數學智理課堂的探尋與建構

【摘 要】數學思想的誕生發展、教學改革的興利剔弊、兒童培養的未來期許等。使數學課堂教學聚焦智慧與理性，在小學數學教學中建構智理課堂或可成為數學學習的有效路徑。智理課堂中的“智”是一種素養，即理解力、行動力和創造力；“理”是對教學對象性——數學的概括。在教學中，教師可承知入理，明理成智，從知—理、志—理、至—理、智—理四重維度建構數學智理課堂，培育兒童的智慧與理性，真正實現通過數學教學立德樹人。

【關鍵詞】數學教學；智理課堂；建構路徑

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）49-0038-03

【作者簡介】張范輝，江蘇省啟東實驗小學（江蘇啟東，320600）副校長，高級教師，南通市數學學科帶頭人。

考察數學的誕生與發展，以古希臘數學巨著《幾何原本》為代表的西方數學強調實證、邏輯、理性，以我國古代第一部數學專著《九章算術》為代表的東方數學強調實用、均衡、相補。東西方的文化色彩讓數學本身的發展具有內在的豐富性，充滿智慧。直面當下，新中國成立以來的小學數學教育取得了一些成就，但存在重分輕人、重果輕因、重術輕道、重求真輕求善或求美的問題。數學教學應培養兒童具有觀察世界的數學眼光、科學研究的態度方法、嚴謹有序的思維方式、善于反思的理性精神、百折不撓的意志品質，培育兒童的智慧與理性，真正通過數學教學來立德樹人。

數學思想的誕生發展、教學改革的興利剔弊、兒童培養的未來期許都落腳于數學教育的智慧與理性之中。因此，在小學數學教學中建構智理課堂或可成為數學學習的有效路徑。

一、數學智理課堂的內涵

“智”字從干、矢、口，本意為談兵論戰、思考謀略之意，引申為智慧、聰明、善于思考。智是對學習主體——兒童的概括要求，體現在兒童對外觀察世界、理解世界，對內反省剖析、調整提升。

“智”是一種素養，通過以下“三力”來體現。理解力：即觀察、看懂、生疑，能在觀察世界的過程中領會其中的精髓，并在觀察的過程中生發疑問、提出問題。行動力：即激趣、剖析、解決，面對問題，能懷有盎然興趣，研究與剖析問題，不怕困難，解決問題。創造力：即探究、調整、創新，在解決問題的過程中深入探究、多方調整，獲得創新解決的方案。

“理”字從玉、里，本意是在作坊治玉，后指物質本身的紋路、層次、事物的內在本質與規律，引申為數學的邏輯、次序和本質。理是對教學對象——數學的概括和提煉。

西方理性主義認為，理性是一種文化精神和普遍化力量，是宇宙存在的根基和內在邏輯。理性的訴求需要教師具有大數學觀、高位的數學視野和對真善美的追求，即體會數學的嚴謹性、精確性，明曉數學表達的是一種真理；具備用數學的思想方法分析和解決實際問題的基本能力，明曉數學運用是一種合理；能夠欣賞數學智慧之美，在解決問題、探究發現的過程中享受獲得的愉悅，感悟數學的魅力與美好。

對真善美的追求，成為數學教育的高境界與宏觀理念，值得教育教學者去追尋。為了追尋這樣的真善美，數學教學應該關注哪些“理”？以下“三理”需要在教學中關注：即數理、事理、學理。數理，指數學的原理，是所研究的數量關系與空間形式的思維形式、數學內部的思想；事理，指事物的道理，是外部世界、萬事萬物的規律。畢達哥拉斯學派曾用“數”來表達世間萬物，認為萬物皆“數”，即用數理來表達事理；學理，指學習的規律，是兒童認識世界、學習數學的過程與規律。三者互為相融，構成數學學習之理。

二、數學智理課堂的層次

智與理作為數學教學的兩端，教師應允執兩端，求中致和，承知入理，明理成智。具體表現在以下三個層次。

1.理孕智，智成理。

數學概念首先是人們在生產生活的過程中想象出來的，最簡單的自然數“1”，就是人們的想象與創造。“1”本身并不存在，被人們創造以后經歷數學的發展而表示成一個單位。從計數到測度，從有限到無限，凝練與閃耀著人類的智慧之光，是人類思想的神來之筆，正如《道德經》言“道生一，一生二，二生三，三生萬物”從中可以感悟到“1”的創造是如此玄妙，以“道”字道出其玄虛之妙。

最基本的圖形“點”，按《幾何原本》中的說法，“點是沒有部分的”，除了位置應該什么都沒有，按此定義，生活中是找不到點的，畫到紙上的點、眼中所見的點，其實是一個很小的面，但意識告訴我們，這是一個點。并以此開啟數學的發展——測量細針的一端到另一端，把針的一端看作點；測量A地到B地的距離，把A、B兩地看作點；測量地球到月球的距離，把地球與月球看作點……用存在于想象中的“點”進行著純粹的思考。再由點的平移形成線，用筆畫出不是線的線去定義、操作生活中的線，由線的運動形成面，由面的運動形成體，圖形的結構大廈在想象與推理中建立起來。

“1”與“點”這兩個數理中最基本的概念是想象出來的，建立于這兩個概念的數量關系、空間形式也是想象的結果，但伴隨想象的推理豐富而具有秩序，井井有條，絲絲入扣，一切都有了合理美妙的安排，最終構成嚴謹、理性的數學體系。人類的智慧在此過程中孕育，逐漸形成嚴密的理性思想。

2.理生智，智促理。

明理能生智。對數理的深入理解能讓人生發智慧。例如：計算算式64+72×8，采用先乘后加按步計算的方法，能夠得到準確的結果，但如能清晰地理解數理，就會生發64+9×8×8=64+9×64=64×10=640的巧妙算法。在這個過程中，需要較好的數感、較高的口算水平以及對算理（乘法分配律）的深度理解和準確把握。圖1所示的結構體系圖，清晰地說明了思維過程中的明理生智。

再如：在求圖2所示的陰影部分的面積時，如果按照常規辦法，用梯形的面積去掉空白部分三角形的面積，得出（9+14）×11÷2-9×11÷2，計算過程較繁復。如果細致觀察圖2，思考運用算理則會發現，圖中三角形的高都相等，可以把陰影部分的兩個三角形轉化為一個大的三角形（如圖3），直接得出14×11÷2的結果。從中，我們可以感悟到明理生智的過程，即由各圖形面積計算的方法（知）——圖形間的聯系（理）——作出判斷、策略運用（智）。

明理能生智，智慧又進一步促進數理的發展，這集中表現為數學的推理過程是有序而又自由的。誠如德國數學家康托爾所說：“數學的本質就在于它的充分自由。”有秩序的自由，就是人類智慧精神的集中體現，推動與促進了數學的發展。

3.理化智，智轉理。

啟迪思維、培養智慧是學科任務。數學文化用于化人的角度是獨特的、理性的，帶著生動而深刻的意味。

例如：針對測量土豆等不規則物體的體積這一問題，課堂上常見的方法是在裝滿水的規則器皿中放入土豆等物體使水溢出，然后用等量替換的方法，將不規則物體的體積轉化為求溢出水的體積，即規則器皿的部分體積。這是一種物理方法，其簡單易行的過程只能求得不規則物體的體積數值。如果換成求地圖的面積，等積排水法就不一定適用了。

數學課堂需要有數學的意蘊。讓兒童通過物理方法直接獲知土豆的體積，這種教學只關注技巧，數學教師更應該讓學生掌握這類問題的一般性數學方法——從土豆上切下一個單位正方體，稱出重量，再稱一下土豆的重量，用正比例的方法推算出土豆的體積。這樣的數學方法，能讓學生獲得一種單位意識的普適化啟示，即先“1”后數或先“1”后算。從單位“1”出發進行的量的測度，可以涵蓋包括長度、面積、體積、角度、質量、時間在內的所有測度。

三、建構智理課堂的四重維度

課堂教學追求的目標，是從混沌中找出秩序，使經驗升華為規律，將復雜還原為基本。而所有這些都是美的標志，正如莊子云，“判天地之美，析萬物之理”。承知入理、明理成智的智理課堂，就是判數事之理，悟學習之美。可以從以下四重維度建構理智課堂：

首先，知—理。數學學習過程需要對知識，即荷蘭數學家弗萊登塔爾所說的“形式化的技巧”進行知識解釋、分析內容、理解概念。其次，志—理。學習的本質是有目的、有意志的心理活動，數學學習能夠培養學生良好的意志品質，不怕困難、勇于探究、合作共進。

再次，至—理。學習到達理想彼岸并不能通過教師的一言堂，而是授人以漁，注重學習方法、關注學習過程，培養“吾愛吾師，吾更愛真理”的科學態度、科學方法、追求真理、崇尚科學的品質。

最后，智—理。數學學習最終要培養兒童用數學眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，數學學習就是對兒童的數學思維、數學素養提升的關切，用拿破侖的話說就是“智才能開啟道路”，只有通過知識的道路，才能通往素養的目的地。

這就需要數學教師時常提醒自己：知識可以簡單，但思考不能簡單；要不時叩問：知識在哪里？數理在哪里？思想在哪里？學理在哪里？以此來推動自己的數學思考向本質處、向核心處漫溯。

智理課堂，就是基于兒童學習心理與認知發展規律之“智”，遵循并挖掘數學學科之“理”，承知入理，明理生智，尊智慧行、志行至理，建構和諧、生動、有意味的數學課堂。智理課堂的宗旨就是追求學習積累和審美感悟，引領兒童主動學習、積極探索知識本源，達到學習過程與學習結果融通共生，塑造重思善析的數學眼光與創新精神，養成百折不撓的堅韌意志，習得自我獨立且融會貫通的數學學習能力。