淺談轉(zhuǎn)化技術(shù)在高考數(shù)學(xué)“選考題”中的應(yīng)用

郭崇泉(深圳市平岡中學(xué) 廣東 深圳 518116)

從2016年開始，廣東考生面臨著由廣東卷向全國卷高考轉(zhuǎn)變，尤其文科高考數(shù)學(xué)從2017年開始，試題中選考題組由之前的“三選一”改為“二選一”，去掉了幾何證明題組，這讓很多“吃老本”的同學(xué)舉頭無措，也因此出現(xiàn)了各種的不適應(yīng)，對(duì)于全國卷的選考題第(2)問普遍感覺就是難，做題無從下手，很難拿到滿分。其實(shí)，全國卷的選考題組命題特點(diǎn)是突出對(duì)主干知識(shí)的考查，設(shè)計(jì)合理、梯度適中，知識(shí)點(diǎn)相互滲透，嚴(yán)格遵循“在考查數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的同時(shí)，著重對(duì)考生運(yùn)用知識(shí)和技能，分析和解決問題的能力進(jìn)行考查，加強(qiáng)對(duì)考生實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的考查”的命題原則，考核內(nèi)容緊扣教材，嚴(yán)從學(xué)綱，重視應(yīng)用。學(xué)生覺得全國卷的選考題組難，往往是沒有立足基礎(chǔ)，從基礎(chǔ)知識(shí)中找出源頭，去理解和分析題型，從而進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。針對(duì)以上情況，筆者將采用實(shí)例闡明轉(zhuǎn)化技術(shù)在高考數(shù)學(xué)“選考題”中的應(yīng)用。所謂的轉(zhuǎn)化技術(shù)是一項(xiàng)以學(xué)生立場(chǎng)為原則，通過結(jié)構(gòu)化、簡(jiǎn)潔化、可視化、通俗化、活動(dòng)化等方式化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使一些生題、難題、難理解的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能理解、能接受、能掌握的知識(shí)和技能。

1 轉(zhuǎn)化技術(shù)之一——化生為熟

【案例1】極坐標(biāo)、參數(shù)方程及不等式選講等內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容，并且是高考固定的第22，23題，其內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中相對(duì)比較獨(dú)立且新穎，致使讓許多學(xué)生“望題卻步”。化生為熟是學(xué)生最常采用的一種解題方式，即從熟悉的內(nèi)容入手，快速找到解決生題的竅門。

例:(2017全國I)23．［選修4—5:不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含［–1，1］，求a的取值范圍．

當(dāng)學(xué)生剛接觸這道題時(shí)，第(1)問很容易解決，但第(2)問簡(jiǎn)直是無從下手，不知所以云，難點(diǎn)在于不等式解集包含”這句話的理解上，之前很少碰到過這樣的案例，于是很多同學(xué)就開始亂寫了。其實(shí)這道題并沒有想象中這么難，只需通過轉(zhuǎn)化技術(shù)－－化生為熟，轉(zhuǎn)化成“恒成立”熟悉的問題，就能很快得到解決。

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于x2－x+－4≤0．①

當(dāng)x＜－1時(shí)，①式化為x2－3x－4≤0，無解，

當(dāng) －1≤x≤1時(shí)，①式化為 x2－x－2≤0，從而 －1≤x≤1，

當(dāng)x＞1時(shí)，①式化為 x2+x－4≤0，從而1＜x≤

( 2 )由第( 1 )知:當(dāng)x∈ [ －1，1 ]時(shí)，g(x)=2，

所以f(x)≥g(x)的解集包含 [ －1，1]，等價(jià)于當(dāng) x∈ [ －1，1]時(shí)f(x)≥2恒成立，

即x2－ax－2≤0，對(duì)x∈ [ －1，1]成立，設(shè)h(x)=x2－ax－2，

2 轉(zhuǎn)化技術(shù)之二——化繁為簡(jiǎn)

【案例2】俗話說:“簡(jiǎn)單到極致就是精彩。”高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多而散，造成學(xué)生在記憶和運(yùn)用時(shí)總是“張冠李戴”。通過“簡(jiǎn)潔化技術(shù)”可以把散亂的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成為容易理解、運(yùn)用方便的解題工具，能很好地幫助學(xué)生正確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，只有這樣才能把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，快速、正確的找到解決問題的辦法。

例:(2017全國I)22．［選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

(1)若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

高考分析:專家說，學(xué)生解答這道題，第(1)問基本上都能得到分，但第(2)問很難得到滿分。筆者認(rèn)為之所以學(xué)生第(2)問不能拿到滿分，主要是因?yàn)檫x擇方法不恰當(dāng)或計(jì)算能力不過關(guān)等原因造成的，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，他們會(huì)選擇曲線C橢圓的直角坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立求解，這種方法數(shù)學(xué)思想簡(jiǎn)單，但解題過程繁瑣且復(fù)雜，在高考緊張數(shù)學(xué)考試中，不是一個(gè)好的選擇。若學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化技術(shù)——簡(jiǎn)潔化的話，把曲線上的點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題，化繁為簡(jiǎn)，那么這個(gè)問題就會(huì)很快的解決。

(2)L的普通方程為x+4y－a－4=0，

設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為P ( 3 cosθ，sin θ)，

當(dāng)sin ( θ+φ)=1時(shí)最大，即5－a－4=17，a=－16，

當(dāng)sin ( θ +φ ) =－1時(shí)最大，即a+9=17，a=8，

綜上:a=－16或a=8．

萬事都有髓，把握其精髓，復(fù)雜問題可以變得很簡(jiǎn)單。

3 轉(zhuǎn)化技術(shù)之三——化難為易

【案例3】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常會(huì)遇到一些復(fù)雜知識(shí)、抽象知識(shí)等，學(xué)生很難簡(jiǎn)單直觀理解，這就要求我們把它轉(zhuǎn)化為學(xué)生能理解、能接受、能掌握的知識(shí)(技能)。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常采用數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、反證分析法、賦值法、排除法、多媒體演示等方法，化難為易，不僅便于學(xué)生的學(xué)習(xí)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維邏輯辨析能力。例如在講解極坐標(biāo)與參數(shù)方程內(nèi)容時(shí)，對(duì)于極坐標(biāo)、參數(shù)方程的概念及方程等知識(shí)點(diǎn)比較抽象難懂，筆者在教學(xué)中用直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程表示同一個(gè)圖形，讓學(xué)生找出他們的異同點(diǎn)，總結(jié)優(yōu)缺點(diǎn)，從中感受從抽象到具體的學(xué)習(xí)過程。

例:(2014全國I)23．［選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

(1)寫出曲線a，b的參數(shù)方程，直線2a+3b=6的普通方程;

(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求的最大值與最小值．

在2014年高考選考題中，選考這道題的學(xué)生第(2)問基本不得分，筆者分析這道題的難點(diǎn)在“過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線”這句話的理解上，學(xué)生不能把這句話轉(zhuǎn)化成等價(jià)的數(shù)學(xué)問題，不能化難為易，進(jìn)而得不到應(yīng)有的分?jǐn)?shù)。而這個(gè)問題只需要利用數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化思想，就能輕而易舉的解決。

直線l的普通方程為2x+y－6=0．

(2)曲線 C上任意一點(diǎn) p(2cosθ，3sinθ)到 l的距離為 d=

高質(zhì)量學(xué)習(xí)理論中的轉(zhuǎn)化技術(shù)是一種很實(shí)用，很有效的理論方法，它是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的解題技術(shù)．通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問題．通常有"數(shù)"與"形"的相互轉(zhuǎn)化、一般與特殊互化、生疏問題向熟悉問題轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等，本文通過例題講述轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的解題應(yīng)用，并說明這種思想解題的有效性與優(yōu)越性。