+1.

∴Tn=2+（n-1）·2n+1. ∴Sn=2+（n-1）·2n+1- .

點評：本題綜合考查數列通項的求法，以及數列求和的方法，難度中等.

考向4. 數列與不等式等知識的交匯

求解數列與函數交匯問題注意兩點：（1）數列是一類特殊的函數，其定義域是正整數集（或它的有限子集），在求數列最值或不等關系時要特別重視；（2）解題時準確構造函數，利用函數性質時注意限制條件. 此外，數列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數列的求和相聯(lián)系，最后利用數列或數列對應函數的單調性處理.

例4.（湖南省郴州市2018屆二質檢）已知在等比數列{an}中，a1=1，且a1，a2，a3-1成等差數列.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）若數列{bn}滿足bn=2n-1+an（n∈N*），數列{bn}的前n項和為Sn，試比較Sn與n2+2n的大小.

分析：（Ⅰ）因為a1=1，所以可根據a1，a2，a3-1成等差數列列出關于首公比q的方程，解得q的值，即可得到數列{an}的通項公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論可得bn=2n-1+2n-1，根據分組求和法，利用等差數列求和公式以及等比數列求和公式可得Sn=n2+2n-1，再利用做差法可比較Sn=與n2+2n的大小.

解析：（Ⅰ）設等比數列{an}的公比為q，∵a1，a2，a3-1成等差數列，

∴2a2=a1+（a3-1）=a3，∴q= =2，∴an=a1qn-1=2n-1（n∈N*）.

（Ⅱ）∵bn=2n-1+an，

∴Sn=（1+1）+（3+2）+（5+22）+…+（2n-1+2n-1）=[1+3+5+…（2n-1）]+（1+2+22+…+2n-1） ·n+ =n2+2n-1.

因為Sn-（n2+2n）=-1<0，所以Sn

點評：數列與不等式等知識的交匯性問題，一般涉及數列求和以及不等式放縮.這類問題在高考中屬于中檔題.

變式訓練

1. 已知數列{an}的前n項和Sn=2n+1+n-2.

（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=log2（an-1），求Tn= + + +…+ .

2. 已知數列{an}滿足a1=1， =n，n∈N*.

（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn.

（3）證明： + + +…+ <2.

參考答案

1. （1）由Sn=2n+1+n-2，Sn-1=2n+（n-1）-2，（n≥2） 則an=2n+1（n≥2）.

當n=1時，a1=S1=3， 綜上an=2n+1.

（2）由bn=log2（an-1）=log22n=n.

Tn= + + +…+ = + + +…+ =（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）= .

2.（1）由 =n，得（n+1）an+1=nan，即 = ，

∴ · · …… · = × × ×…× × .

即an= a1，∵a1=1，所以an= .

（2）∵bn= =n·2n，

∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n …… ①

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）·2n+n·2n+1 …… ②

①-②，得-Tn=-（2+22+23+…+2n）-n·2n+1

∴Tn=（n-1）·2n+1+2.

（3）證明：∵ < = - ，k=2，3，4，…，n.

∴ + + +…+ = + + +…+ < + + +…+ .

= +（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=2- <2.

責任編輯 徐國堅