求一類橢圓面積的多種方法

劉春輝

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024001）

1 引言

橢圓作為一類重要的平面二次曲線，不僅是平面解析幾何的重要研究對象之一，而且也是高等數學[1]課程各個知識模塊經常提及的話題.圖形面積求取問題是貫穿于數學學習和研究過程的一個基本問題，貫穿于初等數學和高等數學的始終，其中蘊含著大量的數學方法和思維技巧.就同一類問題而言，如果從多角度多側面進行分析，不但可以得到多種不同的解決問題的方法，而且也有助于培養學生綜合運用知識的思維能力和創新能力.

鑒于此，本文針對如下一類橢圓面積的求解問題，從多個角度進行分析和思考，獲得了該問題的多種解決方法.文中涉及的數學基本知識全部取自[1-4]，這里不再一一贅述.

2 問題的提出

3 問題的多種解決方法

顯然，解決問題的關鍵在于求出橢圓長半軸和短半軸之積！

方法一利用一元函數極值法求橢圓面積

假設直線 y=kx 與橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且4ac-b2＞0）分別相交于點 A(x1,kx1)和 B(x2,kx2)，則 A 與 B 兩點間距離為

將y=kx代入橢圓方程ax2+bxy+cy2=1，整理得

解得

因此

對任意的k∈R，構造關于k的函數

令f'(k)=0，即bk2+2(a-c)k-b=0，解之得f(k)的兩個極值點k1和k2，于是由f'(ki)=0，i=1,2便得f(k)的兩個極值

因此，橢圓面積為

方法二利用一元二次方程的判別式法求橢圓面積

類似于方法一，假設直線y=kx與橢圓ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）分別相交于點 A(x1,kx1)和 B(x2,kx2)，且則A與B兩點間距離為d，則對任意的k∈R，構造關于k的函數

若σ(k)在k點不取得極值，則根據橢圓的對稱性可知，必存在兩個不等的k值取得相同的函數值σ(k)；若σ(k)在k點取得極值，則k必為那個唯一取到該值的點，此時記σ=σ(k)將函數變形為關于k的方程

則必有其根的判別式 Δ=0，即(bσ)2-4(cσ-1)(aσ-1)=0，整理得

這是一個關于σ的一元二次方程，其兩個根σ1和σ2就是函數σ(k)兩個極值，從而得即為所論橢圓的長半軸和短半軸.因此，由根與系數的關系便得橢圓面積為

方法三利用二元函數條件極值法求橢圓面積

假設橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）上的點A(x,y)到坐標原點的距離為d，則可得d關于變量x和y的二元函數關系

求其對變量x和y的偏導數，并使之為零，得方程組

因為點A(x,y)≠O(0,0)，所以方程組有非零解，從而系數行列式D=0，即

整理得

這是關于λ的一元二次方程，設其二根為λ1和λ2，則因為 a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0，所以 λ1+λ2＜0 且 λ1λ2＞0，故 λ1＜0 且 λ2＜0.又因為

所以x2+y2+λ=0，故可取于是便得

注意到maxd和mind分別為橢圓長半軸和短半軸，因此便得橢圓面積為

方法四利用直角坐標系下定積分求橢圓面積

將橢圓方程ax2+bxy+cy2=1變形得

對變量y配方得

整理得

令y+=y-得曲線y=y+(x)和y=y-(x)的兩個交點的和坐標為

于是，由直角坐標系下定積分求面積公式得，橢圓面積為

方法五利用極標系下定積分求橢圓面積

任取橢圓ax2+bxy+cy2=1上一點A，設其在直角坐標系和極坐標系下的坐標分別為(x,y)和(ρ,θ)，則 x=ρcosθ，y=ρsinθ，0≤θ≤2π，將其代入橢圓方程得橢圓的極坐標方程為

于是，由及坐標系下定積分求面積公式得，橢圓面積為

又因為

所以

方法六利用二重積分求橢圓面積

將橢圓方程ax2+bxy+cy2=1變形、對變量x配方整理得

4 結束語

通過上述討論，我們綜合運用解析幾何、微積分和線性代數的知識，給出計算一個中心在原點，但焦點不在坐標軸上的一般橢圓面積的六種方法.細心的讀者不難發現，雖然六種方法考慮問題的角度與出發點各不相同，但是殊途同歸，最終獲得的結論是一致的，這正是數學問題一題多解的精髓所在.問題的思考與解決的過程，不僅可以讓我們不斷開拓思維，使思考問題的思路更加靈活，而且有助于我們進一步理清前后知識的脈絡，達到融會貫通的效果.與此同時，文中所得到的橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）面積之計算公式可以作為我們日常數學積累的一個結論，由此亦可幫助我們提升處理問題的效度和信度.